二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算
一、定积分的计算
例1 用定积分定义求极限.
)0(21lim 1>++++∞→a n
n a a a a n . 解 原式=?∑=???
? ??=∞→1011lim a
a
n
i n x n n i dx =
a
a x a +=
++11
11
1. 例2 求极限 ?
+∞→10
2
1lim x
x n n dx .
解法1 由10≤≤x ，知n
n x x x ≤+≤
2
10，于是?
+≤1
2
10x x n ?≤1
n x dx dx .
而?1
0n
x ()∞→→+=+=
+n n n x dx n 01111
01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x
x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理
()()x g x f b
a ?
()()?=b
a
x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）
， ().101111
2
1
02
≤≤+=
+?
?
n n n
n dx x dx x
x ξξ
由于11102≤+≤
n
ξ
，即
211n
ξ
+有界，
()∞→→+=?n n dx x n
0111
0，故?+∞→1021lim x x n
n dx =0. 注 （1）当被积函数为(
)22,x a x R +或()
22,a x x R -型可作相应变换.
如对积分()
?++3
1
2
2
112x
x
dx
，可设t x tan =；
对积分
()0220
2>-?
a dx x ax x a
，由于
()
2
222a x a x ax --=-，可设
t a a x s i n =-.
对积分dx e x ?
--2
ln 0
21，可设.sin t e x =-
（2）()0,cos sin cos sin 2
≠++=?d c dt t
d t c t
b t a I π
的积分一般方法如下：
将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出2
2d c bd
ac A ++=
，
2
2d
c ad
bc B +-=
. 则积分 ()2
20
cos sin ln 2
cos sin cos sin π
π
πt
d t c B A dt t
d t c t d t c B A I ++=
+'
++=?
.ln
2
d
c B A +=
π
例3 求定积分()
dx x x x
?-1
2
1
1arcsin
分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()
dx
x x x
?-1
2
1
1arcsin 2
t x x
t ==12
1212
11
2
1
2
arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2t
t d t dt t
t ==-??
.16
32
π= 解法2 ()dx x x x
?-1
2
1
1arcsin
.16
3cos sin cos sin 2sin 2
24
2
24
2
πππ
ππ==?=?u du u u u
u u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ?=时还应注意：
（1）()t x ?=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；
（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.
例4 计算下列定积分
（1）?+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx x
x x I ?+=2032cos sin cos π
； （2）.
1cos 22
6
dx e x
x ?--+π
π
解 （1）?
+=20
31cos sin sin π
x
x xdx I
)(sin cos cos 20
23du u
u u
u x -+-=?ππ
=.sin cos cos 2
23?=+π
I dx x
x x
故dx x
x x
x I I ?++==203321cos sin cos sin 21π
=()
4
1cos cos sin sin 21202
2-=+-?ππ
dx x x x x . （2）=I .1cos 22
6
dx e x
x ?--+π
π
()dx e
x
du e
u
u x x
u
??-
-
+=-+-=22
6
2261cos 1cos π
π
π
π
??????+++=??--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x
.32
5
2214365cos cos 21
206226πππ
ππ=???=
==??-xdx
xdx
这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：
dx xdx n n
?
?=20
20
cos sin π
π
()()()()()()????
???=??-?--=?-?--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22
421331,
1322
431π
小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设x a u =-;积分区间为[-a,a]时，设x u =-。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得
()()()()()()
?
?+=+20
20cos sin cos cos sin sin π
π
dx x f x f x g dx x f x f x g
例5 设()x f 在[]π,0上具有二阶连续导数，()3='πf ，
且()()[]2cos 0
=''+?xdx x f x f π
，求().0f '
解 ()()[]xdx x f x f cos 0
?''+π
()()
()()()()()()2
0sin cos sin sin cos sin 0
00
00
='-'-='?+'+'?-='+=??
??f f dx x f x x f x dx x f x x xf x f xd x d x f ππ
π
π
π
π
π
故 ()().53220-=--='--='πf f
小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择dv u ,的原则； （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.
例6 计算定积分xdx n ?
π20
6sin （n 为自然数）.
解 x 6sin 是以π为周期的偶函数.
