2019-2020学年重庆八中高三下学期第四次月考数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年重庆八中高三第二学期第四次月考数学试卷（理

科）

一、选择题（共12小题）.

1．已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝（）

A．2B．C．D．

2．已知集合，Q＝{x|lnx＜1}，则P∩Q＝（）

A．（0，1）B．（0，1]C．（1，e）D．[1，e）

3．设非零等差数列{a n}的公差为d，则使得数列也为等差数列的d有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个

4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m与α所成的角等于n与α所成的角，则m∥n

B．若m与α所成的角等于m与β所成的角，则α∥β

C．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角等于n与β所成的角

D．若m⊥n，则m与α所成的角不可能等于n与α所成的角

5．若a＞b，c＜0，则（）

A．ac＞bc B．C．ab＞bc D．ac2＞bc2

6．某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb”），即可获奖．已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为（）

A．9B．10C．12D．16

7．直线与圆x2+y2＝2相交于A，B两点，O为坐标原点，若，则a＝（）

A．B．±1C．D．

8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（4﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，则f（21）＝（）

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

9．设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左，右两支于点A，B．若AF2⊥BF2，且|AF2|＝|BF2|＝1，则实数a的值为（）

A．B．C．D．

10．用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为2cm的球放置在这个框架上（如图）．若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为（）

A．B．C．D．

11．函数f（x）＝x sin x+（a+1）cos x，a∈（0，π）的图象在点（a，f（a））处的切线与x 轴平行，则a＝（）

A．B．C．D．

12．已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，，I是∠BAC的平分线上一点，且．若△ABC内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某工艺品厂要制作一批鼠年迎春徽章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润．统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为．

14．若函数f（x）＝cos2ωx+（sinωx﹣cosωx）2（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝．15．若数列{a n}满足a1＝1，且，则＝．

16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物

线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．△ABC的内A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＜b，已知b cos2A＝a sin（A+C）．（1）求A；

（2）若，△ABC的面积为，求a．

18．2019年1月1日，由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，该平台是深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的互联网学习平台，覆盖全国所有党员干部职工．某党支部随机抽查了50名同志参加学习测评，达到90分及以上的记为“优秀”，90分以下的记为“不优秀”，得到的情况如表所示：优秀不优秀总计

男2230

女2

总计50

（1）将表格补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为测评的结果是否优秀与性别有关？

（2）现让测评得分最高的一名男同志和一名女同志参加现场问答比赛，一共设置5个问题为了增加比赛的趣味性，由女同志回答第一题后，答题人抛掷2枚正方体骰子（点数为1～6），若得到的两枚骰子的点数之和大于9，则由该同志继续答题，否则由对方答题，以此类推．已知第三题是由男同志回答，求男同志回答的问题比女同志回答的问题多的概率．

附表：

P（K2≥k0）0.100.0500.0100.001

k0 2.706 3.841 6.63510.828

参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD ＝1．E是棱PB上的一点，PE＝λPB．

（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．多面体PADCE的体积为，求λ．

20．已知椭圆，经过点M（m，1）且斜率为k的直线l与E相交于C、D 两点，与x轴相交于点P．

（1）若m≠0，且M恰为线段CD的中点，求证：线段CD的垂直平分线经过定点；

（2）若m＝0，设A、B分别为E的左、右顶点，直线AC、BD相交于点Q．当点P异于A、B时，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

21．已知函数f（x）＝e x﹣1+alnx．（e为自然对数的底数）

（1）当a＝0时，设g（x）＝f（x）﹣x，求函数g（x）在上的最值；

（2）当x≥1时，证明：f（x）+x2≥λ（x﹣1）+2，其中λ＝min{a+2，5}（min{a，b}表示a，b中较小的数．）

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．如图，在极坐标系Ox中，A（2，π），B（2，0），弧，，所在圆的圆心分别为（1，π），（1，0），，曲线M1是弧，幽线M2是弧，曲线M3是弧．

（1）写出曲线M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若曲线M4的极坐标方程为θ＝π（ρ≥0，k＝0，1，2），写出曲线M与曲线M4的所有公共点（除极点外）的极坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣2m|﹣|x+m|（x∈R）的最大值为3，其中m＞0．（1）求m；

（2）若（1﹣x）2+（1﹣y）2+（a﹣z）2≥对所有满足x+y+z＝m的实数x，y，z都成立，证明：a≤﹣2或a≥0．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝（）

