参数方程的概念学案
参数方程的概念学案
第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静
【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义；
2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
【学习重点】曲线参数方程的定义及求法
【学习难点】曲线参数方程的探求。
一、【课前预习】
引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？
思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方
程进行比较，体会参数方程的作用。
二、【新知探究】
1、参数方程的概念
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ???
，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。
2、关于参数几点说明：
（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
3、求曲线的参数方程的一般步骤。
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
三、【预习检测】
1、曲线2
1,(43x t t y t ?=+?=-?
为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16
D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=?
为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22
D 、（1，0）
3、已知曲线C 的参数方程是???==θ
θsin 2cos 3y x （θ为参数），当3π
θ=时，曲线上对应点的坐标 是 . 4、已知曲线C 的参数方程是???+==1
232t y t
x （t 为参数）.
（1）判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系；
（2）已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值. 四、【典型例题】
【例1】已知曲线C 的参数方程是212,().x t t y at =+?∈?=?
为参数,a R ，点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C 的普通方程.
【例2】动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3m/s 和4m/s ，直角坐标系的长度单位是1m ，点M 的起始位置在点)1,2(0M 处，求点M 的轨迹的参数方程.
五、【课后检测】
1、物体从高处以初速度)/(0s m v 沿水平方向抛出.以抛出点
为原点，水平直线为x 轴，写出物体所经路线的参数方程.
2、已知曲线C 的参数方程是???-=+=θ
θsin 3sin 21y x （θ为参数，πθ20<<），试判断点)25,0(),3,1(B A 是否在曲线C 上.
3、在方程???+==θ
θθcos sin 2sin y x （θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标是（ ） A ．)3,1( B ．)3,2( C ．)2,21(- D ．)2
1,43(- 4、方程sin cos 2x y θθ
=??
=?（θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（ ）
A ．(2,7)-
B ．12(,)33
C ．11(,)22
D ．(1,0) 5、曲线1xy =的参数方程是（ ） A ．1212x t y t -?=???=?
B ．?????==ααsin 1sin y x
C ．?????==ααcos 1cos y x
D ．?????==ααtan 1tan y x 6、已知圆042
2=-+x y x ，在圆上任取一点P ，坐标原点为O ，设OP 的倾斜角为α，取α为
参数，求圆的参数方程。
. .
人教A版 参 数 方 程 学案
第二节参数方程 知识体系 必备知识 1.参数方程与普通方程 参数方程普通方程 变量间 的关系 曲线上任意点的坐标x,y都是某个 变数t的函数,t简称参数 曲线上任意点坐标x,y 间的关系 方程 表达式 F错误!未找到引用源。 =0 曲线的 方程、方 程的曲 线 (1)曲线上任意点的坐标x,y都是 参数t的函数 (2)对于t的每一个允许值确定的 点错误!未找到引用源。都在曲线 上 (1)曲线上点的坐标都 是方程的解 (2)以方程的解为坐标 的点都在曲线上 2.参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程:主要利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.
(2)普通方程化参数方程:如果x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),则得曲线的参数方程错误!未找到引用源。 3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹普通方程参数方程 直线 y-y0=tan α(x-x0) (t为参数) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 (θ为参数) 椭圆错误!未找到引用 源。+错误!未找到 引用源。=1 (a>b>0) (φ为参数) 基础小题 1.已知直线错误!未找到引用源。(t为参数),下列说法中正确的有 ( ) ①直线经过点(7,-1);②直线的斜率为错误!未找到引用源。;③直线不过第二象限;④|t|是定点M0(3,-4)到该直线上对应点M的距离. A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③
【解析】选D.根据题意,直线错误!未找到引用源。(t为参数),其普通方程为y+4= 错误!未找到引用源。(x-3),对于①,(-1)+4=错误!未找到引用源。(7-3),即直线经过点(7,-1),①正确;对于②,直线的普通方程为y+4=错误!未找到引用源。(x-3),其斜率k=错误!未找到引用源。,②正确;对于③,直线的普通方程为y+4=错误!未找到引用源。(x-3),不经过第二象限,③正确;对于④,直线错误!未找到引用源。(t为参数),|5t|表示定点M0(3,-4)到该直线上对应点M的距离,④错误. 2.过点A(2,3)的直线的参数方程为错误!未找到引用源。(t为参数),若此直线与直线x-y+3=0相交于点B,则|AB|=________. 【解析】把错误!未找到引用源。代入直线x-y+3=0得t=2, 则交点为(4,7), 所以|AB|=错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。. 答案:2错误!未找到引用源。 3.直线l的参数方程为错误!未找到引用源。(t为参数),求直线l的斜率. 【解析】将直线l的参数方程化为普通方程为 y-2=-3(x-1),因此直线l的斜率为-3. 4.已知直线l1:错误!未找到引用源。(t为参数)与直线 l2:错误!未找到引用源。(s为参数)垂直,求k的值. 【解析】直线l1的方程为y=-错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。,斜率为-错误!未找到引用源。;
高三数学一轮复习 专题 直线的参数方程导学案
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
2019高考数学考点突破——选考系列参数方程学案
参数方程 【考点梳理】 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲 线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例 如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ? ?? ?? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ? ?? ?? x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) ? ?? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 考点一、参数方程与普通方程的互化 【例1】已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ????x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π 2 ，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：