.85
22143654sin 4sin 2sin 220622
6
06
ππππ
πππ
n xdx n xdx n xdx n =????====???-原式
例7 证明积分(
)()
?+∞
++=0
211α
x
x dx
I 与α无关，并求值. 解 (
)()
?
+∞
++=0
211α
x
x dx
I (
)()()()
??∞+∞
+++=++=
020
211111ααααx
x dx
x t t dt t x t
，于是 ()()()()
??
????+++++=??∞+022111121αααx x dx
x x x dx I .4arctan 21121002π==+=
∞
++∞?x x
dx ┃ 小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.
二、含定积分的不等式的证明
例8 证明（1）2221
2
12
12
≤≤?
-
--dx e e x ；()*20sin 2sin >?
+tdt e x x
t π
.
证 （1）()2
x e
x f -=在?????
?-21,21上连续，令()()022
=-='-x e x f x ，得0=x .
比较21
2121-=???
??=??? ??-e f f 与()10=f 的大小，知在??????-21,21上的最大值为
()10==f M ，最小值为21
21-=??
?
??=e f m ，故
.221212121221
2
1
2
1
2
=????????? ??--≤≤????????? ??--=?---M dx e m e
x （2）由于t e t sin sin 以π2为周期， ()tdt e tdt e
x F t x x
t
sin sin 20sin 2sin ??
=?+π
π
.sin sin 2sin 0
sin tdt e tdt e t t ??+=π
π
π
而 udu e t u tdt e u t sin 2sin 0
sin 2sin ??---=π
ππ
π令
tdt e t sin 0
sin ?--=π
，
因为 ()
0sin sin sin >--t e e t t ，().,0π∈t
所以 ()()
0sin 0
sin sin >-=?-tdt e e x F t t π
┃
事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x 无关，仅为取正值的常数. 例9 设()x f 是[]1,0上单调减少的正值连续函数，证明 ()()dx x f dx x f ??>β
α
ααβ0
().10<<<βα
证 利用积分中值定理，
()()dx x f dx x f ??-β
α
ααβ0
()()()21ηαβαηαβf f --?= ()1,021<≤≤≤≤βηααη
()()[]()02221>+-=ηαηηαβf f f （因为()x f 递减取正值）.
即 ()()dx x f dx x f ??>β
α
ααβ0
().10<<<βα ┃
例10 设()x f 在[]b ,0上连续且单调递增，证明：当b a ≤<0时，有 ()()().2
200dx x f a dx x f b dx x xf a
b b
a ???-≥
（10．1） 分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将b 换成u ，作辅助函数()u F ，即需证().0≥b F
证 作()()()()dx x f a dx x f u dx x xf u F u a
u
a ???+-
=002
2 ()b u a ≤≤， 则 ()()()()dx x f u uf u uf u F u
?--='0
2121
()()[]02
10≥-=
?u
dx x f u f （因为()x f 递增，()()0≥-x f u f ） 于是，由拉格朗日中值公式，有
()()()()()().0≥-'=-'+=a b F a b F a F b F ζζ ().b a <<ζ 即式（10．1）成立.
例11 设()x f '在[]b a ,上连续，且()0=a f ，证明
()()().max ,2
2
x f M a b M dx x f b x a b
a
'=-≤≤≤?
分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计().x f
证 因为()x f '在[]b a ,上连续，故有界，即存在0>M ，使()M x f ≤'，[]b a x ,∈ ()()()()()(),a x M f a x a f x f x f -≤'-=-=ξ 故
()()dx x f dx x f b
a
b
a
??
≤
()().2
2a b M dx a x M b
a
-?
=-≤? ┃ 例12 设()x f 在[]a ,0上二阶可导，且()0≥''x f ，证明
().20
??
?
??≥?a af dx x f a
分析 已知()x f 二阶可导，可考虑利用()x f 的一阶泰勒公式估计()x f ；又所证
的不等式中出现了点2a ，故考虑使用2
0a
x =处的泰勒公式. 证 ()x f 在
2
a
处的一阶泰勒公式为 ()()2
22222??? ??-''+??? ??
