学习数分

数学分析，简称数分，主要内容是微积分，是数学专业数学学习的开端，也是通往未来更高等数学的开端。同样，它是分析方向的基础，学好数学分析非常重要。

数分和中学数学有着非常大的区别，可以说，中学和中学以前的数学，都是在介绍各种运算法则，理论性的东西非常之少。到了数分上，就有了非常多的理解性东西，虽然某些概念的定义仍然是用数学符号表达，但是要想完全彻底的理解概念，还是要做深入的思考，而不是像中学那样，仅仅是训练公式的熟练度。

对任何一门学科，教材和题集的选取都是至关重要的。这里说下笔者的体会，华东师大的两本书很适合入门，也是普遍普通数学系的数分教材。但是数分是很多后面科目的基础，包括后续的分析内容，实复分析，泛函调和分析，还有一些其他分支，例如微分几何，微分方程等等，一本好的数分教材应该稍微涉及到其他数学科目的基本概念。这里推荐徐森林的《数学分析》。笔者在自学这套教材之后，发现它和普通数分教材比，有很多优点，列举如下:在讲授单元积分学时，本书通过引入零测集的概念，给出可积的充要条件，这对后续学习测度论有益；在讲授多元极限前，普遍本科生已经熟悉了单元极限，本书在此引入了拓扑学的一些基本概念，拓扑，度量空间，紧致集等，首先把开集推广到一般情况，进而把极限以及连续性推广到一般拓扑空间上，最后将连续性的一些定理推广到了一般拓扑空间上，这样，单元中所接触到的单侧极限，广义极限也仅仅是特例，再讲授多元极限，自然水到渠成；在讲授傅里叶级数时，引入了傅里叶积分和傅里叶变换，它们是调和分析的内容，可以用来计算某些含三角函数的积分的简便公式；在讲授多元积分的三大公式——斯托克斯公式、高斯公式、格林公式时，本书借助微分形式和外微分算子，将他们统一成一个公式，公式的统一既深入理解了三大公式的关系，又对后续学习流形有益。

俄罗斯有一套《数微积分学教程》，国内的很多数分教材都深受本书影响，本书可以说是数分的一本工具书，它含有大量的例题，并且内容非常丰富，包含了很多普遍教材没有的内容，例如绪论的通过证明有理数的不完备性，引入无理数，再证明实数完备性的内容，是大部分数分教材没有篇幅可以介绍的；高阶导数部分介绍埃尔米特差值公式；不定积分处介绍椭圆积分；正项级数的库默尔判别法;函数项级数处的拟一致收敛等等。但是本书是20世纪初所著的，当时测度论还不完善，所以并不包含比如可积的充要条件为不连续的点是零测集，这样的重要内容。对有能力的学生，可以选择卢丁(Rudin)的《数学分析原理》，本书是作者卢丁所著的分析三部曲第一本，后两本则是《实分析和复分析》与《泛函分析》。这本书比上述教材都更有难度，因为它是直接从拓扑角度讲数分的，并且为了和后两本衔接，还引入了基本测度论。对于有能力的同学不妨一试。

下面说题集。对于大多数学生，天资并没达到天才的层次，光看教材是不能完全理解理论的，这一点越到后面更难的科目更能体现出来。应用理论解决问题，是理解理论的重要途径。但是，如果仅仅是看解答，并不会有太大进步的，经常直接看解答会让你对答案产生依赖，懒惰会让你不再独立思考，这就相当于你是在拄着拐杖走路。一旦到了需要独立解决问题的时候，就相当于拿走了你的拐杖，这时便很难行走了。因此，做题时独立思考是非常重要的，可以毫不夸张的说，独立做出一道题，比看十个解答都有用。这里按难度从易到难，推荐如下题集: 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》，这本书很适合准备考研；徐森林的《数学分析精选习题全解》这套就是和徐森林的《数学分析》配套的题集，值得一提的是科大的数分教材史济怀和常庚哲合著的《数学分析教程》上大部分有难度的课后习题，都可以在本书中找到解答；周民强《数学分析习题演练》，这一套很有难度，事实上大多题目来自W.J.Kaczor和M.T.Nowak所著的三本题集《Problems in Mathematical Analysis》；Poyla的《数学分析中的问题和定理》，Polya大师的这一套虽然是题集，但是观点非常高，可以说是数分难题的顶峰，借助问题来引出各种定理和技巧。最后推荐的这本书，笔者认为是学习数学分析的必读书目，但是笔者发现很难将它分在教材还是题集中，因此放在最后介绍，这套书叫谢慧民等著的《数学分析习题课讲义》，分上下两册，可以算作带有

