人教版初一数学(上)一对一提优讲义-第讲.有理数与数轴(含标准答案)
人教版初一数学(上)一对一提优讲义-第讲.有理数与数轴(含答案)
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模块一 有理数基本概念
定 义
示例剖析
正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数．在小学学过的数，除0外都是正数．正数都大于0．
负数：像1-、 3.12-、17
5
-、2008-等在正数前加上
“-”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0．
0既不是正数，也不是负数．
正数：1，2.5，4
3
，……
负数：1-，5-，1
2
-，……
一个数字前面的“+”，“-”号叫做它的符号．
正数前面的“+”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 用正、负数表示相反意义的量．．．．．．
： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量．
譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -．
有理数：整数与分数统称有理数．
()???????????
???
????
??
正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数
正分数
分数负分数 ()????
??
?
??
??????
正整数正有理数正分数有理数按符号分类零负整数负有理数负分数
正整数：1，2，10，……
负整数：3-，6-，15-，……
正分数：
23
，1.5，0.3&，……
负分数：15
-， 3.25-， 1.62-&，…… 注：⑴ 正数和零统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；
⑶ 正整数和零统称为非负整数； ⑷ 负整数和零统称为非正整数．
【夯实基础】
【例1】 ⑴ 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）
A ．节约汽油10升和浪费粮食10kg
B ．向东走8公里和向北走8公里
C ．收入300元和支出100元
D ．身高180cm 和身高90cm
第一讲 有理数与数轴
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⑵ 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ）
A ．前进18-米的意义是后退18米
B ．4-万元的意义是亏损4万元
C ．收入的相反意义是支出
D ．后退4-米的意义是前进4米
⑶ 如果零上5℃记作5+℃，那么零下5℃记作（ ）
A ．5-
B ．10-
C ．5-℃
D ．10-℃
⑷ 如果水位升高4m 时水位变化记作4m +，那么水位下降3m 记作______m ，水位不升不降时水位变化记作______m . ⑸ 甲，乙两地的海拔高度分别为200米，150-米，那么甲地比乙地高出（ ）． A ．200米 B ．50米 C ．300米 D ．350米
⑹ 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±（ml ）”字样，请问“60030ml ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ， 589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？
⑺ 在下表适当的空格里打上“√”号．
整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0
1.5- 14
0.62+
3- 0.31
& π 98
-
【解析】 ⑴ C ；⑵ B ；⑶ C ； ⑷ 3-，0； ⑸ D ；
⑹ “()60030ml ±”表示每瓶饮料容量最小可以是()60030ml -，最大可以是
()600+30ml ，抽出的5瓶容量均在()60030ml -与()60030ml +之间，因此合格．
⑺
整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 √ √ √ 1.5- √ 14 √ √ √ √ 0.62+ √ √ √ √ 3- √ √ 0.31
& √ √ √ √ π
√
√
√
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98
- √
【能力提升】
【例2】 ⑴ 一种零件的长度在图纸上是()0.05
0.0520+-米，表示这种零件加工要求最大
不超过 米，最小不小于 米．
（北京师范大学附属实验中学） ⑵ 1是（ ）
A ．最小的整数
B ．最小的正整数
C ．最小的自然数
D ．最小的有理数
⑶ 4.5-，6，0，2.4
&，π，12
-，0.313-&&，3.14，11-，以上各数中 属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数.
⑷ 在15，38-，0.15，30-，12.8-，22
5
中，负分数的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 （人大附中期中）
【解析】 ⑴ 20.05 19.95 ⑵ B ⑶属于负数的有： 4.5-，12
-，0.313-&&，11-；属于非正数的有： 4.5-，0，12
-，0.313-&&，11-；属于非负有理数：6，0，2.4&，3.14 ⑷ B .
模块二 数轴
定 义
示例剖析
数轴：规定了原点．．、正方向．．．和单位长度．．．．的直线．
⑴ 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．
⑵ 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．
⑶ 数轴的画法
①画一条水平的直线；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
画数轴的常见错误：
没有原点
没有正方向
没有原点
-1
1
2
3
1
2
234
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③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
单位长度不统一
没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来． 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π．
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
01b a <<<
【夯实基础】
【例3】 ⑴ 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“<”连接．
11
5 3.5140 2.522
+--，，，，，，
（北京101中学期中）
⑵ 45-和0.9-的大小关系是：4
5
-____0.9-
⑶ 数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．
（北京四中期中）
⑷ 数轴上点A 对应的数为3-，那么与A 相距1个单位长度的点B 所对应的数是_________．
⑸ 数轴上的点A 、B 分别表示数3-和1，点C 是AB 的中点，则点C 所表示的数是_________．
（人大附中单元测试）
⑹ 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的 整数为 ．
⑺ 在数轴上任取一条长度为1
19999
的线段，
则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .
【解析】 ⑴ 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的
数大，故11
3.510 2.54522
-<-<<<<<+.
π
-1
4
3
2
1
b
a
1-3.5
-112
+5
42.5
12
0-4-3-2-15
4321
0-1.3 2.6
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⑵ >； ⑶ 3±；⑷ 4-或2-; ⑸ 1-; ⑹ 1-，0，1，2; ⑺
2000
【能力提升】
【例4】 ⑴在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长
度后到达终点，此时这个点表示的数是（ ） A ．5 B ．1 C ．1- D ．5-
⑵ 一个点从数轴上表示2-的点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位 长度，则终点表示的数是_________． ⑶ 数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长
度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？
【解析】 ⑴ C ；⑵3-；
⑶ 蚂蚁6s 共爬行12个单位长度；B 点到A 点的距离为6个单位长度；B 点对应的数是5．
【例5】 ⑴ 已知数轴上有A 、B 两点，它们之间的距离为1，点A 与原点的距离为3，那么点B
所对应的数为 .
⑵ 在数轴上，N 点和O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点 表示的数是____________.
⑶ 已知下图中数轴上线段MO (O 是原点)的七等分点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，只有两
点对应的数是整数，点M 对应的数m ＞10-，那么m 可以取的不同值有 个，m 的最小值为 .
【解析】⑴ 4或2或2-或4-.
⑵ N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍.
① 若N 点在数0和30之间，设N 点到O 点的距离为x ，则5x =30，x =6.所以N =24.
② 若N 点在30右边，设N 点到O 点的距离为x ，那么N 点到30所
对应的点的距离即为x ，O 点到30所对应的点的距离为3x ，则3x =30，x =10. 所以4x =40.N =40.
N 点表示的数是24或40.
⑶ 七等分点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论：
5
4
B
A
1
2
3
-1
O
F
E
D
C
B
A
M
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①若点F 为整数，则有点A 、B 、C 、D 、E 均为整数，不符合题意；
②若点E 为整数，则有点A 和点C 都为整数，也不符合题意； ③若点D 为整数，则点A 为整数，符合题意；
④若点A 或点B 或点C 为整数，则都只有一点为整数，不符合题意. 通过以上的分析，可以发现只有点A 和点D 对应的数为整数. 由题意得：对应的数为整数的两点为点A 和点D ，
∴
73m 为整数，且7m 和7
2m
都不为整数，又0＞m ＞10-， 解得：328-=m 或314-或3
7
-.
【拓展】如图，已知数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个
单位，如果A 对应的实数为a ，B 对应的实数为b ，且29b a -=，那么数轴上的原点应该是A 、B 、C 、D 中的哪一点？
【解析】 从数轴上可以看出：b a >，且4b a -=，由于29b a -=，所以5a =-，
所以比a 大5的c 是原点。
模块三 相反数、倒数
定 义
示例剖析
相反数：只有符号不同．．．．．．的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0．
相反数必须成对出现，不能单独存在． 例如：5+和5-互为相反数，或者说5+是5-的相反数，5-是5+的相反数；
例如：3+与3-互为相反数，而3+与2-虽然符号不同，但它们不是相反数． 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．
一般地，数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．
当0a >时，0a -<；当0a =时，0a -=；当0a <时，0a ->．
例如：3的相反数为3-
3-的相反数为(3)--
0的相反数为0
(3)0-->
互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=；
反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数． 一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
例如：3与3-互为相反数，则3+(3)-=0
D
C B A 4
-4
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多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）
例如：()++66+=????
(){}
66----=????
[]55--=-（-）
倒数：乘积为1的两个数互为倒数．a ，b 互为倒数，则1a b ?=；反之亦然．
负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数．若a ，b 互为负倒数，则1a b ?=-．反之亦然．
例如：1313?=，3与13互为倒数.