-??? ??'+??? ??=a x f a x a f a f x f ！ξ，
其中，ξ在x 与
2
a
之间.利用条件()0≥''x f ，可得 ()??? ?
?
-??? ??'+??? ??≥222a x a f a f x f ，
两边从0到a 取积分，得
().222200
??
?
??=??? ??-??? ??'+??? ??≥??
a af dx a x a f a af dx x f a a
┃
小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法： （1） 利用定积分的保序性； （2） 利用积分上限函数的单调性.
三、定积分的应用
例13 求由曲线()0>=a a xy 与直线a x a x 2,==及0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴及1=y 旋转一周所成的旋转体的体积.
xy=a
图11—8
y
x
O
F G B
A
C(2a,0.5)D(a,1)
解 （1）绕x 轴旋转，积分变量为[]a a x x 2,,∈ .2122
a dx x a V a
a
ππ=??
?
??=?
（2）绕y 轴旋转 （3）绕y ＝1旋转
解法1 取y 为积分变量，[]1,0∈y ，直线a x =及a x 2=和双曲线a xy =的交点D 及C 的纵坐标分别为1=y 和2
1
=
y .设平面图形CDFG ，BCGO 及ADFO （见图11—8）绕y 轴旋转而成的立体的体积分别为21,V V 和3V ，则所求旋转体的体积为 321V V V V -+=
().2222
221
212
a a a dy y a ππππ=-+???? ?
?=? 解法2 取y 为积分变量，[]1,0∈y ，将[]1,0分成两部分区间：??????21,0和??
?
???1,21.
在??
?
???21,0上，体积元素为 ()()[]
.3222
2
1dy a dy a a dV ππ=-=
在??
?
???1,21上，体积元素为 .11222
22dy y a dy a a dV ???? ??-=???
?????-??? ??=πππ 故所求体积为
dy y a dy a V ???
? ??-+=??1132121221
2ππ
.22
1
23222a a a πππ=+=
解法3 选x 为积分变量，[]a a x 2,∈.将旋转体分割成以y 轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间[]x x x ?+,的窄曲边梯形可近似地看做高为x
a
y =，宽为dx 的举矩形，它绕y 轴旋转而成的圆柱形薄壳的体积，即体积元素为
.2dx x
a
x dV ?=π
因此有 .222222a adx dx x
a
x V a a a a πππ==?=??
（3）绕1=y 旋转
选x 为积分变量，[]a a x 2,∈.
体积元素为 dx x a dV ????
???
???? ??--=2211π
所求体积为 ??
????
??-=???
???????? ??--=a a a
a
dx x a x a dx x V 2222222911ππ .212ln 21ln 222?????
?
-=???????+=a x a x a a
a π
小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.
（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若xOy 平面中的平面图形D 是由曲线()()x y x y 21,??==
()()()x x 12??>与直线b x a x ==,所围成，则分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体体积
为
()()[
]
()()[]??-=-=b
a
y b
a
x xdx x x V dx
x x V .
2122
12
2??π??π
第二部分 二重（三重）积分
一、重积分的计算及技巧总结
计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：
1． 直角坐标系下确定积分次序的原则
（1）函数原则
内层积分能够求出的原则.
例如()()2
,y e x g y x f =一定应先对x 积分，后对y 积分.
例如()()y g x
y
y x f cos ,=一定应先对y 积分，后对x 积分. （2）区域原则
若积分区域为Y 型（即用平行于x 轴的直线穿过区域D ，它与D 的边界曲线相交最多为两个点），应先对x 积分，后对y 积分.
若积分区域为X 型（即用平行于y 轴的直线穿过区域D ，它与D 的边界曲线相交最多为两个点），应先对y 积分，后对x 积分.
若积分区域既为X 型区域，又为Y 型区域，这时在函数原则满足的前提下，先对x 积分或先对y 积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先采用该积分顺序.
（3）少分块原则
在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单. 2．直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则 （1）每层积分的下限都应小于上限.
（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数. （3）外层积分限必须为常数.
3．当二重积分的积分域D 为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有22y x +的函数形式，即()()
22,y x f y x g +=时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先r 后θ的积分次序. 4．极坐标下积分限的确定 当极点在积分域D 之外时 ()()()
()
?
