第4章无穷级数4-7(幂级数性质和函数习题课)

正切函数的定义图像与性质

正切函数的定义、图像与性质一、教学目标 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． 3、理解并掌握正切函数的诱导公式。二、重点与难点（一）教学重点：正切函数的图象和性质。 1、用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图像，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=/2 +k，k Z在确定图象形状时所起的关键作用。（二）教学难点：体验正切函数基本性质的应用，三、教学过程 1、复习引入（一）复习练习：画出下列各角的正切线（二）引入引出正切函数、正切曲线的概念和正切函数的诱导公式，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质. 2、学习新课：提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。（一）复习：如何作出正弦函数的图像？（二）探究：用正切线作正切函数图像

问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？设f(x)=tanx f(x+)=tan(x+)=tanx=f(x) y=tanx是周期函数，是它的一个周期。我们先来作一个周期内的图像根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像（三）研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想）（四）疑点解析

在每一个开区间内都是增函数（五）例题讲解及课内巩固练习例1、比较下列每组数的大小（1）tan167与tan173 （2）tan （）与tan y=tanx 在（，）上是增函数，又y=tanx 在（0，）上是增函数说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调递增性解决。例2、观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值的范围例3、求 675 tan )60tan(570tan 315tan --+的值。四、课堂小结通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。五、课后作业

【原创教案】《幂函数》公开课教案

《幂函数》教学设计授课班级：高一（8）班一、教学目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。 2.结合幂函数y x =，2 y x =，3 y x = ，1 y x = ，1 2y x =的图像，掌握它们的性质。 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小。 4.结合幂函数的图像，培养直观想象的数学素养。 5.借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养。二、教学重点：常见幂函数的图像与性质。教学难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。三、教学方法：启发式、探究式教学法四、教学辅助：多媒体课件、几何画板五、教学过程（一）复习回顾（课前准备） 1.证明：函数()f x =[0,)+∞上是增函数. 2.证明：函数3()f x x =在[0,)+∞上是增函数. （二）创设情景，引入新课请同学们观察以下几个具体问题，分析归纳这些问题中的函数有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y = 元；问题2：如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y = ；问题3：如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y = ；问题4：如果一个正方形场地的面积为x ，那么这个正方形的边长y = ；问题5：如果某人x s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度 y = /km s 。（三）概念形成

1、幂函数的概念幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。思考：判断一个函数是幂函数的依据是什么？答：底数是自变量x 、指数是常数、系数是1。 2．实践理解：例1：下列函数为幂函数的是( ) A ．42y x = B ．321y x =- C ．2 y x = D ．2y x = 练习：（1）已知22 ()(1)m f x m x +=+是幂函数，则m = （2）已知幂函数()y f x =的图象过点，求这个函数的解析式。（四）常见幂函数的图像与性质请学生在坐标系内画出下列几个熟悉的幂函数：y x =、2y x =、1y x -=的图象。对于3y x =、12 y x =这两个函数，教师在课前让学生证明他们的单调性，课堂上借助计算机《几何画板》软件，演示它们的图象。合作探究：观察函数y x =、2 y x =、1 y x -=、3 y x =、12 y x =的图象，将发现的结论填入表格内。

幂函数经典例题

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．

故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-11 D ．n <－1，m >1 解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0x 1 3，求x 的取值范围．错解由于x 2 ≥0，x 1 3∈R ，则由x 2>x 1 3 ，可得x ∈R . 错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α 在 α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )

正切函数的图象与性质(习题)

1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?，，，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析：观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??，上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值．由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ．例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-，思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意，设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤，则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤，由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习

A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，

函数列与函数项级数

Ch 13 函数列与函数项级数（ 1 2 时） § 1 一致收敛性（ 6 时）一．函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x .