若1313-?=-,则3-与13
互为负倒数.
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； 互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.
【夯实基础】
【例6】 ⑴ 7的相反数（ ）
A ．1
7
B ．7
C ．1
7
-
D ．7-
（北京市中考题）
⑵ 下列正确的是（ ）
A ．一个数的相反数一定是负数
B ．π和 3.14-互为相反数
C ．所有的有理数都有相反数
D ．13和31互为相反数 ⑶ 如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数
① ()a -+；② ()a --；③ []()a -+-；④ []()a ---；⑤ (){}
a -+--????
⑷ 3-的倒数是（ ）
A ．13-
B ．13
C ．3-
D ．3
（北京市中考题）
【解析】 ⑴ D ⑵ C
⑶ ① ()a a -+=-，正数；②()a a --=，负数；③ ()a a -+-=????，负数；
④ a -，正数；⑤ (){}
=a a -+---????，正数 ⑷ 选A
【能力提升】
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【例7】 ⑴
37与 互为相反数；1
2
a -是 的相反数． ⑵ ()2--的相反数是 ；4
b +是 的相反数．
⑶ (){}4--+-=????
⑷ (){}5--+-????与 互为相反数，()a b ---与 互为相反
数，()7b c +--+-????与 互为相反数．
【解析】 ⑴ 37-，1
2
a ；⑵ 2-，4
b --；⑶ 4-；⑷ 5，a b --，7b
c -+-
【例8】 ⑴若3a 与27
3
a -互为相反数，则a = ．
⑵若x 、y 都是有理数，且使得四个两两不相等的数4x +、2x 、27y -、y 能分成两 组，每组的两个数是互为相反数，则x y +的值等于 【解析】 ⑴7
3
；
⑵有两对相反数，初看没法确定4个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互为相反数的两个数的和为0，所以这4个数的和仍为0，即4+2270x x y y ++-+=，得到1x y +=
【例9】 ⑴已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，现比较a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ）
A ．a b a b -<-<<
B ．a b b a <-<<-
C ．b a a b -<<-<
D ．a b b a <<-<-
⑵已知,a b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数,,,a b a b --按由小到大的顺序排列是
【解析】 ⑴C
⑵借助数轴标出,a b 的大概位置，知b a a b <-<<-
【探索创新】
【例10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物
体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．比如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，……，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘．请问，数字“黑洞”T = ．
【解析】 从一个具体的数操作，发现规律；
例如选择数字3，进行一次运算后的结果是2733=；
a
b
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进行第二次运算后的结果是3517233=+； 进行第三次运算后的结果是153153333=++； 进行第四次运算后的结果是153351333=++； ……
所以结果T =153．
【例11】 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右
跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数.
【解析】0630.-.设0K 点表示的有理数为x ，则1K ，2K ，…100K 点所表示的有理数分别为1-x ，
21+-x ，321-+-x ，…100994321+-+-+-Λx ，由题意得： 9419100994321.x =+-+-+-Λ，解得0630.x -=.
【例12】 动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，
3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A ，B 的速度比是1:4，（速度单位：单位长度/秒）
① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A ，B 两点从原点出发运动3秒时 的位置．
② 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰
好处在两个动点的正中间？
③ 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C 也
同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 追上A 时，点C 立即停止运动．若点C 一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
（北京东城区期末）
【解析】 ①设A 的速度为x 单位长度/秒，B 的速度为4x 单位长度/秒
依题意，3(4)15x x += 1x =
即：A 的速度为1单位长度/秒，B 的速度为4单位长度/秒． 3秒时，A 的位置在3-，B 的位置在12． ② 设x 秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
12431.8
x x
x -=+=
③ 设y 秒后B 追上A ，依题意，
415
5
y y y -==
205100?=
点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．
x 036912-3-6-9-12
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课后创新培养
【实战演练】
知识模块一 有理数基本概念 课后演练
【演练1】 ⑴ 一天早上的气温是7-℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，那么半夜的气
温
是（ ）
A ．5-℃
B ．5℃
C ．13-℃
D ．13℃
（八中期中）
⑵ 如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作 ． ⑶ 下列说法正确的是（ ）
A ．有最小的负整数，没有最小的正整数
B ．有最小的负数，没有最大的正数
C ．有最大的负数，没有最小的正数
D ．有最大的负整数，没有最大的正整数
（十一学校期中）
⑷ 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
2.4-，3，2.008，103-，114
，0.15-&&，0，()2--，3.14． 正有理数数集合：{
}
非负整数集合：{ }
负分数集合：{
}
【解析】 ⑴ A ；⑵ 6-吨；⑶ D ；
⑷ 正有理数：3，2.008，1
14
，()2--，3.14
非负整数：3，0，()2--；
负分数： 2.4-，103
-
，0.15-&&
【演练2】 检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．这5个排球
的记数分别为：1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，0.6-；4号球， 3.5-；5号球，+2.5．从轻重的角度看，最轻的球是 号球，最接近标准的球是 号球．
（八中期中）
【解析】 4；3.