《参数方程和普通方程的互化》导学案3
《参数方程和普通方程的互化》导学案3 1. 了解参数方程化为普通方程的意义. 2 ?理解参数方程与普通方程的互相转化与应用. 课标解读 3 .掌握参数方程化为普通方程的方法 知识梳理 参数方程与普通方程的互化 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式?一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程, |x= f t 求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数 i y= g t 方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致. 思考探究 普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参 数不同，那么所得的参数方程的形式也不同 课堂互动 |x= a+1 cos 0 , 例题1在方程y= ?+ t sin 0, （a，b为正常数）中， (1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?
非零常数时，利用平方关系消参数 0，化成普通方程，进而判定曲线形状. x = a + t cos 0 , ① 【自主解答】 方程* (a , b 是正常数)， |y = b + t sin 0 , ② (1) ①x sin 0 —②x cos 0 得 x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0. ■/ cos 0、sin 0不同时为零， ???方程表示一条直线. (2) ( i )当t 为非零常数时， 即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆. (ii)当t = 0时，表示点(a , b ). 1?消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程， 关键是消去参数，如果参数方程是整式方程， 常用的消元法 有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要 做必要的变形?另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e — x )2 2 x —x 2 1 — k 2 2k 2 -(e -e ) =4,("+ E=1 等. 2?把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线. 将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状: x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n ); |y = 2s in 0 r 4 4 x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2 ( 0为参数)； |y = 1 — 2sin 0 cos 0 2 2 x — a ③2+④得 —cos 0， —sin 0 . 2 y — b 2 ■=1, ④ 「X — a I t 原方程组为\ ￥
人教版数学高一必修2学案4.1.2圆的一般方程
4．1.2圆的一般方程 基础梳理 1．圆的一般方程的定义． 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形． 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系． 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：
练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0 练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ?思考应用 1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程． 2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
自测自评 1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16 解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4. 2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．F ＝E D ．D ＝ E ＝ F 解析：由题知圆心? ?? ??－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D 2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1. 4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，
直线的参数方程和应用(学案)
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， x
极坐标参数方程导学案(一)
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案
圆的标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
参数方程的概念学案
参数方程的概念学案 第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静 【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义； 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 【学习重点】曲线参数方程的定义及求法 【学习难点】曲线参数方程的探求。 一、【课前预习】 引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？ 思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方 程进行比较，体会参数方程的作用。 二、【新知探究】 1、参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ??? ，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、【预习检测】 1、曲线2 1,(43x t t y t ?=+?=-? 为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16 D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=? 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22 D 、（1，0）
导学案：参数方程与普通方程的互化(可编辑修改word版)