???=θθβ
α
θθθσ21.sin ,cos ,r r D
rdr r r f d d y x f
当极点在积分域D 的边界曲线上时 ()()()
????=θβ
αθθθσr D
rdr r r f d d y x f 0
.sin ,cos ,
当极点在积分域D 内时 ()()()?
???=θπ
θθθσr D
rdr r r f d d y x f 0
20.sin ,cos ,
()()()
()
?
???=θθπ
θθθσ21.sin ,cos ,20
r r D
rdr r r f d d y x f
小结化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.
确定积分限采用穿线法，若先对y后对x积分，则将积分区域投影在x轴上，可得x的变化范围.再过固定的x点作一平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，则可得到y的变化范围.从而可将积分域D用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.
小结极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先r后θ，定限时仍采用“穿线法”。为确定θ的变化范围，从极点出发作射线穿过区域D，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分域D开始接触时的θ角即为θ的下限，离去时的θ角即为上限；又由于极径0
r，穿入时碰到的D的边界曲线()θ1r为下限，穿
≥
出时离开的D的边界曲线()θ2r为上限.
小结计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域D的形状和被积函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表18—1表示.
表18—1
小结利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.
小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加.
5．计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？
“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：
如果域Ω界于平面1c z =和2c z =()21c c <之间，用任一平行于xOy 面的平面
z z =去截域
Ω
)
(21c z c ≤≤得平面区域
()
z D ，则有
()()()
?????
?Ω
=z D c c d z y x f dz dV z y x f σ,,,,21
.当被积函数()z y x f ,,仅是z 的函数，而截得
的区域()z D 的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法.
小结 用不等式组表示空间区域Ω的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域Ω向xOy 面投影得到的投影区域是xy D ，过xy D 中任一点由下向上作平行于z 轴的直线穿过空间区域Ω时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面()y x f z ,1=和穿出时离开的曲面()y x f z ,2=，于是变量z 的变化范围是()()y x f z y x f ,,21≤≤，()xy D y x ∈,，然后再根据区域Ω在xOy 面上的投影区域xy D 确定变量y 与x 的变化范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域Ω向yOz 面或zOx 面投影，分析方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。
小结 三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分），从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算步骤与二重积分相似：
（１）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐
标系极适当的积分次序；
（２）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；
（３）确定积分限，化为三次积分；
（４）计算积分．
可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限．
二重积分的计算方法
重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月
二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
二重积分的计算方法
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
二重积分的计算与应用研究
学号14051103 学年论文 论文题目：二重积分的计算与应用研究 院（系）名称：信息工程学院 专业名称：数学与应用数学专业 学生姓名：丁乾龙 指导教师：王君（讲师） 哈尔滨学院 2017年9月
学号14051103 密级公开 二重积分的计算与应用研究Double Integral Calculation and Its Application 学生姓名：丁乾龙 所在学院：信息工程学院 所在专业：数学与应用数学 指导教师：王君 职称：讲师 所在单位：哈尔滨学院 论文提交日期：2017年08月25日 论文答辩日期： 学位授予单位：
目录 摘要........................................................................................................................................ I V ABSTRACT ............................................................................................................................. V 前言 (1) 第1章绪论 (2) 1.1 选题背景 (2) 1.2 选题意义 (2) 1.3研究现状 (2) 1.4研究思路 (3) 第2章二重积分的基本计算方法 (4) 2.1 二重积分的定义与性质 (4) 2.2 利用直角坐标系计算二重积分 (5) 2.3 利用变量替换法计算二重积分 (7) 2.4利用极坐标系计算二重积分 (9) 第3章特殊二重积分的计算技巧 (12) 3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算 (12) 3.2 利用格林公式计算 (13) 3.3 利用轮换法计算 (14) 3.4 利用二重积分的几何意义计算 (14) 结论 (18) 参考文献 (19)
二重积分的计算与应用
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.二重积分的概念 (1) 1.1二重积分的定义 (1) 1.2可积条件 (2) 1.3可积类 (2) 1.4二重积分的性质 (2) 2.二重积分的计算方法 (3) 2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3) 2.2二重积分的变量变换 (4) 2.2.1普通情况下的变换 (4) 2.2.2极坐标计算二重积分 (4) 3.广义二重积分 (6) 4.二重积分的应用 (6) 4.1体积 (7) 4.2曲面的面积 (8) 4.3其它 (8) 参考文献 (9)
