勾股数序列
勾股数序列
山东定陶一中刘述省
序言
两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ2－ｎ2，ｃ＝ｍ2＋ｎ2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。
2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多，
只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。
学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。
正文
先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c . a2 + b2 = c2且a b c 互质。因ａ2 = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在
ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数）
以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。
k＝１时，a2＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a = 2m +1，则b = (a2 －１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1
素勾股数序列如下：
a b c 说明：1. a列从上到下依次多
2 ，b列从上到下依次多加4 .
3 4 5
5 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。
7 24 25
9 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。可编口诀如下：
11 60 61
13 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当；
15 112 113
17 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。
19 180 181
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
ｋ＝２时，ａ2＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ2－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一，
要保证a b c 互质。这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。第二，要保证b ＞a 。这里换算为m2 —1 ＞2m 。得到m ＞1+2。
以上两点结合起来，就确定了m 的取值。m为大于等于4的偶数。m从4开始依次取偶数，即得到d2素勾股数序列如下：
a b c
8 15 17 说明：1. a列从上到下依次多4 , b 列从上到下依次多加8.
12 35 37
16 63 65 2. 各列个位数五个数一循环。
20 99 101
24 143 145 3. b 比m 2 少1 ，c 比m 2 多1 .
28 195 197
32 255 257
36 323 325
40 399 401
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
k =3时，d3素勾股数不存在。因为如果k=3，则a b c 有公约数3. 推导如下：若a2 = 3（2b+3），则a中有3因子，设a =3m，则b =（3m2－３）/2, b 中
也有3因子，c = b + 3 自然也有3因子。于是a b c 有公约数3. 于之前的约定a b c 是素勾股数相矛盾，故知d3 素勾股数不存在
仿照上面的方法很容易推导出，k取4，5，6，7时，相应的d4，d5，d6，d7素勾股数均不存在。
k = 8时, a 2 = 8 (2 b + 8) = 16 (b + 4) . 设a = 4 m , 则b = m2 －４，ｃ＝ｂ＋８.仍然注意考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质，知ｍ为奇数．第二，保证ｂ＞ａ，即解ｍ2－４＞４ｍ，得ｍ＞２（１＋
2）．所以ｍ从5开始依次取奇数，就得到ｄ８素勾股数序列如下：
ａｂｃ
20 21 29 说明：1. a 列从上到下依次多8 ，
b 列从上到下依次多加8 .
28 45 53
36 77 85 2. 各列个位数五个数一循环。
44 117 125
52 165 173 3. b 比m 2 少4 ，c 比m 2 多4 .
60 221 229
68 285 293
76 357 365
84 437 445
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
k＝９时，ａ2＝９（２ｂ＋９）．设ａ＝３ｍ，ｂ＝（ｍ2－９）／２，ｃ＝ｂ＋９.仍要考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质。即b中不含3因子且b是正整数，故知m为奇数且不含3因子。第二，保证b＞
a ，即解m2－９＞６ｍ．得ｍ＞３（１＋2）．所以ｍ依次取大于等于９的奇数同时还要去掉３的倍数．就得
到d9素勾股数序列如下: ａｂｃ
33 56 65 说明：1. a 列从上到下本来应
该依次多6，由于隔两行去掉了m 是3的倍数那一行，
39 80 89 所以依次多6，12，6，12 。。。。。。 b 列的规律也因此而变。
57 176 185
69 260 269 2. 各列个位数五个数一循环也随之而变。
75 308 317
87 416 425 3. b 的2倍 比 m 2 少9 ，c 的2 倍比 m 2 多 9 .
