工程流体力学课后习题(第二版)答案

第一章 绪论

1-1．20℃的水2.5m 3

，当温度升至80℃时，其体积增加多少？ [解] 温度变化前后质量守恒，即2211V V ρρ= 又20℃时，水的密度3

1/23.998m kg =ρ 80℃时，水的密度32/83.971m kg =ρ 32

1

125679.2m V V ==

∴ρρ 则增加的体积为3

120679.0m V V V =-=?

1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度ν增加15%，重度γ减少10%，问此时动力粘度μ增加多少（百分数）？ [解] 原原ρννρμ)1.01()15.01(-+==

原原原μρν035.1035.1==

035.0035.1=-=-原

原

原原原μμμμμμ

此时动力粘度μ增加了3.5%

1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为μρ/)5.0(002.02

y hy g u -=，式中ρ、μ分别为水的密度和动力粘度，h 为水深。试求m h 5.0=时渠底（y =0）处的切应力。 [解] μρ/)(002.0y h g dy

du

-=

)(002.0y h g dy

du

-==∴ρμ

τ 当h =0.5m ，y =0时

)05.0(807.91000002.0-??=τ

Pa 807.9=

1-4．一底面积为45×50cm 2，高为1cm 的木块，质量为5kg ，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s ，油层厚1cm ，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。

δ

[解] 木块重量沿斜坡分力F 与切力T 平衡时，等速下滑

y

u A

T mg d d sin μθ== 001

.0145.04.062

.22sin 8.95sin ????=

=

δθμu A mg s Pa 1047.0?=μ

1-5．已知液体中流速沿y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律y

u

d d μ

τ=，定性绘出切应力沿y 方向的分布图。 [解]

1-6．为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径0.9mm ，长度20mm ，涂料的粘度μ=0.02Pa ．s 。若导线以速率50m/s 拉过模具，试求所需牵拉力。（1.O1N ）

[解] 2533

10024.5102010

8.014.3m dl A ---?=????==π

y u

u u

u

y

u u

y

ττ= 0y ττy 0

τττ=0

y

N A h u F R 01.110024.510

05.05002.053=????==∴--μ

1-7．两平行平板相距0.5mm ，其间充满流体，下板固定，上板在2Pa 的压强作用下以0.25m/s 匀速移

动，求该流体的动力粘度。 [解] 根据牛顿内摩擦定律，得

dy

du /

τμ= s Pa ??=?=∴--33

10410

5.025

.0/

2μ 1-8．一圆锥体绕其中心轴作等角速度16rad

s

ω=旋转。锥体与固定壁面间的距离δ=1mm ，用

0.1Pa s μ=?的润滑油充满间隙。锥体半径R=0.3m ，高H=0.5m 。求作用于圆锥体的阻力矩。

（39.6N ·m ）

[解] 取微元体如图所示

微元面积：θ

ππcos 22dh

r dl r dA ?

=?= 切应力：δ

ωμμ

τ0-==r dy du 阻力：dA dT τ=

阻力矩：r dT dM ?=

dA r rdT dM M ???===τ

dh r r H

??

?=0

cos 1

2θ

πτ )(cos 1203h tg r dh r H

?=???=?θθπδωμ ?????=H

dh h tg 0

33

cos 12θθπδωμ

Nm H tg 6.392

857.0106.05.0161.0cos 423

3443=??????==-πθδπμω 1-9．一封闭容器盛有水或油，在地球上静止时，其单位质量力为若干？当封闭容器从空中自由下落时，

其单位质量力又为若干？ [解] 在地球上静止时：

g f f f z y x -===；0

自由下落时：

00=+-===g g f f f z y x ；

第二章 流体静力学

2-1．一密闭盛水容器如图所示，U 形测压计液面高于容器内液面h=1.5m ，求容器液面的相对压强。

[解] gh p p a ρ+=0

kPa gh p p p a e 7.145.1807.910000=??==-=∴ρ

2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa 。压力表中心比A 点高0.5m ，A 点在液面下1.5m 。求液面的绝对压强和相对压强。

[解] g p p A ρ5.0+=表

Pa g p g p p A 49008.9100049005.10-=?-=-=-=ρρ表 Pa p p p a 9310098000490000

=+-=+=' 2-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m 。试求水面的绝对压强p abs 。

[解] )2.13.2()2.15.2()4.15.2()4.10.3(0-+=-+---+g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ

g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ1.13.11.16.10+=+-+

kPa g g p p a 8.3628.9109.28.9106.132.2980009.22.2330=??-???+=-+=水汞ρρ

2-4． 水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ，U 形压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。试求A 、B 两点的压强差。