? + = 2 课题：参数方程与普通方程的互化 【学习目标】 1. 进一步理解参数方程的概念及参数的意义。 2. 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型 3. 能选择适当的参数将普通方程化成参数方程 【重点、难点】 参数方程和普通方程的等价互化。 自主学习案 【问题导学】阅读课本 P24—P26，然后完成下列问题： 1. 参数方程的概念 (1) 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数t ? x = f (t ) 的函数? y = g (t ) (t ∈ D ) , 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 ，联系变数 x 、 y 的变数 t 叫做 ，简称 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F (x , y ) = 0 叫做 。 (2) 是联系变数 x,y 的桥梁，可以是一个有 意义或 意义的 变数，也可以是 的变数。 2、 （ 1） 圆 心 在 原 点 O ， 半 径 为 r 的 圆 的 一 个 参 数 方 程 是 ； （2）圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的一个参数方程是 . 3、指出下面的方程各表示什么样的曲线： （1）2x+y+1=0 表示 (2) y = 3x 2 + 2x +1 表示 2 (3) x y 1表示 9 4
t ? (4) ?x = cos + 3(为参数) 表示 ? y = sin 【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ ?x = t +1 ?x = 2 c os 1、? y = 1- 2t （t 为参数） 2、? y = sin （为参数） ? ? 思考： 1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？ 2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？ 合作探究案 考向一、参数方程化普通方程 例 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 （1） ??x = ? + 1 ?x = sin + cos （t 为参数） （2） ? y = 1 + sin 2 （为参数） ?? y = 1 - 2 ? 小结： t
2017参数方程学案.doc
第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．
A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交
直线的参数方程导学案
《直线的参数方程》导学案 紫云民族高级中学高二数学组 学习目标： 1、了解直线的参数方程及参数的的意义 2、能选取适当的参数，求直线的参数方程 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 一、回忆旧知，做好铺垫 1.→a 与→b 共线向量的充要条件是什么？________________________ 2.直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 3.什么是单位向量？________________________ 4.斜率存在且为k 的直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 5.倾斜角为α的直线l 的单位方向向量怎样表示?________________________ 6直线方程的有几种形式？ 二直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为 ??? ??≠2παα 的直线l 的 普通方程是________________________; 合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线l 的参数方程如何建立？
得出结论：定点 ) ,(000y x M 倾斜角 α直线的参数方程为 观察直线的参数方程，知道那些量可以把直线的参数方程写出来？ 练一练 1.写出满足下列条件直线的参数方程： （1）过点（2,3）倾斜角为4π （2）过点（4,0）倾斜角为32π
知识探究一： 由 t M 0 ,你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何 意义吗？ 知识探究二： 如图所示：请讨论参数t 的符号； 利用t 的几何意义，如何求过M0直线上两点AB 的距离？ 点A,点B 在M0同侧点A,点B 在M0异侧 e
高中数学《圆的标准方程》导学案
2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM | (2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2 第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)． 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量． (2)圆的参数方程(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)． 双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)． 抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)． 双基自测 1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )． A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆． 又∵相加得x＋y＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________. 解析 参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x ＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6. 答案 －6 3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则直线l与圆C的位置关系为________． 解析 将直线l的参数方程：化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝2，圆心(0，)到直线y＝1＋2x的距离为，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交． 答案 相交 5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________． 解析 由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(y≥0)由(t∈R)得，x＝y2，∴5y4＋16y2－16＝0. 解得：y2＝或y2＝－4(舍去)． 则x＝y2＝1又θ≥0，得交点坐标为. 答案 考向一 参数方程与普通方程的互化 【例1】?把下列参数方程化为普通方程： (1) (2) [审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t. 解 (1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1, x θ y M 圆与椭圆的参数方程导学案 教学目标： 知识与技能：了解圆与椭圆的参数方程及参数的的意义； 过程与方法：能选取适当的参数，求圆与椭圆的参数方程，利用参数方程求最值； 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学重点：圆、椭圆参数方程的定义与应用. 教学难点：选择适当的参数写出圆、椭圆的的参数方程，并利用其求最值. 问题1.回顾圆的标准方程 . 问题2.推导圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程： 在圆上任取点(,)M x y ，试用θ表示x 与y ： 其中参数θ的几何意义为： . 问题3. 怎样得到圆心在1(,)O a b ,半径为r 的圆的参数方程? 问题4.圆的参数方程的应用： 1.圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0） 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. 2. 已知(,)P x y 是圆C ：2264120x y x y +--+=上的点。 （1）求x y -的最大值与最小值； （2）求22x y +的最大值与最小值. （3）求 y x 的最小值与最大值； 问题5: 你能仿照圆的参数方程猜想出椭圆 的参数方程吗？ 