93 476 485
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
由于k 取10，11，12，13，14，15，16，17均不能保证a b c 的互质性，所以d10一直到d17素勾股数都不存在。推导方法与d3的推导方法类似，不再 赘述。
k =18时，读者可以自己推导d18素勾股数的通项公式了吧？a ＝6ｍ，ｂ＝ｍ2－９，ｃ＝ｂ＋１８.其中ｍ从８开始取不含３因子的偶数。
ｋ从１9到24.又不存在相应的素勾股数序列了。
至此，本文最关键的问题已经显现，首先需要解决k 的取值要求，以确保dk 素勾股数存在；其次要解决dk 素勾股数的一般求法。
定理1 当k 中含有偶数个偶素数因子时，dk 素勾股数不存在。 证明：设k ＝n 22ｍ . (m 中不含2因子, n 为正整数)， 则由ａ2＝ｋ（２ｂ＋ｋ）＝n 22ｍ（２
ｂ＋
n 22ｍ），设ａ＝n 2ｔ，ｔ2＝２ｍ（ｂ＋122 n ｍ）。
知t 为偶数，再设ｔ＝２ｓ，ｓ2＝ｍ（ｂ／２＋－２
n 22ｍ）．从而知b 也必须是偶数。c 是偶数。a b c
不互质。故dk 素勾股数不存在。
定理2 当k 中含有奇数个某奇素数因子时，dk 素勾股数不存在。 证明：设ｋ＝ ２ｎ－１
ｐ
ｍ ．（ｍ中不含ｐ因子，ｐ是奇素数，ｎ为正整数），则由a2＝ｋ（２ｂ
＋ｋ）＝２ｎ－１
ｐ
ｍ（２ｂ＋２ｎ－１
ｐ
ｍ），可设ａ＝ｎ
ｐｔ
得到 ｔ2＝ｍ（２ｂ＋２ｎ－１
ｐｍ）／ｐ，从而b 中含有p 因子，a b c 有公因子p . 不互质, 故dk 素勾
股数不存在.
以上两个定理说明了：k 可以取1，另外k 只能取2的奇数次方，取3，5，7，11等奇素数的偶次方，以及它们之间的乘积。
在不超过200的k 的可取值共有17个。它们是1，2，8，9，18，25，32，49，50，72，81，98，121，128，162，169，200.
再表述的具体严谨些：k 的取值中若有2因子，只能有奇数个2因子；若有奇素数因子，只能有偶数个某奇素数因子。例如3
2，25，23*2，2
435*3*2.
由于k=1时通项已经给出 ，下面分三种具体情况给出知k 的值如何求dk 素勾股数的公式。
第一种情况：k ＝1
22-n （n 为正整数）时，由a2 = k (2b + k) =
122-n （2b+122-n ）
=n 22 （b +2
22-n ），可设 a =
n 2 m ，则 b = m 2 － 222-n ，ｃ＝ｂ＋ｋ＝ｂ＋122-n ．公式已经给出,在具体取值中要注意
两点：第一，要保证ａｂｃ互质，因为a 是偶数，而b 与c 同奇偶，故要求b 不能为偶数，即m 2 －
222-n
不能为偶数。可知 n = 1 时，m 取偶数。n ＞1 时，m 取奇数。第二，要保证b ＞ a ，即m 2 －
222-n ＞n 2 m ，解得 m ＞1n 2-（1 +
2）.
第二种情况：k = p 2 （p 是大于1的奇数 ）时，由a 2 = k （ 2 b + k ）= p 2 （ 2 b + p 2 ），可设a = p m ，则b = （ m 2 －ｐ2）/ 2 , c = b +p 2 . 公式已经给出,在具体取值中要注意两点：第一，要保证ａｂｃ互质, 因为a 中含有p 的所有因子，c 与b 之差是p 2，故要求b 中不能含有p 的任何素因子，进而知m 首先是奇数，其次m 中也不能含有p 的任何素因子。第二，要保证b ＞ a ，即 m 2 －ｐ2＞ 2 p m ，解得 m ＞ p （1 +
2）.
