测量误差及其合成汇总

目录

一、测量误差及分类 (2)

1.1测量误差概述 (2)

1.2 测量误差分类 (2)

二、测量误差的合成 (5)

2.1 随机误差的合成 (5)

2.2 系统误差的合成 (7)

2.3 系统误差与随机误差的合成 (11)

测量误差及误差合成

一、测量误差及分类

1.1测量误差概述

测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。

观测误差产生的原因主要有以下三个方面:

1．观测者

由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。

2．测量仪器

每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。

3．外界条件

观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。

述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。

1.2 测量误差分类

观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和随机误差两种。

（1）系统误差

在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：

1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。

2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。

3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。

（2）随机误差

在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。例如用经纬仪测角时，测角误差实际上是许多微小误差项的总和，而每项微小误差随着偶然因素影响不断变化，因而测角误差也表现出随机性。对同一角度的若干次观测，其值不尽相同，观测结果中不可避免地存在着随机误差的影响。

随机误差是由多种因素综合影响产生的，观测结果中不可避免地存在偶然误差，因而随机误差是误差理论主要研究的对象。就单个随机误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律性，

图1 频率直方图

并且是服从正态分布的随机变量。即在相同观测条件下，大量随机误差分布表现出一定的统计规律性。

图2正态分布曲线

1．在一定的观测条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的限值；

2．绝对值较小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；

3．绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；

4．同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋近于零，即

[]l i m 0

x n →∞?= 除上述两类误差之外，还可能发生错误，也称粗差，如读错、记错等。这主要是由于粗心大意而引起。一般粗差值大大超过系统误差或偶然误差。粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性，甚至造成返工。因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。

二、测量误差的合成

检测系统往往由若干个环节组成，测量过程往往包含有若干个环节，各个环节都存在着误差因素。任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是检测系统或测量过程各个环节一系列误差因素共同影响的综合结果。各个环节的误差因素称为单项误差。根据各单项误差来确定测量结果的总误差，这就是误差的合成。

2.1 随机误差的合成

随机误差用测量的标准差或极限误差来表征，随机误差的合成分为标准差的合成与极限误差的合成两种情况来讨论。

1．标准差的合成

根据对随机变量求标准差的方法，标准差的合成一般采用方和根法，同时要考虑误差传递系数以及各单项误差之间的相关性影响。设共有q 个单项随机误差，它们的标准差分别为σ1、σ2、…、σq ，其对应的传递系数分别为a 1、a 2、…、a q 。这些传递系数由测量的具体情况来确定，对间接测量可按公式求得，对直接测量则根据各个误差因素对测量结果的影响情况来确定。

按方和根法合成的总标准差为

σ= （2-1） 式中，ρij 为任意两单项随机误差之间的相关系数。

一般情况下，各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有

σ= （2-2）

当各个单项随机误差传递系数均为1，且各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有

σ= （2-3）

用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可按式（2-1）或式（2-2）、式（2-3）计算总标准差。

2．极限误差的合成

在实际测量中，各个单项随机误差和测量结果的总随机误差也常以极限误差的形式来表示。

用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。一般情况下，各个单项随机误差服从的分布不同，各个单项极限误差的置信概率也不同，因而有不同的置信系数。设各单项极限误差为

1,2,,i i i t i q δσ=±= （2-4） 式中，σi 为各单项随机误差的标准差，t i 为各单项极限误差的置信系数。

总极限误差为

t δσ=± （2-5） 式中，σ为合成的总标准差，t 为总极限误差的置信系数。

综合式（2-4）、式（2-5）和式（2-1），可得合成的总极限误差为

δ=± （2-6） 式中，ρij 为任意两单项随机误差之间的相关系数。

根据已知的各单项极限误差和相应的置信系数，即可按式（2-6）进行极限误差的合成。但必须注意到，式（2-6）中的各个置信系数，不仅与置信概率有关，而且与随机误差服从的分布有关。对于服从相同分布的随机误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同；对于服从不同分布的随机误差，即使选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同。由此可知，式（2-6）

中的各个单项极限误差的置信系数，一般来说并不相同。合成的总极限误差的置信系数t，一般来说与各个单项极限误差的置信系数也不相同。当单项随机误差的数目q较多时，合成的总极限误差接近于正态分布，因此合成的总极限误差的置信系数t可按正态分布来确定。