题集的学习辅导书。大部分学习辅导书，都是通过重述定理定义内容以及题目和解答来"讲"概念和定理的，本书却大篇幅的具体讲述各种定理该如何理解，一些相似概念的区别和联系，说它是难得的一套从浅如深理解数分的好书绝不为过。每一章最后，都有参考题，难度适中，缺点是题目没有给出解答或提示，这对初学者来说十分不方便。

自己看书做题是一方面，和他人讨论是更好的学习方式。可以参加学校组织的或者个人组织的研讨班，包括讨论定理或概念该如何理解，自己遇到困难的题目有哪些思路。还可以在一些数学网站上讨论数学，在较正规的数学网站上发言，往往需要LaTeX 打公式，有兴趣的学生可以自学下，并不是很难。

最后笔者推荐几个数学网站。这是博士数学论坛(https://www.360docs.net/doc/1d14691998.html,)，是国内最专业的数学网站，有很多高校的数学高手和数学系老师常驻。SE数学版(https://www.360docs.net/doc/1d14691998.html,)}这是国内外比较火的数学网站，它是

MO(https://www.360docs.net/doc/1d14691998.html,)下的网站，后者是研究级别的数学网站，包括陶哲轩在内的很多数学家都在上面讨论。SE是为了保证后者讨论质量而建立的适合本科生讨论问题的网站(实际上SE接受任何水平的数学问题——哆嗒数学网注)，可惜数分模块中的问题更多的是计算，理论性不多。还有是罗马尼亚的"解题的艺术"网站(https://www.360docs.net/doc/1d14691998.html,)的数分模块。

在Princeton教了两年书，总会在有意无意中比较中国和这里的本科教学。比起国内的大多数高校，这里的教学时间可谓真的很短。像我教的线性代数（主要面向物理系或是计算机系，也有少部分是数学系的人），一个学期就要讲完从线性方程到Jordan标准型的所有内容。而一个学期只有12周，每周3个小时！而另一门基础课《多元微积分》的情况也差不多。很多时候，一些定理的证明根本没有时间讲，即使讲了学生也还是不懂。后来发现，其实真的不需要讲这么细，因为如果有本不错的教材的话，上面都会写，课堂上只用提到一些大概的关键就好了。另一个有意思的事情是，我刚开始在这里教书的时候就被告知，所有在课堂上讲的例子都不能是从课本上的，因为学生可以自己看。

在国内数学系通常要教3个学期的数学分析（国内每学期除去考试，大概是18周，每周至少4个小时），在这里的教法也很奇怪。由于刚开始大一的时候是不分专业的，所有的人都要只学微积分。但是区别在于，数学系会同时开不同程度的微积分，对数学感兴趣的人会选难一点的课程。但就像上面说的，由于时间很短，根本不能指望学生把所有的细节都弄明白。然后如果要选数学专业的话，学生会被要求至少上一门实分析，一门复分析，这才真正接触一些分析当中的证明，当然一门课仍然只有12周，每周3个小时。我刚开始的时候真是觉得有点不明白，为什么这里的本科生刚来的时候感觉整体上不怎么样，教学时间也很短，但到了毕业的时候总有几个特别优秀的学生，让人觉得不可思议。后来仔细分析起来，原因可能是这样，虽然基础课的时间短，要求也不高，但是系里面会开很多更“高级”一点的选修课程，从代数、分析、拓扑、方程、微分几何到概率、随机、编码、图论、计算，其中必修的课程除了上面提到的实分析和复分析之外，还要选一门代数，其他的学生都可以根据自己的兴趣自由选择。再加上教课都是这些领域里面很牛的教授，他们会根据自己的兴趣选择最有用的部分教给学生。而对于此前可能因为教学时间很短而囫囵吞枣的基础课程，学生也能够因为在更高级的课程里面的反复应用而加深理解。另外，系里面对Seminar课程很重视。在Seminar课程上，学生会组织起来一起读一些文献，真正开始思考数学问题。这样，较短的课程教学时间反而有利于学生自主的学习，而且学得很快。不过，这里最难得的是有这些教授们给出本科生能够理解，在数学上又有意义的问题让学生讨论。到了真正做本科论文的时候，有了前面的积累，资质很好的学生能够真正解决一些问题，也就不难理解。最后，他们评价本科生，最主要的也并不是完全看这个学生修了多少课，考