二重积分的计算与应用 学生姓名： 学号： 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师： 职称： 摘 要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法. 关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体 The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method. Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder 前言 我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助. 1.二重积分的概念 1.1[]2二重积分的定义 设(,)f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数.J 是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D 的任何分割T ，当它的细度||T ||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||n i i i i f J ξσσε=?-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称
二重积分的应用
（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘要：二重积分对于工程技术有着十分重要的作用．对于建筑设计，不仅要求外观设计漂亮，有时还需要计算它们的容积．比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等．因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等．另外由于核算成本，计算所需原材料，还要计算建筑物的表面积．而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶，那么如何计算这些建筑物的容积如何计算这些建筑物顶部的表面积都需要用到数学中的二重积分。二重积分在建筑设计中的应用，将诸多实际问题抽象为数学问题，使问题简单易懂。同时二重积分在建筑设计中的应用可以与数学建模、数学实践进行有机结合。 关键词：二重积分，应用，体积 The Application of Double Integral ABSTRACT :The double integral plays an important role in engineering. For the architectural design, requires not only the appearance design is beautiful, sometimes need to calculate their volume. For example, the stadium in the game hall, film and Television Institute audience hall. Because the volume size directly affects the sound propagation effect and air quality and so on. In addition to the cost calculation, calculation the raw materials required for the building, but also to calculate the surface area. While some of the top public facilities building is a top volume, then how to calculate these buildings How to calculate the surface area of the top of the building Need to use mathematics in double integrals. Application of double integral in architectural design, many practical problems to mathematical problems, make the problem easy to understand. At the same time the application of double integral in architectural design can be combined with mathematical modeling, mathematical practice. KEYWORDS ：Double integral, applications, volume 一． 二重积分的应用 （1）在力学上的应用 1）质量（薄板） 假设薄板xy 在平面上覆盖区域δ，设在点(,)x y 的密度为δ (,)x y （质量／单位体积）。把S 分成小矩形12 ,,k R R R ，在k R 上找一点__(,)k k x y ，那么k R 的质量近似于δ __ (,)k k x y ()k A R ，整个薄板 的质量近似于__ 1 (,)()n k k k k m x y A R δ=≈ ∑ 实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到(,)S m x y dA δ= ??。 ［1］
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
二重积分计算中的积分限的确定
二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1
二重积分的计算及应用
二重积分的计算及应用 学生姓名：*** 学号：*** 学院：*** 专业：*** 指导老师：*** 职称：*** 摘 要：本文介绍了如何利用对称性来计算二重积分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算的方法．最后对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，也将给出两种不经消参数而直接计算的方法． 关键词：二重积分；被积函数；积分区域 The Calculate and Application of Double Integral Abstract ：The paper introduces the method of calculating double integral with symmetry,and then puts forward a calculating method by rebuilding integrand and domain of integration reasonably.At last,for the double integral which the boundary curve of its domain of integration is denoted by the panameter equation,it supplies a directed method which does not eliminate the parameter. Key word ：Double integral ；Integralted function ；Integral region 引言 二重积分是一类非常重要的积分形式，主要用于求平面面积，将实际问题数学化，有利于计算． 1.二重积分的定义 定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积． 定义2：设(,)f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数．J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T δ<时，属于T 的所有积分和都有 1 (,)n i i i i f J ξησ ε=?-<∑，
二重积分计算方法
1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤，其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续，则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????；（1） 若D为y型区域（如图2），即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤，其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续，则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????．[1]（2）例1 计算 2 2 D y dxdy x ??，其中D是由2 x=，y x =，及1 xy=所围成． 分析积分区域如图3所示，为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? ．确定了积分区