当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个单项极限误差与总极限误差选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同，即t1＝t2＝…＝t q＝t，式（2-6）可简化为

δ=（2-7）

一般情况下，各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij＝0，式（2-7）可简化为

δ=（2-8）当各个单项随机误差传递系数均为1，且各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij＝0，则有

δ=（2-9）式（2-8）和式（2-9）均具有十分简单的形式，由于在实际测量中各个单项随机误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且它们之间常是互不相关或近似不相关，因此式（2-8）和式（2-9）均是较为广泛应用的极限误差合成公式。在实际应用时，应注意式（2-8）和式（2-9）的使用条件。

2.2 系统误差的合成

系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。由于这两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。

1．已定系统误差的合成

已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。对于已定系统误差，在处理测量结果时可根据各单项系统误差和其传递系数，按代数和法合

成。

在测量过程中，若有r 个单项已定系统误差，其误差值分别为△1，△2，…，△r ，相应的误差传递系数为a 1，a 2，…，a r ，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为

1r

i i i a =?=?∑ （2-10）

在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因末予消除的已定误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，因此，最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。

2．未定系统误差的合成

（1）未定系统误差的特征及其评定

未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多精力去掌握，而只需估计出其不致超过某一极限范围±e i 的系统误差。也就是说，在一定条件下客观存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间（－e i ，e i ）内的一个取值。当测量条件改变时，该系统误差又是误差区间（－e i ，e i ）内的另一个取值。而当测量条件在某一范围内多次改变时，未定系统误差也随之改变，其相应的取值在误差区间（－e i ，e i ）内服从某一概率分布。对于某一单项未定系统误差,其概率分布取决于该误差源变化时所引起的系统误差的变化规律。理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的，并采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。但这两种假设,在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。未定系统误差的极限范围±e i 称为未定系统误差的误差限。对于某一单项未定系统误差的误差限，是根据该误差源具体情况的分析与判断而做出估计的，其估计结果是否符合实际，往往取决于对误差源具体情况的掌握程度以及测量人员的经验和判断能力。

未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响，这是它与随机误差的重要差别。但当测量条件改变时，由于未定

系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布，这些特征均与随机误差相同，因而评定它对测量结果的影响也应与随机误差相同，即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。

现以质量的标准器具──砝码为例来说明未定系统误差的特征及其评定。在质量计量中，砝码的质量误差将直接带入测量结果。为了减小这项误差的影响，应对砝码质量进行检定，以便给出其修正值。由于不可避免地存在砝码质量的检定误差，经修正后的砝码质量误差虽已大为减小，但仍有一定误差，因而影响质量的计量结果。对某一个砝码，一经检定完成，其修正值即已确定不变，由检定方法引入的误差也就被确定下来了，其值为检定方法极限误差范围内的一个随机取值。使用这一个砝码进行多次重复测量时，由检定方法引入的误差则为恒定值而不具有抵偿性。但这一误差的具体数值又未掌握，而只知其极限范围，因此属于未定系统误差。对于同一质量的多个不同的砝码，相应的各个修正值的误差为某一极限范围内的随机取值，其分布规律直接反映了检定方法误差的分布。反之，检定方法误差的分布也就反映了各个砝码修正值的误差分布规律。若检定方法误差服从正态分布，则砝码修正值的误差也应服从正态分布，而且两者具有同样的标准差s i。若用极限误差来评定砝码修正值的误差，则有e i＝±t i s i。

从上述实例分析可以看出，这种未定系统误差是较为普遍的。一般来说，对一批量具、仪器和设备等在加工、装调或检定中，随机因素带来的误差具有随机性。但对某一具体的量具、仪器和设备，随机因素带来的误差却具有确定性，实际误差为一恒定值。若尚未掌握这种误差的具体数值，则这种误差属于未定系统误差。

由于未定系统误差的取值具有随机性，并且服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。对于某一项误差，当难以严格区分为随机误差或未定系统误差时，因不论作为哪一种误差来处理，最后总误差的合成结果均相同，故可将该项误差任作一种误差来处理。