第三种情况：k ＝1
22-n p 2 （n 为正整数, p 为大于1 的奇数）时, 由a2 = k (2b + k) =
122-n p 2
（2b+1
22-n p 2）=n
22
p 2 （b +2
22
-n p 2 ）, 可设 a =
n 2p m ，则 b = m 2 － 222-n p 2 ，ｃ＝ｂ＋ｋ＝
ｂ＋1
22
-n p 2 ．公式已经给出,在具体取值中要注意两点：第一，要保证ａｂｃ互质，因为a 是偶数，且a
中含有p 的所有因子,c 与b 之差是1
22
-n p 2，故要求b 不能为偶数，并且要求b 中不能含有p 的任何素因
子, 进而知首先当n = 1 时m 是偶数,当n ＞1时m 是奇数，其次m 中也不能含有p 的任何素因子。第二，要保证b ＞ a ，即m 2 －
222-n p 2 ＞n 2p m ，解得 m ＞p n 12-（1 +
2）.
好了! 问题已经圆满解决,可以轻松一下试一试了。
例如 ｋ＝２００＝2
35
*2仿照上面第三种情况可知，设a = 20 m ，b = m 2 －100 ，ｃ＝ｂ＋
200 . m 取奇数并且不能取5的倍数。又有
m ＞10 （1 +
2）,于是m 可以依次取值 27, 29 , 31, 33 , 37, 39 ,41, 43 ,47,……….(记住一定要将5
的倍数的奇数去掉) ,分别带入上面的公式,就得到了
d200素勾股数序列了。（ 第一组数是 540 629 829 并且a 列至少递进40 才到下一组数）
尾 声
最后的工作是如何制作一个勾股数序列表。首先规定：排列顺序以a 的从小到大排列，a 相同时以b 的从小到大排列。 ａ＜ｂ＜ｃ ，ａ2＋ｂ2＝ｃ2 ．
其次由于勾股数是无限的，故列表应选择一个适当的范围。下面就a 不超过100的勾股数序列表的制作过程说明如下。
第一步，先将范围内的所有素勾股数全部列出来 ，即d1 ，d2 ，d8 ，d9 ，d18 ，d25 ，d32 素勾股数满足ａ≤１00的全部列出。
第二步，再将范围内的所有素勾股数的倍数形成的新勾股数满足ａ≤１00的全部列出。
第三步，将以上所有勾股数按照规定的顺序排列出来，就得到了符合你所选范围内的一个不漏的勾股数序列表。
附 录
以下是本人用算术法计算列出的a 不超过100的所有勾股数序列表
勾股数序列
序号
a b c
备
注
序
号 a b c
备
注
序
号
a b c备注
1 3 4 5 d1. 101 50
62
4
626
d1
倍.
201 81 108 135 d1倍.
2 5 12 1
3 d1. 102 51 68 85
d1
倍.
202 81 360 369 d1倍.
3 6 8 10
d1
倍.
103 51
14
149 d9. 203 81 1092
109
5
d1倍.
4 7 24 2
5 d1. 104 51
43
2
435
d1
倍.
204 81 3280
328
1
d1.
5 8 15 17 d2. 105 51
13
00
130
1
d1. 205 82 1680
168
2
d1倍.
6 9 12 15
d1
倍.
106 52
16
5
173 d8. 206 83 3444
344
5
d1.
7 9 40 41 d1. 107 52
33
6
340
d1
倍.
207 84 112 140 d1倍.
8 10 24 26
d1
倍.
108 52
67
5
677 d2. 208 84 135 159 d8倍.
9 11 60 61 d1. 109 53
14
04
140
5
d1. 209 84 187 205 d18.
10 12 16 20 d1
倍.
110 54 72 90
d1
倍.
210 84 245 259 d2倍.
11 12 35 37 d2. 111 54 24
246
d1
倍.
211 84 288 300 d1倍.
12 13 84 85 d1. 112 54 72
8
730
d1
倍.
212 84 437 445 d8.
13 14 48 50 d1
倍.
113 55
13
2
143
d1
倍.
213 84 585 591 d2倍.