如下图，以原点为圆心，分别以,(0)a b a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，半径OA 绕点O 旋转，（1）试用半径OA 的旋转角?表示出点M 的横纵坐标x ，y ，由此得参数方程； （2）试消掉（1）中的参量?，得出点M 的轨迹方程。 问题6: 你能仿照问题5写出椭圆 （0a b >>）的参数方程吗？ 问题7：椭圆 的参数方程为 的几何意义是什么？ 1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ） 2.?称为离心角，规定参数?的取值范围是 问题8:椭圆的参数方程的应用： 在椭圆2288x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小.(可以选择不同的解法) ?,,b a )0(122 22>>=+b a b y a x 其中为参数)(sin cos ?? ????==b y a x )0 (12222>>=+b a b y a x O A M x y N B 122 22=+a y b x 2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨 迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。 《抛物线的参数方程》教学案2 教学目标： 1.知识与技能： 理解抛物线的参数方程，掌握参数方程的应用. 2.过程与方法： 通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法. 3.情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定信心. 重点难点 能用抛物线的参数方程处理有关问题. 教学过程 问题引入 前面曾经得到以时刻t 作参数的抛物线的参数方程: 210015002x t y gt =???=-?? (t 为参数，且0≤t 对于一般抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？ 课堂互动 复习抛物线的标准方程的四种形式，并填空： （1） 22(0)y px p =>表示顶点在 ， 焦点在 的抛物线； （2）22(0)x py p =->表示顶点在 ， 焦点在 的抛物线。 典型例题 例1?O 是直角坐标原点，A ?B 是抛物线 22y px =(p >0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程. 变式:设抛物线 22y px =的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 与Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程. 课堂作业 1. 若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2 4()4x t t y t ?=?=?为参数上，则PF 等于 （ C ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2. 抛物线22x m y m =??=-?（m 为参数）的焦点坐标是 （ B ） A ．(1,0)- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(2,0)- 3. 已知曲线2 2()2x pt t p y pt ?=?=?为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为 12t t 和，120t t +=且，那么MN = （ C ） A ．1p t B ．12p t C ．14p t D ．18p t 4. 若曲线2 22x pt y pt ?=?=?（t 为参数）上异于原点的不同的两点1M 、2M 所对应的参 数分别是1t 、2t ，求12M M 所在直线的斜率. 课后作业 书本 河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】 【学习重难点】 重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 难点：圆的一般方程的特点． 【学习过程】 （一）检查预习、交流展示 写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。 （二）合作探究、精讲精练 探究一：圆的一般方程的定义 1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 2．引出圆的一般方程的定义 当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 探究二：圆的一般方程的特点 当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0 (2)没有xy项，即B=0； (3)D+E-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． 例1 求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0． 练习:下列方程各表示什么图形? 例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． （三）课堂小结： 1.圆的一般方程的特点． 2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 选修系列4-4参数方程导学案 心学习目标 1.了解直线的参数方程以及参数t的几何的意义. 2.熟练掌握参数方程和普通方程的互化. 3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题. 4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题 一、课前学案基础盘点: 1、参数方程的概念 般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X, y都是某个变数t的函数［x —f t)①，并且对于t的每一个允许值, L y —g(t) 由方程组①所确定的点M(x , y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做 这条曲线的,联系变数x, y的叫做参变数，简,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫 2、圆的参数方程 圆心在坐标原点半径为r的圆x2+y2=r2的参数方程为 f x= rcos 0 i . A ( 0为参数).圆心为(a, b),半径为r的圆l y= rsin 0 (x —a)2+ (y —b)2= r2的参数方程为：_ . 3、椭圆的参数方程 以坐标原点0为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程的标准 f x = acos 6 （a >b >0） ）其参数方程为l y ^bsin 6 （ 6 为参数），其中 f x = bcos 6 b >0） ，其参数方程为b^asin 6（ 6 为参数） ，其中参数6 为离心角, 通常规定参数?的范围为?€ [0,2 n.） 4、直线的参数方程 方程中参数t 的几何意义: 二. 课堂探究考点突破 考点一.参数方程化普通方程。 【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线: （X = 5cos? 〔X = 1 - 3t 叫y = 4sin?严参数）；叫y=4t 考点二.直线参数方程的有关应用 【例2】已知直线I 经过点P （1,1），倾斜角a （1）写出直线I 的参数方程; （2）设l 与圆X 2 +y 2 =4相交于两点A 、B ,求〔AB] r 1 X = 1 + — t , 2 （t 为参数），曲线 V 3 + X 2 t . 方程 参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 （a > 经过点M （x 0, y o ），倾斜角为 I 的普通方程是y —y o = tan — x o ），它的参数方程为 .直线的参数 （t 为参数） 【例2的变式训练】：已知直线G : <2017参数方程学案
圆和椭圆的参数方程导学案
最新椭圆及其标准方程导学案
《抛物线的参数方程》教学案2
高考数学总复习 圆的一般方程学案
参数方程学案