156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （注意 ? ≡1 1)(dx x f n .）二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)

(罗益龙)对数函数习题课教案

对数函数习题课教案一、教学目标知识目标使学生掌握对数函数性质并能熟练应用，加深学生对函数性质的理解。过程与方法渗透分类讨论，归纳总结等方法，引导学生运用已学知识解决问题。情感目标培养学生对数学的兴趣，激发学生探索解题的积极性。二、重点难点教学重点对数函数及其性质的应用教学重点对数函数及其性质的综合应用

三、教学过程： (一)知识回顾 1.对数函数的性质 2.指数函数与对数函数的关系 1.指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数. 2. 指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图象在同一坐标平面内关于直线y=x对称. (二)典型范例分析例1 设f(x)=log2x.若f(2x-x2)

∴22 2220 320 232x x x x x x ?->?->??-<-?22 (2)0302+230x x x x x --???<1，即a >1时， 5211a a <-??>?3 1a a >??? >? ，即a >3. 综上可知，a 的取值范围是(1 2 ,1)∪(3,+∞). 复合函数的概念若函数y =f (u )与u =g (x )是两个函数，则称函数y =f (g (x ))是函数 y =f (u )与u =g (x )的复合函数. 复合函数单调性判断法则同增异减

第十三章函数列和函数项级数

第十三章函数列与函数项级数目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论．重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节一致收敛性我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一函数列及其一致收敛性设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛.

这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是：对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10<ε（不妨设1<ε）,当10<时,就有ε<-)()(x f x f n . (ii)0=x 和1=x 时,则对任何正整数n ,都有 ε<=-0)0()0(f f n ,ε<=-0)1()1(f f n . (iii) 当1>x 时,则有)(∞→+∞→n x n , (iv) 当1-=x 时,对应的数列为 ,1,1,1,1--,它显然是发散的. 这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.所以函数列{}n x 在区

高中数学幂函数考点及经典例题题型突破

幂函数、二次函数考纲解读 1.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1 2的图象解决简单的幂函数问题； 2.用待定系数法求二次函数解析式，结合图象解决二次函数问题； 3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题． [基础梳理] 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数y ＝x α叫作幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较： 2．二次函数 (1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)．两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图象与性质： (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)

[三基自测] 1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点????12，2 2，则k ＋α＝( ) A.1 2 B ．1 C.32 D ．2 答案：C 2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3 答案：D 3．幂函数f (x )＝xa 2－10a ＋23(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C 4．(必修1·第一章复习参考题改编)若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与1 2[g (1)＋g (3)]的大小关系为________．答案：g (2)<1 2 [g (1)＋g (3)] 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1 x 的增区间为__________．答案：? ?? ??132，＋∞ [考点例题] 考点一幂函数的图象和性质|易错突破 [例1] (1)已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)

指数函数和对数函数复习课教案

指数函数与对数函数复习课一. 复习目标 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二．指数函数 1．指数函数定义：地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ． 2．指数函数x y a =在底数及这两种情况下的图象和性质： 1a > 01a << 图象性质（1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞ （3）过点(0,1)，即0x =时1y = （4）在R 上是增函数（4）在R 上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域：（1）121 8 x y -= （2）11()2x y =-（3）3x y -= （4）1(0,1)1 x x a y a a a -=>≠+ 练习1．当1a >时，证明函数1 1 x x a y a +=- 是奇函数练习2．设a 是实数，2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。

三对数函数 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。同样：也分1>a 与10< 01a << 性质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R （3）过点(1,0)，即当1=x 时，0=y （4）在（0，+∞）上是增函数（4）在(0,)+∞上是减函数例1．求下列函数的定义域：（1）2 log x y a =；（2）)4(log x y a -=；（3）)9(log 2x y a -=．分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。练习1．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log 1.8，0.3log 2.7；（3）log 5.1a ，log 5.9a . 1 1 2x y = 2log y x = y x = （图1） 1 1 1()2 x y = 12 log y x = y x = （图2） (1,0) (1,0) 1x = 1x = log a y x = log a y x =