（22.736N ／m 2）

[解] 221)(gh p h h g p B A 水银水ρρ+=++

Pa h h g gh p p B A 22736)2.02.0(8.9102.08.9106.13)(33212=+??-???=+-=-∴水水银ρρ

2-5．水车的水箱长3m,高1.8m ，盛水深1.2m ，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a 的允许值是多少？

[解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为： x g

a z -

=0 当m l

x 5.12

-=-

=时，m z 6.02.18.10=-=，此时水不溢出

2

0/92.35

.16

.08

.9s m x gz a =-?-=-

=∴ 2-6．矩形平板闸门AB 一侧挡水。已知长l =2m ，宽b =1m ，形心点水深h c =2m ，倾角α=45，闸门

上缘A 处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。

[解] 作用在闸门上的总压力：

N A gh A p P c c 392001228.91000=????=?==ρ

作用点位置：m A y J y y c c c D 946.21245

sin 221121

45sin 2

3

=????+=+=

m l h y c A 828.12

2

45sin 22sin =-=-=

α )(45cos A D y y P l T -=?∴

kN l y y P T A D 99.3045cos 2)

828.1946.2(3920045cos )(=?-?=-=

2-7．图示绕铰链O 转动的倾角α=60°的自动开启式矩形闸门，当闸门左侧水深h 1=2m ，右侧水深

h 2=0.4m 时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x 。

[解] 左侧水作用于闸门的压力：

b h h g

A gh F c p ??==

60sin 21

1111ρρ 右侧水作用于闸门的压力：

b h h g

A gh F c p ??

==

60sin 22

2222ρρ )60

sin 31()60sin 31(2

211

h x F h x F p p -=-

∴ )60sin 31(60sin 2)60sin 31(60sin 22

22111

h x b h h g h x b h h g

-?=-??ρρ )60sin 31()60sin 31(22

2

121 h x h h x h -=-

? )60

sin 4.031(4.0)60sin 231(22

2

-?=-

??x x m x 795.0=∴

2-8．一扇形闸门如图所示，宽度b=1.0m ，圆心角α=45°，闸门挡水深h=3m ，试求水对闸门的作用力

及方向

[解] 水平分力：

kN b h h g A gh F x c px 145.4432

.381.910002=???=??==ρρ

压力体体积：

3

2

22

21629.1)45sin 3(8]321)345sin 3(3[)45sin (8]21)45sin (

[m h h h h h V =-?+-?=-+-=

ππ 铅垂分力：

kN gV F pz 41.111629.181.91000=??==ρ

合力：

kN F F F pz px p 595.4541.11145.44222

2=+=+=

方向：

5.14145

.4441

.11arctan

arctan

===px

pz F F θ

2-9．如图所示容器，上层为空气，中层为3

m N 8170=石油ρ的石油，下层为3

m N 12550=甘油ρ 的甘油，试求：当测压管中的甘油表面高程为9.14m 时压力表的读数。 [解] 设甘油密度为1ρ，石油密度为2ρ，做等压面1--1，则有

)66.362.7()66.314.9(211?-?+=?-?=g p g p G ρρ

g p g G 2196.348.5ρρ+= g g p G 2196.348.5ρρ-=

96.317.848.525.12?-?=

2kN/m 78.34=

2-10．某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m ，高h 1= 1m ，铰接装置于距离底h 2= 0.4m ，闸门可绕A 点转动，求闸门自动打开的水深h 为多少米。 [解] 当2h h h D -<时，闸门自动开启

6121

21)2

(121)2(113

1

1-+

-=-+-=+=h h bh h h bh h h A h J h h c C c D 将D h 代入上述不等式

4.0612121-<-+-h h h

1.06

121

<-h

得 ()m 3

4

>h

2-11．有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s 2沿与水平面成30o 夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。

[解] 由液体平衡微分方程

)d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρ

030cos a f x -=，0=y f ，)30sin (0a g f z +-=

在液面上为大气压，0d =p

0d )30sin (d 30cos 00=+--z a g x a

G

B

A

空 气 石 油

甘 油

7.623.66

1.52

9.14m

1

1

h

h h A

1

2

269.030sin 30cos

tan d d 00=+==-a g a x z α 015=∴α

2-12．如图所示盛水U 形管，静止时，两支管水面距离管口均为h ，当U 形管绕OZ 轴以等角速度ω旋转

时，求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax 。

[解] 由液体质量守恒知，I 管液体上升高度与 II 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程：