了多少分；而是看有没有真正解决问题的能力。当然，能做好论文的学生，考试成绩也不会差到哪里去，但往往不是最高分。

国内的数学系真应该好好反思一下，是不是真的有必要开这么多的必修课，和花这么多的时间在所谓的基础课上。一些必修的基础课，感觉根本就是重复设置。学生的自主权很小，每个人都要花很多时间去应付一些自己不喜欢，而又一辈子都不会用到的必修课。而过于强调扎实基础，把经典的、已知的东西抠得很细，却不知道什么是真正重要的未知问题；能懂得抽象的理论证明，却不知道怎么处理具体的例子；也许能把别人的东西学懂，却不知道如何创造。在评价学生学业的时候，以精确的考试成绩作为最重要甚至是唯一的标准，这在管理者看来也许是最简单的方式，其实也是最粗暴的方式。本来最能体现理解问题和解决问题的综合能力的本科论文流于形式，有时连形式都没有。也许在国内有些教授的心里，其实压根就不相信本科生真的能做出什么东西来吧。

《宏观经济》：告诉我们经济是具有周期性的，无论是资本主义市场还是特色主义，绝大多数你现在看起来牛逼的人都是在经济上升周期投机、勤劳发家致富的。

《微观经济》：告诉我们给老板给公司打工取得工资的实质是我们出让了我们脑力和体力的机会成本，垄断系统的铁饭碗没啥好议论的他们就是传说中的利益集团。

《会计学》：告诉我们一般涉及到现金流的计算、都会考虑到货币的时间价值，也就是“复利”、复利实质上是一种指数函数、它的特征是你向高利贷借1000块钱，50年后你卖老婆孩子都不一定能还的完。也不要随便说10年前房价才2000块一平、十年期你的工资可有2000块呢。

《管理学》：告诉我们当喜马拉雅山被发现山谷里全是金矿的时候，你应该做的是在山谷旁边卖牛仔裤、铁锹，而不是去淘金。

《金融学》：告诉我们世界上90%企业的命运都被银行攥在手心里。另外改变人类的不是火的使用也不是文字。是金融和金融思维。

《保险学》：告诉我们一：保险对每个人都真的很重要。二：即使学完了保险课程，你还是玩不过那帮卖保险的。《证券投资学》：告诉我们一夜暴富不是没有可能。有人成功过，还不止一个，更重要的是即使此时此刻也有人在证券市场上一秒获利百万。为此，我们要有梦想，对财富的梦想！

《金融工程》：告诉我们卖煎饼果子的摊主也应该学金融，因为对面粉和鸡蛋价格波动的掌握直接影响成本，如果你的煎饼摊考虑开分店，你就要考虑套期保值了！另外一点就是金融是数学家获诺贝尔经济学奖的一个捷径！

《公司金融》：告诉我们一个富人，口袋里没钱的单独待在一个地方超过一天他就饿了，超过10天他就死了。现金流管理是多么重要！

《期货交易》：告诉我们从自己口袋里露出一块钱告诉杀猪的你有钱，然后从他那借10斤猪肉每斤10元卖掉，过一个礼拜肉价下降你又从市场上买10斤猪肉每斤8元，还给杀猪的。这样你就用1元赚了20元。

《期权、权证》：告诉我们花5%的期权费就可以获得一份企业组织股权买卖的权利，我们每年花30%纳税，不应该获得一份gorvenment组织的选票是不地道的。另外一条是从数学的逻辑上讲，技术分析是不能帮助你在证券市场上获得超额收益的，卖书的股神真不靠谱，除非你坚信不疑。

《金融风险理论》：告诉我们大多数零和游戏都包含有赌徒心理，风险什么的就不在考虑范围了。

《财政学》：告诉我们每年我们交的各种税金之和近似等于我们在饮食上的支出，看到这，你要是还觉得political rights不和你有一毛钱关系，那小伙子你就该吃药了。一句话：有一个朗朗乾坤清明法制的制度是多么的重要！《概率论、统计学》：告诉我们在理性的数理逻辑面前，我们几乎从来没有正确预测过任何一件事情。想一想，本质上我们来到这个世界是随机的、读什么学校也是随机的、认识那些朋友也是随机的、跟谁结婚也是随机的、能活多长都是随机的。想到这生命是多么的随便可怕又是多么的有趣。

