史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分基础知识
1.定义:一般地,如果y ax2bx c(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数y ax2的性质
(1)抛物线y ax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数y ax2的图像与a的符号关系.
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2(a0).
3.二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
b
2a4ac b4a
224.二次函数y ax bx c用配方法可化成:y a x h k的形式,其中h22,k.
25.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y ax2;②y ax2k;③y a x h;
④y a x h k;
⑤y ax2bx c.
6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地,y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:y ax2b4ac b bx c a x2a4a22b4ac b(),对称轴是直线x,∴顶点是. 2a2a4a
2b2 (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y a x h k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线
x h.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
- 1 -
称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线y ax2bx c中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与y ax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线
x
b2a
,故:①b0时,对称轴为y轴;②
ba
0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③
ba
0(即a、
b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线y ax2bx c与y轴交点的位置.
当x0时,y c,∴抛物线y ax2bx c与y轴有且只有一个交点(0,c):①c0,抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
ba
0.
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:y a x h k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2
2
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y a x x1x x2.
12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0, c).
- 2 -
2
(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点(h,ah (3)抛物线与x轴的交点
2
bh c).
二次函数y ax2bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2bx c0的两
个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;③没有交点0
抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横
坐标是ax2bx c k的两个实数根.
(5)一次函数y kx n k0的图像l与二次函数y ax2bx c a0的图像G的
交点,由方程组
y kx ny ax
2
bx c
l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时
l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y ax2bx c与x轴两交点为A x1,0,B x2,0,由于x1、x2是
方程ax2bx c0的两个根,故
x1x2
ba
,x1x2
ca
2
AB x1x2
x1x2x1x24x1x2
2
4c b
aa
2
b4aca
2
a
第二部分典型习题
1.抛物线y=x2+2x-2的顶点坐标是( D )
A.(2,-2)
B.(1,-2)
C.(1,-3)
D.(-1,-3)2.已知二次函数y ax2bx c的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )
A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0
第2,3题图第4题图
- 3 -
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(D)A.a>0,b <0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b>0,c>0
4.如图,已知ABC中,BC=8,BC上的高h4,D为BC上一点,EF//BC,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、
B),设E到BC的距离为x,则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为(D)
C
2
D
EF8
4x4
EF82x,y x
4x
5.抛物线y x22x3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为
6.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下
列结论:①当x=-2时,y=1;②当x>x2时,y>0;③方程kx2+(2k-1)x1=0有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<1,x2>-1;⑤
k
x2-x1,其中所有正确的结论是①③④(只需填写序号).
7.已知直线y2x b b0与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y x2b10x c. (1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y2x b上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2x b的解析式. 解:(1)y x10或y x4x 6
b102
b16b100
4
2
2
2
将得c b.顶点坐标为((0,b)代入,,),由题意得2
b102
b
b16b100
4
2
,
解得b110,b2 6.
(2)y2x 2
8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4.
(1)求此二次函数的解析式;
- 4 -
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解:(1)设所求二次函数的解析式为y ax2bx c,
a(2)2b(2)c5c3a1则a02b0c3,即2a b 4 ,解得b 2
a b c4c3a b1
故所求的解析式为:y x22x 3.
(2)函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值y为正数时,
输入值x的取值范围是x1或x3.
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼
图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围 2
2夜的体温变化情况绘制成下的体温是上升的?它的体温第9题
10.已知抛物线y ax(4
33a)x4与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得
△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不
存在,请说明理由.
解:依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0),
- 5 -
由ax2(4
33a)x40,解得x13,x2
4
3a
243a.∴点A、B的坐标分别为(-3,0),(∴AB| 4
3a3|,AC2,0).5,AO OC
4
3aBC BO OC
4
3a222169a
16
9a2||4.43a169a222 ∴AB2|AC23|22316.98a9,25,BC 2
〈ⅰ〉当AB2AC2BC2时,∠ACB=90°.
由AB2AC2BC2,
得16
9a28a925(
1
4169a216).解得a
∴当a 1
4.163时,点B的坐标为(,0),AB2526
9,AC225,BC2400
9.
于是AB2AC2BC2.
∴当a
214时,△ABC为直角三角形.22 〈ⅱ〉当AC AB BC时,∠ABC=90°.
222 由AC AB BC,得25(16
9a28a9)(16
9a216).
解得a
当a 4
949.43a 4
3
2时,493,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.〈ⅲ〉当BC AC AB时,∠BAC=90°.
由BC AC AB,得
解得a 4
922222169a21625(169a28a9)..不合题意.
