高二数学推理与证明课件
高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 (1)归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 (2)类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式:三段论 “三段论”可以表示为:①大前题:M 是P②小前提:S 是M ③结论:S 是 P。其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 (1)综合法就是“由因导果” ,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。 (2)分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。 4反证法 (1)定义:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 (2)一般步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正
小学数学中的合情推理
小学数学中的合情推理 (2009-07-29 16:35:15) 分类:教学 标签: 杂谈 合情推理,是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念,它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中,大力倡导合情推理的方法,并获得成功。 在数学学科教学中,我们重视和加强了双基教学,但学生在校所学到的学科知识,随着他们离开学校,多数会逐渐忘掉,甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后,仍然留下来的那些东西”(M?劳厄),学生学习数学获得的不仅仅是知识,除此之外,更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天,我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上,对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视,而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息,不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。 一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 《数学课程标准(实验稿)》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理,它“是在认知过程中,主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验,经过非演绎(或非完全演绎)的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在:“它可能是……”(猜测),“做出来看一看”(实验),“由上所述可得……”(归纳),“将人心比自心”(类比),“可以想象”(联想)等。 合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的;而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理,它推出的结论不一定都正确,却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中,医生诊断疾病,法官审判案件,军事家指挥战争,人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维,也主要是合情推理:量子力学方程是猜出来的;球体公式是阿基米德“称”出来的;而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明,合情推理的这两种主要推理方式…归纳?和…类比?,不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质,它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确,必须加以论证才能确立,但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的
高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)
2012高考真题分类汇编:推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 : 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A .28 B .76 C .123 D .199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即 21++=+n n n a a a ,所以可推出12310=a ,选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF = 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B .d C .d D .d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由,得设选项中常数为则;中代入得, 中代入得,C 中代入得中代入得,由于D 中值最接近的真实值,故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<,
小学数学教学中的合情推理
小学数学教学中的合情推理 在当今和未来社会中,人们面对纷繁复杂的信息经常需要作出选择和判断,进而进行推理、作出决策。因而,义务教育《数学课程标准》指出:“数学课程的学习,强调学生的数学活动,发展学生的推理能力。”推理分论证推理和合情推理两种。数学对发展推理能力的作用,人们早已认同并深信不疑。但是,长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能力,忽视了合情推理能力的培养。应当指出,数学需要论证推理,更需要合情推理。 一、合情推理的含义 合情推理是一种合乎情理、好像为真的推理,它是数学发现的方法之一。合情推理,不全都依据数学公理体系和数学定理进行推理,而是运用了一些特殊的推理方法,从所得命题的真假性来看,不像论证推理所得的命题那样严密和稳定。似真非真和似真确真这两种情况都有可能发生。因此,合情推理又被称为似真推理。数学中的合情推理是多种多样的,其中归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。法国数学家拉普拉斯说:“甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳和类比。” 二、发展学生合情推理的意义 首先,是实施新课标的需要。《数学课程标准》中明确:归纳和类比是合情推理的主要形式,并指出:第一学段“初步学
会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”,第二学段“进行归纳、类比与猜测,发展初步的合情推理能力”,第三学段“体会证明的必要性,发展初步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力,但小学阶段以发展学生初步的合情推理能力为主要目标。 其次,是由小学生的认知特点决定的。鉴于小学生的年龄与认知特点,他们不可能通过具有严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此,在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。再次,是学生学习数学的过程要求。波利亚说过:“数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明;但是这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话,那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”费赖登塔尔认为,学生学习数学是一个有指导的再创造的过程。数学学习本质是学生的再创造。数学知识的学习并不是简单的接受,而必须以再创造的方式进行。因此,在数学学习的过程中,应给学生提供具有充分再创造的通道,以激励学生进行再创造的活动。把数学知识学习的过程展开、还原,让学生经历观察、比较、归纳、类比……即合情推理提出猜想,然后再通过演绎,推理证明猜想正确或错误。数学网 三、发展学生合情推理的策略
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:推理与证明