14 15 20 25 d1
倍.
114 55
30
305
d1
倍.
214 84 880 884 d1倍.
15 15 36 39 d1
倍.
115 55
15
12
151
3
d1. 215 84 1763
176
5
d2.
16 15 11
2
11
3
d1. 116 56 90 106
d8
倍.
216 85 132 157 d25.
17 16 30 34 d2117 56 10119 d2217 85 204 221 d1倍.
倍. 5 倍.
18 16 63 65 d2. 118 56 19
2
200
d1
倍.
218 85 720 725 d1倍.
19 17 14
4
14
5
d1. 119 56
39
394
d2
倍.
219 85 3612
361
3
d1.
20 18 24 30 d1
倍.
120 56
78
3
785 d2. 220 86 1848
185
d1倍.
21 18 80 82 d1
倍.
121 57 76 95
d1
倍.
221 87 116 145 d1倍.
22 19 18
18
1
d1. 122 57
17
6
185 d9. 222 87 416 425 d9.
23 20 21 29 d8. 123 57 54
543
d1
倍.
223 87 1260
126
3
d1倍.
24 20 48 52 d1
倍.
124 57
16
24
162
5
d1. 224 87 3784
378
5
d1.
25 20 99 10
1
d2. 125 58
84
842
d1
倍.
225 88 105 137 d32
26 21 28 35 d1
倍.
126 59
17
40
174
1
d1. 226 88 165 187 d2倍.
27 21 72 75 d1
倍.
127 60 63 87
d8
倍.
227 88 234 250 d8倍.
28 21 22
22
1
d1. 128 60 80 100
d1
倍.
228 88 480 488 d1倍.
29 22 12
12
2
d1
倍.
129 60 91 109
d18
.
229 88 966 970 d2倍.
30 23 26
4
26
5
d1. 130 60
14
4
156
d1
倍.
230 88 1935
193
7
d2.
31 24 32 40 d1
倍.
131 60
17
5
185
d2
倍.
231 89 3960
396
1
d1.
32 24 45 51 d2
倍.
132 60
22
1
229 d8. 232 90 120 150 d1倍.
33 24 70 74 d2
倍.
133 60
29
7
303
d2
倍.
233 90 216 234 d1倍.
34 24 14
3
14
5
d2. 134 60
44
8
452
d1
倍.
234 90 400 410 d1倍.
35 25 60 65 d1
倍.
135 60
89
9
901 d2. 235 90 672 678 d1倍.
36 25 31
2
31
3
d1. 136 61
18
60
186
1
d1. 236 90 2024
202
6
d1倍.
37 26 16
8
17
d1
倍.
137 62
96
962
d1
倍.
237 91 312 325 d1倍.
38 27 36 45 d1
倍.
138 63 84 105
d1
倍.
238 91 588 595 d1倍.
39 27 12
12
3
d1
倍.
139 63
21
6
225
d1
倍.
239 91 4140
414
1
d1.
40 27 3636d1. 140 63 28287 d1240 92 525 533 d8.
41 28 45 53 d8. 141 63 66
663
d1
倍.
241 92 1056
106
d1倍.
42 28 96 10
d1
倍.
142 63
19
84
198
5
d1. 242 92 2115
211
7
d2.
43 28 19
5
19
7
d2. 143 64
12
136
d2
倍.
243 93 124 155 d1倍.
44 29 42
42
1
d1. 144 64
25
2
260
d2
倍.
244 93 476 485 d9.
45 30 40 50 d1
倍.
145 64
51
514
d2
倍.
245 93 1440
144
3
d1倍.
46 30 72 78 d1
倍.
146 64
10
23
102
5
d2. 246 93 4324
432
5
d1.
47 30 22
4
22
6
d1
倍.
147 65 72 97
d25
.
247 94 2208
221
d1倍.
48 31 48
48
1
d1. 148 65
15
6
169
d1
倍.
248 95 168 193 d25.