C z g

r =-22

2ω

液体不溢出，要求h z z 2II I ≤-， 以b r a r ==21,分别代入等压面方程得：

2

22

b a gh

-≤ω

2

2max 2

b

a gh

-=∴ω 2-13．如图，060=α，上部油深h 1＝1.0m ，下部水深h 2＝2.0m ，油的重度γ=8.0kN/m 3，求：平板ab 单位宽度上的流体静压力及其作用点。

[解] 合力

kN

2.4660sin 60sin 2160sin 21021022011＝＋油水油h h h h h h b P γγγ+=Ω= 作用点：

m

h kN h h P 69.262.460

sin 21'10

1

11===油γ a

b

h

z

ω

a>b

I

II

m

h kN h h P 77.009.2360

sin 21'20

2

22===水γ m h kN

h h P 155.148.1860sin '30

2

1

3===油γ m

h h m

h Ph h P h P h P D D D 03.260sin 3115.1B 0'''

D '33'22'11=-===++点取矩：对

2-14．平面闸门AB 倾斜放置，已知α＝45°，门宽b ＝1m ，水深H 1＝3m ，H 2＝2m ，求闸门所受水静压力的

大小及作用点。 45°

h 1

h 2

B

A

[解] 闸门左侧水压力：

kN b h gh P 41.62145sin 3

3807.9100021sin 21111=?????=?=

αρ 作用点：

m h h 414.145

sin 33

sin 31'1===

α 闸门右侧水压力：

kN b h gh P 74.27145

sin 2

28.9100021sin 21222=?????=?=

αρ 作用点：

m h h 943.045sin 32

sin 32'2===

α

总压力大小：kN P P P 67.3474.2741.6221=-=-=

对B 点取矩：

'

D '22'11Ph h P h P =-

'D 67.34943.074.27414.141.62h =?-? m h 79.1'D =

2-15．如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R ＝2m ，容器内充满水，顶盖上距中心为r 0处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r 0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。

[解] 液体作等加速度旋转时，压强分布为

C z g

r g p +-=)2(

2

2ωρ

积分常数C 由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖的中心，则当00==z r r ，时，a

p p =（大气压），于是， ])(2[

2022

z r r g

g p p a --=-ωρ

在顶盖下表面，0=z ，此时压强为

)(2

1

2022r r p p a -=

-ρω 顶盖下表面受到的液体压强是p ，上表面受到的是大气压强是p a ，总的压力为零，即

02)(2

12)(02022

=-=-??

rdr r r rdr p p R R

a πρωπ

积分上式，得

22

021R r =

，m R

r 22

0==

2-16．已知曲面AB 为半圆柱面，宽度为1m ，D =3m ，试求AB 柱面所受静水压力的水平分力P x 和竖直分力

P z 。

[解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示：

b gD b D g b gD P x 22

28

3

22121ρρρ=??? ??-=

N 331091398108

3

2=???= b D g b D g P z 2216441πρπρ=??

?

??=

r

R

O

N 173271316

14.398102

=???

= 2-17．图示一矩形闸门，已知a 及h ，求证H >h a 15

14

+

时，闸门可自动打开。

[证明] 形心坐标2()5210

c c h h z h H a h H a ==---=-- 则压力中心的坐标为

32

1

;12

()1012(/10)

c

D D c c c D J z h z z A

J Bh A Bh h h z H a H a h ==+=

==--+

-- 当D H a z ->，闸门自动打开，即1415

H a h >+

第三章 流体动力学基础

3-1．检验xy z y x z y u y x u y x ++-=+=+=)(4u ,2 ,2z 22不可压缩流体运动是否存在？ [解]（1）不可压缩流体连续方程

0=??+??+??z

u y u x u z

y x （2）方程左面项

x x u x 4=??；y y

u y 4=??；)(4y x z u

z +-=?? （2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。

3-2．某速度场可表示为0=+-=+=z y x u t y u t x u ；；，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x =-1，y =1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ [解] （1）t x a x ++=1

t y a y -+=1 写成矢量即 j i a )1()1(t y t x -++++= 0=z a

（2）二维流动，由

y

x u y

u x d d =，积分得流线：1)ln()ln(C t y t x +--=+ 即 2))((C t y t x =-+

（3）1,1,0=-==y x t ，代入得流线中常数12-=C

流线方程：1-=xy ，该流线为二次曲线

（4）不可压缩流体连续方程：

0=++z

u y u x u z

y x ?????? 已知：0,1,1=-==z

u y u x u z y x ??????，故方程满足。 3-3．已知流速场j z y x i xy y x u )3()24(3

3

+-+++=，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？

[解]