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知识模块二 数轴 课后演练
【演练3】 数轴上，点,A B 分别表示3-和5，则线段AB 的中点所表示的数是 【解析】 1
【演练4】 有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示：则（ ）
A ．0a b +<
B ．0a b +>
C ．0a b -=
D ．0a b ->
【解析】 A
知识模块三 相反数，倒数 课后演练
【演练5】 ⑴ 6-的相反数是 ，4
27
-的倒数是 ，4-的倒数的相反数是 ；
（北京师范大学附属实验中学）
⑵ a -的相反数为2，则a = ；a b -+的相反数 【解析】 ⑴ 6，718-，1
4
；⑵2；a b -
【演练6】 如图所示，若点A 是有理数a 在数轴上对应的点，则a 、a -、1的大小关系是
【解析】 1a a <<-
b
a
-1
1
1
0A
七年级奥数培训讲义 第一章有理数
七年级奥数教学讲义 七年级奥数讲义 第一章《有理数》 要求：掌握基本概念和基本运算技能会灵活应用运算律和运算法则解题。 同号相加号不差，绝对值要相加；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑； （异号相加取绝大，大绝要把小绝压；）谁同0加谁当家，相反数相加0自夸。 遇到减法细观察，改变符号再相加。乘除符号意义大，同正异负莫出差； 谁同0乘0自夸，互为倒数1当家。混合运算顺序化，乘方乘除再相加； 运算律的好处大，合理运用能简化；分配侓，别漏乘，定符号，再相乘。 括号由里小中大，切记负号别拉下。认真仔细基础打，长大当个科学家。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 1-1 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 注：“0”的9 种说法：（1）既不是正数也不是负数的数．（2）最大的非正数．（3）最小的非负数．（4）与其相反数相等的数．（5）最小的非负整数．（6）最大的非正整数．（7）最小的自然数．（8）绝对值最小的有理数．（9）没有倒数的数． 4、有理数的概念 【定义】：整数与分数统称为有理数（注意：所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。） ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数
人教版初一数学上册数轴的练习题
1．画一条水平直线，在直线上取一点表示0，叫做_________；?选取某一长度作为 ________；规定直线上向右的方向为_________，这样就得到了数轴．?我们把上述三方向称为数轴的三要素．所有的有理数都可以用数轴上的______来表示． 2．数轴上表示负数的点在原点的__________，表示正数的点在原点的_______，原点表示的数是________． 3．数轴上表示-2的点离原点的距离是______个单位长度；表示+2?的点离原点的距离是_____个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有_______个，它们表示的数分别是________． 4．判断下列所画的数轴是否正确，如不正确，请指出． 5．在所给的数轴上画出表示下列各数的点：2，-3，，0，，5，。 6．指出数轴上A，B，C，D，E，F各点所代表的数字． 7．在数轴上画出表示下列各数的点，并回答下列问题． -3，2，-1.5，-2，0，1.5，3． （1）哪两个数的点与原点的距离相等？ （2）表示-2的点与表示3的点相差几个单位长度？ 8．将-1所对应的点在数轴上先向右移动4个单位长度，再向左移动5?个单位长度后，得到的点对应的数是什么？ 基础巩固训练 一、选择题 1．图1中所画的数轴，正确的是（） 2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（） A．正数B．负数C．非负数D．非正数 3．与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（） A．2．5 B．-2．5 C．±2．5 D．这个数无法确定 4．关于- 这个数在数轴上点的位置的描述，正确的是（） A．在-3的左边B．在3的右边C．在原点与-1之间D．在-1的左边 5．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（） A．+6 B．-3 C．+3 D．-9 6．不小于-4的非正整数有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 7．如图所示，是数a，b在数轴上的位置，下列判断正确的是（） A．a<0 B．a>1 C．b>-1 D．b<-1 二、填空题 1．数轴的三要素是______????_______． 2．数轴上表示的两个数，________边的数总比________边的数大．
人教版初一数学上册有理数教案