1
4 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当a时,△ABC为直角三角形.
11.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.
- 6 -
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB
,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值. 解: (1)A(x21,0),B(x2,0) . 则x1 ,x2是方程x -mx+m-2=0的两根.
∵x1 +x2 =m , x1·x2 =m-2 <0 即m<2 ;
又AB=∣x1 — x2
∴m2-4m+3=0 .
解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . (2)M(a,b),则N(-a,-b) .
∵M、N是抛物线上的两点,
2∴a ma m2b,①
a2ma m2 b.②①+②得:-2a2-2m+4=0 . ∴a2=-m+2 .
∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N.
∴a .
这时M、N到y
又点C坐标为(0,2-m),而S△M N C = 27 ,
∴231
23(2-m
∴解得m=-7 .
12.已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为
求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
- 7 - 一底的梯形ABCD的面积为9,点E在(2)中的抛物线上,是否存在点P,使△APE 的周
(2)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB ∥CD,且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a 上,∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面积为9,∴
∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=x24ax3.
(3)设点E坐标为(x0,y0).依题意,x0<0,y0<0,
且y0
x0=5212(AB CD)OD=9.∴12(2+4)3a9..∴y0=-52x0.
①设点E在抛物线y=x2+4x+3上,
2∴y0=x0+4x0+3.
15x=,0x0=6,y0=-x0,2 解方程组得 2y=15;50y =x2+4x+3y=.00004
∵点E与点A在对称轴x=-2的同侧,∴点E坐标为( 1
2,5
4).
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使△APE的周长最小.∵AE长为定值,∴要使△APE的周长最小,只须PA+PE最小.∴点A关于对称轴x=-2的对称点是B(-3,0),
∴由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n,
15m=,1m+n=,2 ∴ 2 4 解得3-3m+n=0.n=.2
∴直线BE的解析式为y=
∴点P坐标为(-2,1
212x+32.∴把x=-2代入上式,得y=12.).
- 8 -
2 ②设点E在抛物线y=x24x3上,∴y0=x04x03.
5x0,3y0=-2 解方程组消去y0,得x0x0+3=0.22y=x24x 3.000 ∴△<0 . ∴此方程无实数根.
综上,在抛物线的对称轴上存在点P(-2,
解法二:
(1)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.令y=0,即ax2+4ax+3a=0.解得x1=-1,x2=-3.∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)由y=ax2+4ax+3a,得D(0,3a).
∵梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线
y=ax+4ax+3a上,212),使△APE的周长最小.
∴C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.
∵梯形ABCD的面积为9,∴(AB+CD)OD=9.解得OD=3.21
∴3a3.∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为y=x+4x+3或y=-x-4x-3.
(3)同解法一得,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.∴如图,过点E作EQ⊥x 轴于点Q.设对称轴与x轴的交由PF∥EQ,可得BF
BQ=PF
EQ
1
222点为F..∴152=PF54.∴PF=12.∴点P坐标为(-2,
以下同解法一.).
13.已知二次函数的图象如图所示.
- 9 -
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM 上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为l,四边形NQAC的面积为S,求S 与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶
形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过点,第三个顶点落在矩程).
解:(1)设抛物线的解析式y a(x1)(x2),
∴2a1(2).∴a1.∴y x2x2.
其顶点M的坐标是1,9.
24
(2)设线段BM所在的直线的解析式为y kx b,点N的坐标为N(t,h),
02k b,∴91.解得k3,b 3
42.
2k b.
∴线段BM所在的直线的解析式为y 3
2x3.
∴h 3
2t3,其中1
2t2.∴s 1
212 1
2(2 2
3t3)t 3
4t2 1
2t1.
∴s与t间的函数关系式是S311
4t22t1,自变量t的取值范围是2t2.
(3)存在符合条件的点P,且坐标是P5735
124,P
2,
2.4
设点P的坐标为P(m,n),则n m2m2.
PA2(m1)2n2,PC2m2(n2)2,AC25.
分以下几种情况讨论:
i)若∠PAC=90°,则PC2PA2AC2.
∴n m2m2,
m2(n2)2(m1)2n2 5.
解得:m1 5
2,m21(舍去).∴点P157
4.
2
- 10 -
ii)若∠PCA=90°,则PA2PC2AC2.
2n m m2,∴ 2222(m1)n m(n2) 5.
解得:m3353.∴点P2,-.,m40(舍去)24 2
iii)由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,PA AC,所以边AC的对角∠APC不可能是直角.