域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出， 是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计 算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域，然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域， 进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对 任给的正数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
二重积分的应用
二重积分的应用 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘要：二重积分对于工程技术有着十分重要的作用．对于建筑设计，不仅要求外观设计漂亮，有时还需要计算它们的容积．比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等．因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等．另外由于核算成本，计算所需原材料，还要计算建筑物的表面积．而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶，那么如何计算这些建筑物的容积？如何计算这些建筑物顶部的表面积？都需要用到数学中的二重积分。二重积分在建筑设计中的应用，将诸多实际问题抽象为数学问题，使问题简单易懂。同时二重积分在建筑设计中的应用可以与数学建模、数学实践进行有机结合。 关键词：二重积分，应用，体积 The Application of Double Integral ABSTRACT :The double integral plays an important role in engineering. For the architectural design, requires not only the appearance design is beautiful, sometimes need to calculate their volume. For example, the stadium in the game hall, film and Television Institute audience hall. Because the volume size directly affects the sound propagation effect and air quality and so on. In addition to the cost calculation, calculation the raw materials required for the building, but also to calculate the surface area. While some of the top public facilities building is a top volume, then how to calculate these buildings? How to calculate the surface area of the top of the building? Need to use mathematics in double integrals. Application of double integral in architectural design, many practical problems to mathematical problems, make the problem easy to understand. At the same time the application of double integral in architectural design can be combined with mathematical modeling, mathematical practice. KEYWORDS ：Double integral, applications, volume 一． 二重积分的应用 （1）在力学上的应用 1）质量（薄板） 假设薄板xy 在平面上覆盖区域δ，设在点(,)x y 的密度为δ (,)x y （质量／单位体积）。把S 分成小矩形12 ,,k R R R ，在k R 上找一点__(,)k k x y ，那么k R 的质量近似于δ __ (,)k k x y ()k A R ，整个薄板 的质量近似于__ 1 (,)()n k k k k m x y A R δ=≈ ∑ 实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到(,)S m x y dA δ= ??。 ［1］
二重积分的计算与应用研究
二重积分的计算与应用 研究 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
学号 学年论文 论文题目：二重积分的计算与应用研究 院（系）名称：信息工程学院 专业名称：数学与应用数学专业 学生姓名：丁乾龙 指导教师：王君（讲师） 哈尔滨学院 2017年9月 学号 密级公开 二重积分的计算与应用研究Double Integral Calculation and Its Application 学生姓 丁乾龙 名： 所在学 信息工程学院 院： 所在专 数学与应用数学 业： 指导教 王君 师： 职 讲师 称：
所在单 哈尔滨学院位： 论文提交日 2017年08月25日期： 论文答辩日 期： 学位授予单 位：
目录 摘要........................................................................................................................................ I V ABSTRACT............................................................................................................................. V 前言 (1) 第1章绪论 (2) 选题背景 (2) 选题意义 (2) 研究现状 (2) 研究思路 (3) 第2章二重积分的基本计算方法 (4) 二重积分的定义与性质 (4) 利用直角坐标系计算二重积分 (5) 利用变量替换法计算二重积分 (7) 利用极坐标系计算二重积分 (9) 第3章特殊二重积分的计算技巧 (12) 利用函数奇偶性与区域对称性计算 (12) 利用格林公式计算 (13) 利用轮换法计算 (14) 利用二重积分的几何意义计算 (14) 结论 (16) 参考文献 (17)
有关二重积分的计算与应用的本科毕业论文
有关二重积分的计算与应用的本科毕业论文
.. 学号：201021140309 本科生毕业论文 论文题目：二重积分的计算与应用研究 作者：甘泉 院系：数理学院 专业：数学与应用数学 班级： 201003 指导教师：刘春潮 2014 年 5 月 8 日
Huanggang Normal University Thesis Graduates Topic ： Double Integral Calculation and Its Application Author ： GAN Quan College ： College of Mathematics and Physics Specialty ：Mathematics and Applied Mathematics Class ： 201003 Tutor ： LIU Chunchao May 8th,2014
郑重声明 本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师刘春潮的指导下独立研究并完成的．除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担． 特此郑重声明！ 指导老师（手写签名）： 论文作者（手写签名）： 2014年5月8日
摘要 二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。 本文给出二重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了二重积分的七种比较常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。 关键词：二重积分；计算方法；计算技巧；应用