A．2B．C．D．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．

解：∵＝，

∴|z|＝．

故选：D．

2．已知集合，Q＝{x|lnx＜1}，则P∩Q＝（）

A．（0，1）B．（0，1]C．（1，e）D．[1，e）

【分析】可以求出集合P，Q，然后进行交集的运算即可．

解：∵P＝{x|x≥1}，Q＝{x|0＜x＜e}，

∴P∩Q＝[1，e）．

故选：D．

3．设非零等差数列{a n}的公差为d，则使得数列也为等差数列的d有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个

【分析】根据等差数列的定义判定即可．

解：由，

若也为等差数列，只能是d＝0，

故选：A．

4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m与α所成的角等于n与α所成的角，则m∥n

B．若m与α所成的角等于m与β所成的角，则α∥β

C．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角等于n与β所成的角

D．若m⊥n，则m与α所成的角不可能等于n与α所成的角

【分析】对于A，m与n平行、相交或异面；对于B，α与β相交或平行；对于C，由面面平行的性质定理得m与α所成的角等于n与β所成的角；对于D，m与α所成的角有可能等于n与α所成的角．

解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，

对于A，若m与α所成的角等于n与α所成的角，则m与n平行、相交或异面，故A 错误；

对于C，若m∥n，α∥β，则由面面平行的性质定理得m与α所成的角等于n与β所成的角，故C正确；

故选：C．

5．若a＞b，c＜0，则（）

A．ac＞bc B．C．ab＞bc D．ac2＞bc2

【分析】利用不等式的基本性质逐一判断选项即可．

解：若a＞b，c＜0，则ac＜bc，故A错误；

若a＞0＞b，c＜0，则，，故B错误；

若a＞b，c＜4，则ac2＞bc2，故D正确．

故选：D．

A．9B．10C．12D．16

【分析】根据题意，由活动的规则分3种情况讨论：①若小赵收集为2+2型，②若小赵收集为3+1型，③若小赵收集的4个一样，分别求出每种情况下的情况数目，由加法原理计算可得答案．

解：根据题意，分3种情况讨论：

若小赵收集为2+2型，则有种情况，

若小赵收集的4个一样，则有种情况，

故选：C．

7．直线与圆x2+y2＝2相交于A，B两点，O为坐标原点，若，则a＝（）

A．B．±1C．D．

【分析】由题意画出图形，结合图形利用平面向量的数量积求出∠AOB的值，再利用圆心O到直线x﹣y+a＝0的距离求出a的值．

解：由题意知，?＝||×||×cos∠AOB＝××cos∠AOB＝﹣1，

解得cos∠AOB＝﹣，

所以∠OAB＝30°，

解得a＝±．

故选：C．

8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（4﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，则f（21）＝（）

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

【分析】根据f（x）为奇函数可得出f（﹣x）＝﹣f（x），然后根据f（x）＝f（4﹣x）即可得出f（x）的周期是8，然后即可求出f（21）的值．

解：∵f（x）为奇函数，f（x）＝f（4﹣x），

∴f（x+4）＝f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），

又x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣4，

故选：B．

9．设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左，右两支于点A，B．若AF2⊥BF2，且|AF2|＝|BF2|＝1，则实数a的值为

（）

A．B．C．D．

【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解即可．

解：双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F5的直线分别交双曲线的左，右两支于点A，B．若AF2⊥BF2，且|AF2|＝|BF2|＝7，如图：

由定义|BF1|＝1+2a，|AF1|＝8﹣2a，

故选：A．

A．B．C．D．

【分析】由题意画出图形，利用等面积法求出三角形ABC内切圆的半径，再求出球心到底面的距离，得到M到底面距离的最大值，代入棱锥体积公式求解．

解：如图，由题意，正三角形ABC的边长为6，

则，解得，

∴M到底面的高h的最大值3，

故选：D．

11．函数f（x）＝x sin x+（a+1）cos x，a∈（0，π）的图象在点（a，f（a））处的切线与x 轴平行，则a＝（）

A．B．C．D．

【分析】先求出f（x）的导数，然后根据切点处的导数即为切线斜率列方程，求出a的值．

解：f′（x）＝x cos x﹣a sin x．

∴f′（a）＝a cos a﹣a sin a＝0，∵a≠0．

故．

故选：A．

12．已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，，I是∠BAC的平分线上一点，且．若△ABC内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．