49 32 60 68 d2
倍.
149 65
42
425
d1
倍.
249 95 228 247 d1倍.
50 32 12
6
13
d2
倍.
150 65
21
12
211
3
d1. 250 95 900 905 d1倍.
51 32 25
5
25
7
d2. 151 66 88 110
d1
倍.
251 95 4512
451
3
d1.
52 33 44 55 d1
倍.
152 66
11
2
130
d9
倍.
252 96 110 146
d18
倍.
53 33 56 65 d9. 153 66 36
366
d1
倍.
253 96 128 160 d1倍.
54 33 18
18
3
d1
倍.
154 66
10
88
109
d1
倍.
254 96 180 204 d2倍.
55 33 54
4
54
5
d1. 155 67
22
44
224
5
d1. 255 96 247 265 d18.
56 34 28
8
29
d1
倍.
156 68
28
5
293 d8. 256 96 280 296 d2倍.
57 35 84 91 d1
倍.
157 68
57
6
580
d1
倍.
257 96 378 390 d2倍.
58 35 12
12
5
d1
倍.
158 68
11
55
115
7
d2. 258 96 572 580 d2倍.
59 35 61
2
61
3
d1. 159 69 92 115
d1
倍.
259 96 765 771 d2倍.
60 36 48 60 d1
倍.
160 69
26
269 d9. 260 96 1150
115
4
d2倍.
61 36 77 85 d8. 161 69 79
2
795
d1
倍.
261 96 2303
230
5
d2.
62 36 10
5
11
1
d2
倍.
162 69
23
80
238
1
d1. 262 97 4704
470
5
d1.
63 36 1616d1163 70 16182 d1263 98 336 350 d1倍.
64 36 32
3
32
5
d2. 164 70
24
250
d1
倍.
264 98 2400
240
2
d1倍.
65 37 68
4
68
5
d1. 165 70
12
24
122
6
d1
倍.
265 99 132 165 d1倍.
66 38 36
36
2
d1
倍.
166 71
25
20
252
1
d1. 266 99 168 195 d9倍.
67 39 52 65 d1
倍.
167 72 96 120
d1
倍.
267 99 440 451 d1倍.
68 39 80 89 d9. 168 72 13
5
153
d2
倍.
268 99 540 549 d1倍.
69 39 25
2
25
5
d1
倍.
169 72
15
4
170
d8
倍.
269 99 1632
163
5
d1倍.
70 39 76
76
1
d1. 170 72
21
222
d2
倍.
270 99 4900
490
1
d1.
71 40 42 58 d8
倍.
171 72
32
328
d1
倍.
271 100 105 145 d8倍.
72 40 75 85 d2
倍.
172 72
42
9
435
d2
倍.
272 100 240 260 d1倍.
73 40 96 10
4
d1
倍.
173 72
64
6
650
d2
倍.
273 100 495 505 d2倍.
74 40 19
8
20
2
d2
倍.
174 72
12
95
129
7
d2. 274 100 621 629 d8.
75 40 39
9
40
1
d2. 175 73
26
64
266
5
d1. 275 100 1248
125
2
d1倍.
76 41 84
84
1
d1. 176 74
13
68
137
d1
倍.
276 100 2499
250
1
d2.
77 42 56 70 d1
倍.
177 75
10
125
d1
倍.
277
78 42 14
4
15
d1
倍.
178 75
18
195
d1
倍.
278
79 42 44
44
2
d1
倍.
179 75
30
8
317 d9. 279
80 43 92
4
92
5
d1. 180 75
56
565
d1
倍.
280
81 44 11
7
12
5
d8. 181 75
93
6
939
d1
倍.
281
82 44 24
24
4
d1
倍.
182 75
28
12
281
3
d1. 282 。
83 44 48
3
48
5
d2. 183 76
35
7
365 d8. 283
84 45 60 75 d1
倍.
184 76
72
724
d1
倍.