有理数 [教学目标] 1. 借助数轴,使学生了解相反数的概念 2. 会求一个有理数的相反数 3. 激发学生学习数学的兴趣. [教学重点与难点] 重点: 理解相反数的意义 难点: 理解相反数的意义 [教学设计] 提问 1、数轴的三要素是什么? 2、填空: 数轴上与原点的距离是2的点有个,这些点表示的数是;与原点的距离是5的点有个,这些点表示的数是。 新课 相反数的概念: 只有符号不同的两个数,我们称它们互为相反数,零的相反数是零。 概念的理解: (1) 互为相反数的两个数分别在原点的两旁,且到原点的距离相等。 (2) 一般地,数a的相反数是, 不一定是负数。 (3) 在一个数的前面添上“-”号,就表示这个数的相反数,如:-3是3的相反数,-a是a的相反数,因此,当a是负数时,-a是一个正数 -(-3)是(-3)的相反数,所以-(-3)=3,于是 (4) 互为相反数的两个数之和是0 即如果x与y互为相反数,那么x+y=0;反之,若x+y=0, 则x与y互为相反数 (5) 相反数是指两个数之间的一种特殊的关系,而不是指一个种类。如:“-3是一个相反数”这句话是不对的。 例1 求下列各数的相反数: (1)-5 (2) (3)0 (4) (5)-2b (6) a-b (7) a+2 例2 判断: (1)-2是相反数 (2)-3和+3都是相反数 (3)-3是3的相反数 (4)-3与+3互为相反数 (5)+3是-3的相反数 (6)一个数的相反数不可能是它本身 例3 化简下列各数中的符号: (1) (2)-(+5) (3) (4) 例4 填空:
(1)a-4的相反数是,3-x的相反数是。 (2) 是的相反数。 (3)如果-a=-9,那么-a的相反数是。 例5 填空: (1)若-(a-5)是负数,则a-5 0. (2) 若是负数,则x+y 0. 例6 已知a、b在数轴上的位置如图所示。 (1) 在数轴上作出它们的相反数; (2) 用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。例7 如果a-5与a互为相反数,求a. 练习:教材14页 小节:相反数的概念及注意事项 作业:18页第3题
人教版初一数学(上)一对一提优讲义-第讲.有理数与数轴(含标准答案)
人教版初一数学(上)一对一提优讲义-第讲.有理数与数轴(含答案)
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1 / 14 模块一 有理数基本概念 定 义 示例剖析 正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数．在小学学过的数，除0外都是正数．正数都大于0． 负数：像1-、 3.12-、17 5 -、2008-等在正数前加上 “-”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0． 0既不是正数，也不是负数． 正数：1，2.5，4 3 ，…… 负数：1-，5-，1 2 -，…… 一个数字前面的“+”，“-”号叫做它的符号． 正数前面的“+”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 用正、负数表示相反意义的量．．．．．． ： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然． “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量． 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -． 有理数：整数与分数统称有理数． ()??????????? ??? ???? ?? 正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数 正分数 分数负分数 ()???? ?? ? ?? ?????? 正整数正有理数正分数有理数按符号分类零负整数负有理数负分数 正整数：1，2，10，…… 负整数：3-，6-，15-，…… 正分数： 23 ，1.5，0.3&，…… 负分数：15 -， 3.25-， 1.62-&，…… 注：⑴ 正数和零统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数； ⑶ 正整数和零统称为非负整数； ⑷ 负整数和零统称为非正整数． 【夯实基础】 【例1】 ⑴ 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ） A ．节约汽油10升和浪费粮食10kg B ．向东走8公里和向北走8公里 C ．收入300元和支出100元 D ．身高180cm 和身高90cm 第一讲 有理数与数轴
初一上数学-有理数-培优讲义
有理数培优 能力提升1：有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7= （-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）7 1 。
能力提升2：有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． （一）括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 1 计算： 46.02562)158175.18(47)1(÷????? ? ?÷-- （2）4 1 1 )54()1()21(12)1()2(219983?-÷-? ????? --÷---?-