【分析】构造等边三角形，找出D的轨迹，从而可求出x的范围．

解：延长AB到E，使得AE＝4，连接CE，则△ACE为等边三角形，

设∠BAC的角平分线交CE于F，则F为CE的中点，且AF＝2，

取CF的中点G，则＝，

过G作GM∥AB，交AC于M，交BC于N，则D点在线段MN上（不含端点）．∴GN＝，GM＝1，∴＜GD＜2，

又与方向相反，x＝，

故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某工艺品厂要制作一批鼠年迎春徽章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润．统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为20．

【分析】设合格品个数为x，利润为y，得到y＝4x，由得＝400，解出即可．解：设合格品个数为x，利润为y，

则y＝4x，由得，，

故答案为：20．

14．若函数f（x）＝cos2ωx+（sinωx﹣cosωx）2（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝2．【分析】由三角函数的恒等变换化简函数余弦函数的周期公式即可求值

解：∵f（x）＝cos2ωx+（sinωx﹣cosωx）2＝cos2ωx+1﹣sin2ωx＝cos（2ωx+）+1；

∴T＝＝?ω＝2；

故答案为：6．

15．若数列{a n}满足a1＝1，且，则＝1365．【分析】本题结合题干中给出的递推公式在求前11项的和时运用分组求和法，然后可转化为等比数列进行求和，即可计算出结果．

解：由题意，可知

＝a1+a2+…+a11

＝5+22+24+…+210

＝

故答案为：1365．

16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝2．

【分析】由对称性，不妨设A在第一象限，设θ＝∠AFx，利用弦长公式，结合角平分线定理求解即可．

解：由对称性，不妨设A在第一象限，

设θ＝∠AFx，由

故答案为：2．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．△ABC的内A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＜b，已知b cos2A＝a sin（A+C）．（1）求A；

（2）若，△ABC的面积为，求a．

【分析】（1）由正弦定理与三角形内角和定理，转化为关于sin A的方程，求解即可；

（2）由余弦定理和三角形的面积公式，列方程组求出a的值．

解：（1）由正弦定理及A+B+C＝π，知sin B（1﹣2sin2A）＝sin A sin B，

因为B∈（0，π），所以sin B＞0．

因为a＜b，所以，故．

，

因为△ABC的面积，

因为，…③

故a＝1．

男2230

女2

总计50

（1）将表格补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为测评的结果是否优秀与性别有关？

附表：

P（K2≥k0）0.100.0500.0100.001

k0 2.706 3.841 6.63510.828

参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（2）根据相互独立事件的概率计算即可．

解：（1）根据题意填表如下：

优秀不优秀总计

男22830

女18220

总计401050

因为，

（2）由条件知，从第二题开始，上一个题由某人回答，下一题仍由这个人答题的概率为．

则：，

＝（1﹣p）?p?p+（7﹣p）?p?（1﹣p）+（1﹣p）?（1﹣p）?（1﹣p）+p?p?p ＝；

所以男同志回答的问题比女同志回答的问题多的概率为．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD ＝1．E是棱PB上的一点，PE＝λPB．

（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．多面体PADCE的体积为，求λ．

【分析】（1）解三角形可得AC⊥BC，结合题意可得AC⊥PC，进而得证AC⊥底面PBC，再由面面垂直的判定得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，根据题意建立关于λ的方程，解出即可．解：（1）证明：四边形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，

所以AD⊥CD，

所以，∠DAC＝45°．

所以BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC cos∠BAC＝3，解得，

因为PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，

因为BC，PC是平面PBC上的两条相交直线，

因为AC?平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC；

则C（0，0，0），，．

由（4）知，BC⊥底面PAC，故取平面PAC的法向量为．

设平面ACE的法向量为，

所以，

四棱锥P﹣ABCD的体积，

由条件，多面体PADCE的体积为②，

解得或．

所以．

注：由定义∠PCE为二面角P﹣AC﹣E的平面角，所以也可以直接用几何法．

20．已知椭圆，经过点M（m，1）且斜率为k的直线l与E相交于C、D 两点，与x轴相交于点P．

（1）若m≠0，且M恰为线段CD的中点，求证：线段CD的垂直平分线经过定点；

（2）若m＝0，设A、B分别为E的左、右顶点，直线AC、BD相交于点Q．当点P异于A、B时，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【分析】（1）设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线OM的斜率为，利用点差法求解CD的斜率，然后求解线段CD的垂直平分线的方程为，推出结果．（2）直线l的方程为y＝kx+1，由条件知：k≠0，求出向量．联立直线l 与椭圆E的方程，利用韦达定理，转化求解点Q（x Q，y Q），化简向量的数量积，推出结果．