郑也夫：我们该怎样读书、怎样思考

大学的教育要教什么，我认为简单地说，就是教三件事：怎么读书；怎么写论文；怎么思考。延展一下，像我的学科——社会学，还教怎么做社会调查，自然科学则要教大家怎么做实验。在这儿我就谈两件事：一是怎么读书，二是怎么思考。这倒应了孔子他老人家所说的“学而不思则罔，思而不学则殆”。

读书带来的是乐趣而非利益

怎么读书呢我想从不喜欢读书开始谈起。我所见到的情况，无论小范围还是大范围，都不怎么令我满意。整体来说，和其他民族比较起来，我们这个民族现在不太爱读书。

有一本书非常好，叫《钢铁、细菌与大炮》，在美国卖几十万册，我向同学推荐，没有一个人看完不说好。但这本书在我们这儿只能卖一两万册。再举个例子，日本的地铁里，等车的所有人都拿着书看，车来了以后，上车的上车，下车的下车，很拥挤，相互把位置调整调整，从兜里拿出书报继续看，一个车厢里百分之八十的人在读书，站台上百分之八十的人在读书。

我在学校呆的时间不多，北大2年，人大5年。教书七年来我只见到一个学生，在我教“生物学对社会科学的启示”的时候，感觉这个学生读这路书有点痴迷了，很快我读的书他差不多都读了，我们能对上话。这以后他经常从网上下载一些英美学术刊物上关于社会学与生物学交叉的新成果发过来，我很受益。我就碰到这么一个学生，非常高兴，也非常失落，这样的学生怎么就碰到一个呢所以还是那句话，全国上下，包括我们名牌学校的学生，我看不到他们热爱读书，这是最使我悲哀的事情。

什么原因呢中等教育是祸根之一：我们的中等教育不但没有激发，相反挫伤了大家的读书兴趣。我们学的东西太狭窄了，学生没有选择的自由，只有被动地去重复，去记忆。而且，在这个过于狭窄的领域中又逼迫同学们用力过猛。狭窄、单调而且用力过猛，最后造成学生们厌学。

还有什么原因呢我们的大学教育专业化太早，而后还是大家学的东西狭窄、单调，同学没有较多的选择余地。这是我猜想的又一个原因。

还有第三个原因，就是我们的社会氛围太过功利，不重视主体自身的乐趣，不重视开发主体阅读的兴趣，这种氛围之下人们动辄要发问：这有什么用能帮我找工作能帮我升官能帮我赚钱对不住，往往都不能。很多人类的文化精品不能帮你这个忙。

这三个原因结合起来使我们无法建立起读书的兴趣。我想说，即使不做学术工作，如果你最终没有养成对读书的热爱也是很遗憾的，我觉得你人生当中少了很多乐趣。而你如果以后想做学术，我以为是绝对做不好的。

读完书要和人交流、要会“卖弄”

只有经过广泛的阅读你才能够发现你自己，知道自己读书的乐趣、研究的乐趣在什么地方。此前我们为什么没有培养起读书的乐趣是因为我们的教育太狭窄，是因为让我们看的书都是服务于“科举”的。那么要开发大家的乐趣就是要反其道而行之，让大家有选择的自由，能接触各种类型、风格的图书，在这样宽泛的阅读当中，一个人才能发现自己的兴趣、培养起自己的读书兴趣。

读书兴趣的培养跟生理上的一些其他喜好的养成很相似。你的食谱有多宽你喜欢吃多少样东西是不是偏

食大家知道牛奶的养分非常高，也并不太贵，因此西方人牛奶的摄取量非常大，一天喝一公斤甚至更多，不分时段，早晚都可以喝。可我们中国人不成，我们只有一部分人能够消化牛奶，很多人喝多了腹泻。为什么呢不完全是先天的，很多是后天的原因。我们胃里缺少一种酶，小的时候多喝牛奶，就能够开发这种酶。读书兴趣的培养也是一个道理，小时候如果不开发广阔的兴趣范围，大了就费劲了。童子功是非常要紧的。

如果一个写作者读书的兴趣窄了，写的书就没人愿意看。中国的经济学家——水平差的不谈——水平好的经济学家和外国经济学家写的书比起来索然无味。差在什么地方我觉得专业上不是最主要的，最主要的是国外的优秀经济学家们非常之博学。知识面太窄了，书写得没有味道，人家怎么能爱看呢！