未定系统误差的总误差可以用标准差来表示，也可以用极限误差来表示。

（2）未定系统误差标准差的合成

在测量过程中，若有p 个单项未定系统误差，其标准差分别为s 1，s 2，…，s p ，相应的误差传递系数为a 1，a 2，…，a p ，则按方和根法进行合成，求得总的未定系统误差为

s = （2-11） 一般情况下，各个单项未定系统误差互不相关，相关系数ρij ＝0，式（2-11）可简化为

s = （2-12）

当各个单项未定系统误差传递系数均为1，且各个单项未定系统误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有

s = （2-13）

（3）未定系统误差极限误差的合成

各个单项未定系统误差的极限误差为

1,2,,i i i e t s i p

=±= （2-14） 式中，s i 为各单项未定系统误差的标准差，t i 为各单项极限误差的置信系数。

总的未定系统误差的极限误差为

e t s =± （2-15） 式中，s 为合成的总标准差，t 为总的未定系统误差的极限误差的置信系数。

综合式（2-14）、式（2-15）和式（2-11），可得总的未定系统误差的极限误差为

e =± （2-16） 式中，ρij 为任意两单项未定系统误差之间的相关系数。

当单项未定系统误差的数目p 较多时，合成的总极限误差接近于正态分布，因此合成的总极限误差的置信系数t 可按正态分布来确定。

当各个单项未定系统误差均服从正态分布时，各个单项极限误差与总极限误差选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同，即t 1＝t 2＝…＝t p ＝t ，式

（2-16）可简化为

e=（2-17）

一般情况下，各个单项未定系统误差互不相关，相关系数ρij＝0，式（2-17）可简化为

e=（2-18）当各个单项未定系统误差传递系数均为1，且各个单项未定系统误差互不相关，相关系数ρij＝0，则有

e=（2-19）

2.3 系统误差与随机误差的合成

以上分别讨论了随机误差、已定系统误差和未定系统误差的误差合成问题，当测量过程中存在着多项随机误差、已定系统误差和未定系统误差时，应将它们进行综合，以求得最后测量结果的总误差。测量结果的总误差常用极限误差来表示，也可用标准差来表示。

1．按标准差合成

若用标准差来表示测量结果的总误差，由于在一般情况下已定系统误差可以从测量结果中修正，因此只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。

若在测量过程中有p个单项未定系统误差，它们的标准差分别为s1，s2，…，s p；有q个单项随机误差，它们的标准差分别为σ1，σ2，…，σq。为计算方便，设各个单项误差传递系数均为1，则测量结果的总标准差为

σ=（2-20）

式中，R为各个误差间协方差之和。

当各个误差间互不相关时，各个误差间协方差为零，则式（2-20）可简化为

σ=（2-21）

差。对多次重复测量，由于随机误差具有抵偿性，而系统误差则固定不变，因此总标准差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n ，即测量结果平均值的总标准差为

σ= （2-22） 比较式（2-21）和式（2-22）可知，对于单次测量的总标准差合成中，不需严格区分各个单项误差是未定系统误差还是随机误差；而对于多次重复测量的总标准差合成中，则必须严格区分各个单项误差是未定系统误差还是随机误差。

2．按极限误差合成

若在测量过程中有r 个单项已定系统误差，它们的误差值分别为△1，△2，…，△r ；有p 个单项未定系统误差，它们的极限误差分别为e 1，e 2，…，e p ；有q 个单项随机误差，它们的极限误差分别为δ1，δ2，…，δq 。为计算方便，设各个单项误差传递系数均为1，则测量结果的总极限误差为

1r i i δ==?±∑ （2-23）

式中，R 为各个误差间协方差之和；t 为总极限误差的置信系数。当单项误差的数目较多时，合成的总极限误差接近于正态分布，因此总极限误差的置信系数t 可按正态分布来确定。

在一般情况下，已定系统误差可以从测量结果中修正，修正后，测量结果的总极限误差为

δ=± （2-24）

当各个单项误差均服从正态分布时，各个单项极限误差与总极限误差选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同，式（2-24）可简化为

δ= （2-25） 当各个单项误差间互不相关时，各个单项误差间协方差为零，则有

δ= （2-26）

的总极限误差。对多次重复测量，由于随机误差具有抵偿性，而系统误差则固定不变，因此总极限误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n，即测量结果平均值的总极限误差为

δ=（2-27）比较式（2-26）和式（2-27）可知，对于单次测量的总极限误差合成中，不需严格区分各个单项误差是未定系统误差还是随机误差；而对于多次重复测量的总极限误差合成中，则必须严格区分各个单项误差是未定系统误差还是随机误差。