推理与证明 1.(2019全国II 文5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 2.(2018浙江)已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若 11a >,则 A .13a a <,24a a < B .13a a >,24a a < C .13a a <,24a a > D .13a a >,24a a > 3.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A .对任意实数a ,(2,1)A ∈ B .对任意实数a ,(2,1)A ? C .当且仅当0a <时,(2,1)A ? D .当且仅当3 2 a ≤ 时,(2,1)A ? 4.(2017新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说, 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则 A .乙可以知道两人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 5.(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得 112n n S a +>成立的n 的最小值为 . 6.(2017北京)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
高二新课程数学《2.1.1合情推理》导学案(新人教A版)选修2-2
§2.1.1 合情推理(1) 学习目标 1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义; 2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. ~ P30,找出疑惑之处) 28 在日常生活中我们常常遇到这样的现象: (1)看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家,推断天要下雨; (2)八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 学习探究 探究任务:归纳推理 问题1:哥德巴赫猜想:观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜想: . 问题2:由铜、铁、铝、金等金属能导电,归纳出 . 新知:归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的 的推理,或者由 的推理.简言之,归纳推理是由 的推理. 典型例题 例1 观察下列等式:1+3=4=, 1+3+5=9=, 1+3+5+7=16=, 1+3+5+7+9=25=, …… 你能猜想到一个怎样的结论? 变式:观察下列等式:1=1 1+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100,
…… 你能猜想到一个怎样的结论? 例2已知数列的第一项,且,试归纳出这个数列的通项公式. 变式:在数列{}中,(),试猜想这个数列的通项公式. 动手试试 练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中,,(),试猜想这个数列的通项公式. 三、总结提升 学习小结 1.归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 知识拓展 1.费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在1640年通过对,,,,的观察,发现其结果都是素数,提出猜想:对所有的自然数,任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数,推翻费马猜想. 2.四色猜想:1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明. 学习评价 当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分: 1.下列关于归纳推理的说法错误的是(). A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.若,下列说法中正确的是(). A.可以为偶数 B.一定为奇数 C.一定为质数 D.必为合数 3.已知,猜想的表达式为(). A. B. C. D. 4.,经计算得猜测当时,有__________________________. 5.从中得出的一般性结论是_____________ . 课后作业 1. 对于任意正整数n,猜想与的大小关系.
2018高考文科数学推理与证明专项100题(WORD版含答案)
2018高考文科数学推理与证明专项100题(WORD版含答案)1. 下列说法中正确的是() A.当a>1时,函数y=a x是增函数,因为2>1,所以函数y=2x是增函数,这种推理是合情推理 B.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此.这种推理是演绎推理 C.命题的否定是¬P:?x∈R,e x>x D.若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小 2. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”. 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为() A.2017×22015B.2017×22014C.2016×22015D.2016×22014 3. 用反证法证明命题:“若a,b∈R,则函数f(x)=x3+ax﹣b至少有一个零点”时,假设应为() A.函数没有零点B.函数有一个零点 C.函数有两个零点D.函数至多有一个零点 4. 分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2﹣ac< 3c2,则证明的依据应是() A.c﹣b>0 B.c﹣a>0 C.(c﹣b)(c﹣a)>0 D.(c﹣b)(c﹣a)<0 5. 有一段演绎推理是这样的“所有边长都相等的多边形为凸多边形,菱形是所有边长都相等的凸多边形,所有菱形是正多边形”结论显然是错误的,是因为() A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6.
我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为() A.B.C.D.a 7. 定义:“回文”是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,如“我为人人,人人为我”等.在数学中也有这样一类数字有这样的特征,称为回文数.设n是一任意自然数.若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等,则称n 为一回文数.例如,若n=1234321,则称n为一回文数;但若n=1234567,则n不是回文数.则下列数中不是回文数的是() A.187×16 B.1112C.45×42 D.2304×21 8. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧,每天一部.受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演;《茶馆》不能在周一和周三上演;《天籁》不能在周三和周四上演;《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是() A.《雷雨》只能在周二上演 B.《茶馆》可能在周二或周四上演 C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D.四部话剧都有可能在周二上演 9. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过. 假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是() A.小赵B.小李C.小孙D.小钱 10. 设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=()
高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理 教案
类比推理 一、教学目标 1、知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; (2)能利用类比进行简单的推理; (3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 3、情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。 二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 ①归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子方法归纳。 (二)、引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 (三)、例题探析 例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗? 解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。