(4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的对边上,如图a,此
时未知顶点坐标是点D(-1,-2),
以点A,点C为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图b,此时未知顶点坐标是E
12,55
F,
548.
5
图a 图b
14.已知二次函数y=ax-2的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个
数.
解:根据题意,得a-2=-1.
∴a=1.∴这个二次函数解析式是y=x2.
因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x轴有两个交点.
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5 cm,拱高OC=0.9 cm,
线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1 cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).22 - 11 -
(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;
(2)如果DE与AB的距离OM=0.45 cm,求卢浦大桥拱y=ax+
9
10
559185
因为点A(,0)(或B(,0))在抛物线上,所以0=a()2+,得a=-.22210125
.
因此所求函数解析式为y=-(2)因为点D、E的纵坐标为所以点D的坐标为(-54
5454
9
18125
x+
2
910
920
(
52
x18125
52
2
).910
20
,所以
920
-x+54
,得x=
2,
920
54
2.
2,),点E的坐标为().
所以DE=2-(2)=
522
.
因此卢浦大桥拱∴OA x1,OB x2,OC c.
2
据题意,x1、x2是方程ax+bx+c0(a0)的两个根.∴x1x2
ca
.
- 12 -
由题意,得OA OB=OC2,即=c=c2.ac2
所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时,a、c互为倒数.
(3)当b4时,由(2)知,x1+x2=-ba=4
a>0,∴a>0.
解法一:AB=OB-OA=x2-x1=(x1+x2)24x1x2,
∴AB42c()-4()aa
23
a164aca223a.∵AB43,∴=43.得a 1
2.∴c=2.
解法二:由求根公式,x=44ac
2a=4 4
2a=2
a3,
∴x1=2a3,x2=2a3.
∴AB=OB-OA=x2-x1=2a3-2-3
a
1
2=23a.∵AB=43,∴
3
323a3=43,得a=.∴c=2.17.如图,直线y x分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.
(1)C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式:
(3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.
解:(1)连结EC交x轴于点N(如图).
∵A、B是直线y 3
3x 3 分别与x轴、y轴的交点.∴A(3,0),B(0,3).
的中点.∴EC⊥OA.又∠COD=∠CBO.∴∠CBO=∠ABC.∴C是
∴ON 1
2OA 3
2,EN OB
2 3
2.
- 13 -
连结OE.∴EC OE3.∴NC EC EN 3
2.∴C点的坐标为(,2332).
(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y ax x3.∵C(
∴y32,322).∴23
832a33(3)22.∴a293.239x x为所求.
3
3(3)∵tan BAO,∴∠BAO=30°,∠ABO=50°.
1
2ABO 1
26030.由(1)知∠OBD=∠ABD.∴OBD
∴OD=OB2tan30°-1.∴DA=2.
∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.
∴△ADP是等边三角形.∴∠DAP=60°.
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直线PA是⊙E的切线.- 14 -
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
初三数学上册《 二次函数》
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 二次函数 一、解析式的求法 一般式2 y ax bx c =++?? ?已知没有规律的三个点的坐标 已知a:b:c,并且已知一个点的坐标 顶点式2 ()y a x m n =++????? 已知顶点及另一点的坐标已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标 两点式(交点式)12()()y a x x x x =-- 二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题 (1)、平移的实质:a 相同。(a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小,其中a 决定开口的大小,a 的正负决定开口方向。注意,两个二次函数的a 相等,则这两个二次函数的形状就是相同的) (2)、平移的规律:顶点坐标的平移。 2、二次函数的对称变换: 2222 ()(+)()(+)y a x m k y a x m k y y a x m k y a x m k x ?=-+=+?=-+=--?与关于轴对称 与关于轴对称 3、二次函数的图像与,,a b c 及其相关代数式(2 ,2,4a b c a b b ac ±+±-)之间的关系 0a a a ?>????L 对称轴在轴右侧对称轴在轴左侧0 00y y c c y y c ?>???? -?-=???- L 抛物线与轴有两个交点抛物线与轴有一个交点抛物线与轴没有交点 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人:李霜霜 一、教学目标: (1)了解二次函数的意义,掌握二次函数的图象特征和性质,能确定函数解析式,并能解决简单的实际问题. (2)通过练习及提问,复习二次函数的基础知识;通过对典型例题的分析,培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力;继续渗透数学思想. 二、教学重点、难点 教学重点:二次函数的图像,性质和应用 教学难点:运用二次函数知识解决较综合性的数学问题. 三、教学过程 复习巩固 (一)二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. (二)二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: (三)二次函数图象的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
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