284
85 45 10
8
11
7
d1
倍.
185 76
14
43
144
5
d2. 285 .
86 45 2020d1186 77 26275 d1286 说明：
87 45 33
6
33
9
d1
倍.
187 77
42
427
d1
倍.
287
1. ａ为勾，ｂ为股，
ｃ为弦。
88 45 10
12
10
13
d1. 188 77
29
64
296
5
d1. 288
2. ａ＜ｂ＜ｃ。3≤
ａ≤100.
89 46 52
8
53
d1
倍.
189 78
10
4
130
d1
倍.
289
3. 本表按照ａ的从小
到大排序
90 47 11
04
11
05
d1. 190 78
16
178
d9
倍.
290
4. ａ相同时按ｂ的小
到大排序
91 48 55 73 d18
.
191 78
50
4
510
d1
倍.
291
5. 范围内的勾股数一
个不漏。
92 48 64 80 d1
倍.
192 78
15
20
152
2
d1
倍.
292
6．ｄｋ表示ｃ减去ｂ
等于ｋ．
93 48 90 10
2
d2
倍.
193 79
31
20
312
1
d1. 293
7. ｄｋ倍表示约分后
具有ｄｋ
94 48 14
14
8
d2
倍.
194 80 84 116
d8
倍.
294
8. 本表可以无限补续
下去。
95 48 18
9
19
5
d2
倍.
195 80
15
170
d2
倍.
295
96 48 28
6
29
d2
倍.
196 80
19
2
208
d1
倍.
296
97 48 57
5
57
7
d2. 197 80
31
5
325
d2
倍.
297
98 49 16
8
17
5
d1
倍.
198 80
39
6
404
d2
倍.
298
99 49 12
00
12
01
d1. 199 80
79
8
802
d2
倍.
299
100 50 12
13
d1
倍.
200 80
15
99
160
1
d2. 300
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145
探究：关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)
探究：关于勾股定理的证明的那点事 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。 数学公式中常写作a2+b2=c2 勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 勾股定理指出： 直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 也就是说， 设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)
勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。 我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。 勾股数组 满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。 勾股数组的通式： a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2+n^2 (m>n,m,n为正整数） 推广 1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
勾股定理 定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 古埃及人利用打结作Rt 如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。那么这个三角形是直角三角形。 （称勾股定理的逆定理） 勾股定理的来源
勾股数
勾股数 勾股数 勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 目录 常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn 局限 目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。 完全公式
勾股数
勾股数免费编辑添加义项名 勾股数勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。为数学名词。 表达式 a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 别称 毕氏三元数 《周髀算经》 应用学科 几何 勾股数又名毕氏三元数。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 编辑本段常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种: 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如: n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如: n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如: n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 编辑本段公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证: 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可) 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)(奇数mod4余1)，而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾) 作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 往证:(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数)，从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）
三种常见的勾股数
三种常见的勾股数 我们知道，如果a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222c b a =+，反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得()()2 2211+=+-x x x ，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）； 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 设后两数为连续整数的勾股数组为（x ，y ，y ＋１），则 ()2 221+=+y y x ， 整理，得122=-y x ，（＊） 显然，x 不能是偶数，否则，当x 为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x 不能是偶数，因此， 取x ＝２m ＋１，则y ＝m m 222+（m ∈Ｎ）， 故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m ＋１，m m 222+，m m 222 +＋１）； 分别取m ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导． 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），则 ()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2 y ，化为 ()121222-=-+y x ，即