32433=++=++=z y x u z y x u xy y x u

)2)(3()12)(24(0323+++-+++++???+??+??+??==

x z y x y x xy y x z

u

u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x

代入（1，1，2）

103

0)12)(213()112)(124(0=?+++-+++++=?x x a a

同理：

9=?y a

因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是j i a

9103+=

（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动 （3）

0=??t

u

，属于恒定流动 （4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。

3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d =1mm 的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？

[解] 由题意s L s m D v

q V /047.0/10047.002.04

15.04

3322

=?=??

==-π

π

1298.0v v =；12398.0v v =；······；17898.0v v =

n V S v d v v v v d q 12

17

12112

4

)98.098.098.0(4

ππ=

++++=

式中S n 为括号中的等比级数的n 项和。

由于首项a 1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是

462.798

.0198.011)1(8

1=--=--=q q a S n n

s m S d q v n V /04.8462

.7001.010047.041423

21=????==-ππ

s m v v /98.604.898.098.07178=?==

3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：])(

1[2

max r r u u -=对称分布，式中管道半径r 0=3cm ，管轴上最大流速u max =0.15m/s ，试求总流量Q 与断面平均流速v 。

[解] 总流量：?

?-=

=0

20

max 2])(1[r A rdr r r

u udA Q

π

s m r u /1012.203.015.02

2

34220max -?=??=

=

π

π

断面平均流速：s m u r r u r Q

v /075.02

2max

20

2

0max 20==

==

ππ

π 3-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d =200mm ，测得水银差压计读书h p =60mm ，若此时断面平均流速v =0.84u max ，这里u max 为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量Q 为多大？（3.85m/s ）

[解] g

p g u g p A A ρρ=+22

p p A A h h g p g p g u 6.12)1(22=-'=-=∴

ρ

ρρρ s m h g u p A /85.306.06.12807.926.122=???=?= s m v d Q /102.085.384.02.04

4

322=???=

=

π

π

3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知d A =200mm ，d B =400mm ，A 点相对压强

p A =68.6kPa ，B 点相对压强p B =39.2kPa ，B 点的断面平均流速v B =1m/s ，A 、B 两点高差△z=1.2m 。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失h w 。

[解] B B A A v d v d 2

24

4

π

π

=

s m v d d v B A B A /41)200

400(2

22

=?==∴

假定流动方向为A →B ，则根据伯努利方程

w B

B B B

A A A A h g

v g p z g v g p z +++=++222

2αραρ

其中z z z A B ?=-，取0.1≈=B A αα

z g

v v g p p h B

A B A w ?--+-=∴22

2ρ

2.1807

.9214980739200686002

2-?-+-=

056.2>=m

故假定正确。

3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d 1=200mm ，d 2=100mm ，两断面的间距l =2m 。若1-1断面处的流速v 1=2m/s ，水银差压计读数h p =20cm ，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失h w 和压强差p 1-p 2。

[解] 2221214

4

v d v d π

π

=

s m v d d v /82)100

200(2

122212=?==∴

假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程

w h g

v g p l g v g p +++=+245sin 222222111αραρ

其中

p p h h l g p p 6.12)1(45sin 21=-'

=--ρ

ρρ ，取0.121≈=αα 054.0807

.9264

42.06.1226.122

221<-=?-+?=-+=∴m g v v h h p w

故假定不正确，流动方向为2→1。

由

p p h h l g p p 6.12)

1(45sin 21=-'

=--ρ

ρρ 得 )45sin 6.12(21

l h g p p p +=-ρ

kPa 58.38)45sin 22.06.12(9807=+??=

3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为

0)

(1=??+??s

uA A t ρρ，这里s 为沿程坐标。 [证明] 取一微段ds ，单位时间沿s 方向流进、流出控制体的流体质量差△m s 为

)

()()21)(21)(21()21)(21)(21(略去高阶项s

uA ds s

A

A ds s u u ds s ds s A A ds s u u ds s m s ??-=??+??+??+-??-??-??-

=?ρρρρρ因

密度变化引起质量差为 Ads t

m ??=

?ρ

ρ 由于ρ

m m s ?=?