2. 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 3. 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 4. 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ （二）用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22． 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a2-b2① 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．5 计算 3001×2999的值． 6 计算 103×97×10 009的值． 7 计算：
人教版初一数学有理数习题
有理数部分讲义 一．数的分类 1.12，-3，-0.235，3.1415926，-3.6，327，3 7- ，0， 20％ 整数 分数 正整数 负有理数 2.（1）一个数不是正数就是负数 （ ） （2）正数与分数统称为有理数 （ ） （3）0为最小的有理数 （ ） （4）0为整数，但不为正数 （ ） （5）整数分为正整数与负整数 （ ） 二．数轴 1.哪有错 2.数轴上有三个点A ，B ，C （1）若将B 点往右移动6个单位后，三个点所表示的数最小的数为多少？ （2）若将C 点往左移动6个单位后，三个点所表示的数最大的数为多少？ 三．绝对值 1.绝对值最小的数是_______,绝对值最小的整数是_______. 2.（1） 3-+110--- = （2） 2324-?-÷- = （3）631216 5-????? ??++-- = 四 计算题 1.（＋65）＋（－221）＋（＋161）＋（－0.5） 2.（－43）×（－16）＋2 1×（－5）×6
3.（－21＋51－41）×（－20） 4.6×131＋(－7)×131＋13 1 5.211?＋321?＋431?＋ …… ＋100 991? 6.－︱－0.25︱+43－(－0.125)+︱－0.75︱ 7.()()43223133213423-?????????---??? ??-÷??? ??-???? ??- 8.()()()[] 2318125.021********-?-+???????????? ??-÷--?- 五 拓展 (1)若a ＜b ＜0,则|a|-|b|_____0. (2)若a ＞b ＞0,则|a-b|_____ |a|-|b|. (3)若a ＜b ＜0,则|a-b|_____ |a|-|b|. (4)若a ＜b ＜0,则a-b=_____(用含绝对值的式子表示). (5)若a ＞0, b ＜0,则b-a=_____(用含绝对值的式子表示). 六．课后作业 1.检修小组从A 地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东行驶为正，一天中行驶记录如下（单位：千米） －4 +7 －9 +8 +6 －4 －3 （1）求收工时距A 地多远？ （2）若每千米耗油8升，问从出发到收工共耗油多少升？
七年级数学上册有理数数轴动点问题专项练习
七年级数学上册有理数数轴动点问题专项练习知识导航 1、数轴 数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线. . 可以用数轴.上的点表示数 若点向右移动a个单位长度，则该点对应的数增加a; 若点向左移动a个单位长度，则该点对应的数减少a. 2、数轴上表示距离 求数轴上两点之间的距离: 如果知道这两点对应的数的大小关系，则可以用“大减小"来表示距离; 如果不确定这两点对应的数的大小关系，则两数相减再取绝对值来表示距离。 例如，数轴上A、B两点分别对应数a、b: 若己知a>b，则A、B两点的距离为a?b; 若a、b的大小关系不确定，则A、B两点的距离为|a?b|(或|b?a|),即A、B两点间的距离可表示为AB=|a?b|={a?b(a≥b) b?a(a ②对于|ax+b|=cx + d类型的绝对值方程，在解出x的值后需代入cx+d z 0中检验是否; 成立，若不成立则舍去; ± ③对于|ax + b||x+ d|=k类型的绝对值方程,在解出x的值后，需检验是否满足分段时的x范围，若不成立则舍去;在分段时，每个零点只能取等一次. 刻意练习 1. 在数轴上，点A表示?3，从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B 表示的数为_______，从点B再向左移动10个单位长度到达点C，则点C表示的数为_______ 2. 点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、3、?4，那么A到B的距离为_________，到C的距离为___________(用含绝对值的式子表示) 3. |x?5|的几何意义是数轴上表示_____的点与表示_______的点之间的距离; |x?6|=1的几何意义是数轴上表示______的点与表示______的点之间的距离是_______; |m?n|的几何意义是表示______的点与表示_______的点之间的距离，且|m?n|=|n?m|; . |m+n|的几何意义是表示______的点与表示_______的点之间的距离.初一数学培优专题讲义一--有理数及其运算