解：设C（x1，y1），D（x2，y2）．

（7）证明：直线OM的斜率为，

所以，，

故线段CD的垂直平分线的斜率为，

所以，线段CD的垂直平分线经过定点（7，﹣1）．

则点，向量．

所以，．

直线BD的方程为②．

所以，．即为定值4．

21．已知函数f（x）＝e x﹣1+alnx．（e为自然对数的底数）

（1）当a＝0时，设g（x）＝f（x）﹣x，求函数g（x）在上的最值；

（2）当x≥1时，证明：f（x）+x2≥λ（x﹣1）+2，其中λ＝min{a+2，5}（min{a，b}表示a，b中较小的数．）

【分析】（1）对g（x）求导得g'（x）＝e x﹣1﹣1，易知函数g（x）在上单调递减，在上单调递增，故最小值为g（1），结合作差法和放缩法比较g（）和g（）的大小，取较大者为最大值．

（2）分两类讨论：①当a+2≤5时，λ＝a+2，原不等式化为e x﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a ≥0，构造函数k（x）＝e x﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，然后证明k（x）≥0即可；②当a+2＞5时，λ＝5，原不等式化为e x﹣1+alnx+x2﹣5x+3≥0，结合（1）中的e x﹣1≥x以及a ＞3，得e x﹣1+alnx+x2﹣5x+3＞3lnx+x2﹣4x+3，于是构造函数h（x）＝3lnx+x2﹣4x+3，x≥1，再证明h（x）≥0即可．

解：（1）当a＝0时，g（x）＝e x﹣1﹣x，，所以g'（x）＝e x﹣1﹣1，令g'（x）＝0，得x＝1，

所以函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因为g（）＝﹣，，

所以，

综上，函数g（x）在上的最小值为0，最大值为﹣．

因为f（x）+x8≥λ（x﹣1）+2，所以e x﹣1+alnx+x2﹣（a+7）x+a≥0，

令，则，

因为a≤3，所以φ'（x）≥5，当且仅当x＝1且a＝3时，等号成立，

由于k'（1）＝1，所以k'（x）＞4，即k（x）在[1，+∞）上单调递增，

②当a+2＞5，即a＞3时，λ＝5．

由（4）知，e x﹣1≥x，

设h（x）＝3lnx+x2﹣4x+3，x≥1，则，

因为h（2）＝0，所以h（x）≥0，即原不等式成立．

综上所述，当x≥1时，f（x）+x6≥λ（x﹣1）+2，λ＝min{a+2，5}．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．如图，在极坐标系Ox中，A（2，π），B（2，0），弧，，所在圆的圆心分别为（1，π），（1，0），，曲线M1是弧，幽线M2是弧，曲线M3是弧．

（1）写出曲线M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若曲线M4的极坐标方程为θ＝π（ρ≥0，k＝0，1，2），写出曲线M与曲线M4的所有公共点（除极点外）的极坐标．

【分析】（1）（1）直接利用转换关系，把参数方程，极坐标方程和普通方程之间进行转换．

（2）利用极径应用求出结果．

解：（1）在极坐标系Ox中，A（2，π），B（2，0），弧，，所在圆的圆心分别为（1，π），（6，0），，曲线M3是弧，幽线M2是弧，曲线M3是弧．

在以O为原点的平面直角坐标系中，

；

则它们的极坐标方程分别为：M1：ρ＝﹣3cosθ，；

，θ∈[π，7π]．

得，，，

则曲线M与曲线M4的所有公共点（除极点外）的极坐标分别为：，，．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣2m|﹣|x+m|（x∈R）的最大值为3，其中m＞0．（1）求m；

（2）若（1﹣x）2+（1﹣y）2+（a﹣z）2≥对所有满足x+y+z＝m的实数x，y，z都成立，证明：a≤﹣2或a≥0．

【分析】（1）由绝对值三角不等式可得f（x）＝|x﹣2m|﹣|x+m|≤|（x﹣2m）|﹣（x+m）|＝|3m|＝3m，从而求得m的值；

（2）由基本不等式可证得3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2．利用此结论即可得证．

【解答】（1）解：∵m＞0，∴f（x）＝|x﹣2m|﹣|x+m|≤|（x﹣2m）|﹣（x+m）|＝|3m|＝6m，

∴3m＝3．m＝1．

所以a2+b8+c2≥ab+bc+ca，

又因为x+y+z＝1，

由条件，，解得a≤﹣2或a≥0．