下面谈一点点怎么读书。读书是要记笔记的，笔记是给自己做的，自己能看懂就行。笔记可以记得极其简短，实际上是一个索引，看到两个字，哦，他说的是这个观点。或者再加个页码，在这本书某页，日后要引用，要深入思考，把那本书拿来翻到那一页，就行了。

读完书以后要和人交流，要经常去卖弄，跟别人吹牛。这是非常好的，这样能帮助你记住书里面的东西。你给人讲的时候你可不是拿书给人家念，会不知不觉地加进你的思考，至少加进你所强调的东西。这样有助于将书中的内容跟你的思想融合。你当时能从脑子里拎出什么东西来，肯定无意识中进行了筛选，那是你最喜欢的东西，你喜欢的东西你才能牢牢地记住。读书最大的收获是开发你的心智、开发你的思想，读了以后跟作者的认识完全一样，第一没有可能，第二也没有意义。要都是这样，人类的思想就不会发展和拓宽了。一个好的思想激发了杰出的少年，

他们受到激发以后将这思想稍微变异了一下，思想就是如此发展的。所以重要的是受书的启发产生一些新的念头，是不是正确理解不是最重要的。

“思想”不是一个谋生的差事

下面转向另一个主题：思考。社会科学是什么社会科学是一个个解释系统，解释我们的社会，解释我们的世界。解释并非不是一种参与，并非不能影响这个社会，那么我们怎么发育出解释世界的能力，也就是说我们怎么学会思考。

要从解释你身边的生活开始，要从日常生活中去学习思考，要学会解释你日常生活中的很多问题、疑团。你要对你周边的日常生活有好奇心，要问为什么。可能你跟你的很多同龄人不一样，你除了活着以外还会经常好奇和提问：哎，这是怎么回事我们周围生活的方方面面可以刺激我们的好奇心，可以诱发我们去思考、去解释。比如家里的状况，你来到世界上最先目睹最先感受的小环境；比如你亲属的谋生之道，他们靠什么活着；他们怎么有的人下岗了；在你记忆中你的家庭消费在这二十年来的变化，这种变化怎样发生的，和大社会有什么样的关系如果你生活在农村，故事会更多。因为一个村落中已经发生了极大的分化，在农村会目睹形形色色的生存方式。你会看到分家，看到村庄政治。我相信日常生活中有很多东西非常耐人寻味，这才是真实的生活。

要从日常生活去学会思考、学会思想、学会解释。因为日后你要去解释社会，去解释世界，首先要从解释周边开始培养这个能力。如果你解释周边的能力远远逊色于你的同龄人，日后你要去解释社会、解释世界，你不可能解释好。

我们要培育自己的思考能力、思想能力。现在很多学者的研究工作是和生活脱离的、割裂的，这很遗憾。那些大思想家们的思考、研究与他们的生活、经历是融于一体的。他们的研究、他们的思想是他们生存的核心，也就是说，那不是一个谋生的差事，那是另一种境界的东西。对他来说，那是跟他的生存完全一体的，甚至是他生存的核心。我觉得这是一种像天职一样的东西，他会利用一切机会，当然包括他的日常生活，去发现信息，去提出问题，将生活和学术融为一体，他的很多基础感受依赖于生活给他的刺激。

再给大家说一个培养思想能力的小手段：记笔记。读书记笔记似乎平常，但观察周围的事情有什么想法记笔记，多数同学恐怕就做不到了。要记笔记，要深入去想一些事，一些小事，然后记笔记。那些东西是很珍贵的，是你思想成长的轨迹，你记下你怎么想的，你再想的时候就像登台阶一样走得更高了，而不是像拉磨一样在转圈。实际上由于高度分工，现代人的生活接触面是不大的，甚至非常狭小，所以日常生活中的信息是非常珍贵的；而我们所特别强调的是，要从这个方面开始思想、开始思考。

这也就是说我们要记两本笔记，一本是读书笔记，一本是我们对日常生活的思考所做的笔记。这两个东西是相互对照、相互促进的。对书本理论学得越多、理解得越深，你就能在观察周围的生活时有更深的理解，跟没有读过那么多理论的同龄人比起来，对生活的解释就不一样。反过来说，你对日常生活观察得越细致越深入，积累了很多心得，回过头来再读那些理论著作，你的理解同没有对生活做细致思考的人的理解就有很大的不同，它也会帮助你读懂很多书，帮助你和一些书产生共鸣。二者融合在一起，一个人的思想学术就是在这样的过程中成长起来的。