0)(1)(=??+?????-=??s

uA A t ds s

uA Ads t ρρρρ 3-10．为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径d 1=200mm ，流量计喉管直径

d 2=100mm ，石油密度ρ=850kg/m 3

，流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数h p =150mm 。问此时管中流量Q 多大？

[解] 根据文丘里流量计公式得

036.0873.3139.01)1

.02

.0(807

.9242.014.31)(2442

4212

1==-??=-=d d g d K π

s

L s m

h K q p V /3.51/0513.015

.0)185.06

.13(036.095.0)1(3==?-??=-'=ρρμ 3-11．离心式通风机用集流器A 从大气中吸入空气。直径d =200mm 处，接一根细玻璃管，管的下端插入

水槽中。已知管中的水上升H =150mm ，求每秒钟吸入的空气量Q 。空气的密度ρ为1.29kg/m 3

。

[解] gh p p p gh p a a 水水ρρ-=?=+22

s m h g v h g v g

v gh p g p g v p g p a a a /757.4729.115.01000807.92222g 2g 00022

2222

2

2=???==?=?

+

-=?++=++气水气水气水气气气ρρρρρρρρρ

s m v d q V /5.14

757.472.014.343222

=??==π

3-12．已知图示水平管路中的流量q V =2.5L/s ，直径d 1=50mm ，d 2=25mm ，，压力表读数为9807Pa ，若水

头损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h 。

[解]

s m d q v s m d q v v d v d q V V V /093.5025

.014.310

5.244/273.105

.014.3105.244442

3

2222

3

21122

2121=???==

=???==?==--ππππ

O mH g g p g v v g p p g

v v g p p p g v p p g v

g p a a a 22

2

12

12

222

12

2212

222

112398.0807

.910009807

2273.1093.522)(2g 020=?--=--=-?

-=

-+?+-+=++ρρρρρ

O mH

g

p p

h p gh p a a 22

22398.0=-=

?=+ρρ 3-13．水平方向射流，流量Q=36L/s ，流速v =30m/s ，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量Q 1=12 L/s ，并引起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。（30°；456.6kN ）

[解] 取射流分成三股的地方为控制体，取x 轴向右为正向，取y 轴向上为正向，列水平即x 方向的动量方程，可得：

022cos v q v q F V V ραρ-='-

y 方向的动量方程：

?

=?===?=?-=305.02412sin sin sin 00

221111221122αααραρv v v q v q v q v q v q v q V V V V V V

不计重力影响的伯努利方程：

C v p =+22

1

ρ

控制体的过流截面的压强都等于当地大气压p a ，因此，v 0=v 1=v 2

N

F N

F F 5.4565.45630

10361000cos 301024100033='?-='-????-???='---α 3-14．如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60o的光滑平板。若喷嘴出口直径d =25mm ，喷射流量Q =33.4L/s ，，试求射流沿平板的分流流量Q 1、Q 2以及射流对平板的作用力F 。假定水头损失可忽略不计。

[解] v 0=v 1=v 2

s m d Q

v /076.68025

.014.3104.33442

3

20=???==-π

x 方向的动量方程：

s

L Q Q Q Q s

L Q Q Q Q Q Q Q Q Q Qv v Q v Q /05.2575.0/35.825.05.060cos 60cos )(0212222102211==-=?==?+=-??+=??--+=ρρρ

y 方向的动量方程：

N

Qv F v Q F 12.196960sin )

60sin (000=?='??--='ρρ

3-15．图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从d 1=1500mm 变化到d 2=1000mm 。若管道通过流量

q V =1.8m 3/s 时，支座前截面形心处的相对压强为392kPa ，试求渐变段支座所受的轴向力F 。不计水头损失。

[解] 由连续性方程：

s m d q v s m d q v v d v d q V V V /29.20

.114.38

.144/02.15.114.38.1444

42

22222112

2

212

1=??===??==?=

=

ππππ；

伯努利方程：

kPa v v p p g v

p g v g p 898.3892

29

.202.110001039222g 0202

232

221122

2

2211=-?+?=-?

+=?++=++ρρρ

动量方程：

kN F F F v v q d p F d p v v q F F F V V p p 21.382228617.30622518.692721)

02.129.2(8.110004

0.114.310898.38945.114.310392)(44

)

(23

23122

22

2

11

1221='?--='?-??=???-'-????-=-'-?-=-'-ρππρ

3-16．在水平放置的输水管道中，有一个转角0

45=α的变直径弯头如图所示，已知上游管道直径