勾股数的常用套路
勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169；
以内的勾股数
100以内的勾股数： i=3j=4k=5 i=5j=12k=13 i=6j=8k=10 i=7j=24k=25 i=8j=15k=17 i=9j=12k=15 i=9j=40k=41 i=10j=24k=26 i=11j=60k=61 i=12j=16k=20 i=12j=35k=37 i=13j=84k=85 i=14j=48k=50 i=15j=20k=25 i=15j=36k=39 i=16j=30k=34 i=16j=63k=65 i=18j=24k=30 i=18j=80k=82 i=20j=21k=29 i=20j=48k=52 i=21j=28k=35 i=21j=72k=75 i=24j=32k=40 i=24j=45k=51 i=24j=70k=74 i=25j=60k=65 i=27j=36k=45 i=28j=45k=53 i=30j=40k=50
i=30j=72k=78 i=32j=60k=68 i=33j=44k=55 i=33j=56k=65 i=35j=84k=91 i=36j=48k=60 i=36j=77k=85 i=39j=52k=65 i=39j=80k=89 i=40j=42k=58 i=40j=75k=85 i=42j=56k=70 i=45j=60k=75 i=48j=55k=73 i=48j=64k=80 i=51j=68k=85 i=54j=72k=90 i=57j=76k=95 i=60j=63k=87 i=65j=72k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
勾股定理及其应用总结归纳
精心整理第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。
重点知识勾股定理的验证
重点知识确定几何体上的最短路线 例1 B A
图 AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. （2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 例7 如图1-2-6，A 、B 两个小镇在河流CD 同侧，到河的距离分别为AC ＝10千米，BD ＝30千米， 图 图1-2-9
且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用. 例8 如图1-2-7，一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果 家庭作业 ＝，CH＝，5.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S △ABC MH＝ 图 6.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
7.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD= . 8.如图1-1-2，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则BC 的长为 9.如图1-1-5，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米， 且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万 元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。 这个梯子顶端离地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了4 11.如图1-2-11，长方体的长为15cm ，宽为10果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 图1-1-2 B 图
100以内的勾股数
100以内的 勾股数 i=3j=4k=5 i=5j=12k=13 i=6j=8k=10 i=7j=24k=25 i=8j=15k=17 i=9j=12k=15 i=9j=40k=41 i=10j=24k=26 i=11j=60k=61 i=12j=16k=20 i=12j=35k=37 i=13j=84k=85 i=14j=48k=50 i=15j=20k=25 i=15j=36k=39 i=16j=30k=34 i=16j=63k=65
i=18j=24k=30 i=18j=80k=82
i=65j=72k=97勾股数的常用套路 所谓勾股数, 条边的三个正整数 (a,b,c)o 即 a A 2+b A 2=c A 2,a,b,c € N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数 n 得到的新 数组(n a, nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c 互质的勾股数组。 i=20j=21k=29 i=24j=45k=51 i=30j=40k=50 i=35j=84k=91 i=40j=42k=58 i=40j=75k=85 i=42j=56k=70 i=45j=60k=75 i=48j=55k=73 i=48j=64k=80 i=51j=68k=85 i=54j=72k=90 i=57j=76k=95 i=60j=63k=87 i=20j=48k=52 i=24j=70k=74 i=30j=72k=78 i=36j=48k=60 i=21j=28k=35 i=25j=60k=65 i=32j=60k=68 i=36j=77k=85 i=21j=72k=75 i=27j=36k=45 i=33j=44k=55 i=39j=52k=65 i=24j=32k=40 i=28j=45k=53 i=33j=56k=65 i=39j=80k=89 一般是指能够构成直角三角形三
勾股定理常见题型
1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①
100以内各数开方、100以内各数平方、常见勾股数
100以内各数开方 √1 = 1 √2 = 1.41421 √3 = 1.73205 √4 = 2 √5 = 2.23607 √6 = 2.44949 √7= 2.64575 √8 = 2.82843 √9 = 3 √10 = 3.16228 √11 = 3.31662 √12 = 3.4641 √13 = 3.60555 √14 = 3.74166 √15 = 3.87298 √16 = 4 √17 = 4.12311 √18 = 4.24264 √19 = 4.3589 √20 = 4.47214 √21 = 4.58258 √22 = 4.69042 √23 =4.79583 √24 = 4.89898 √25 = 5 √26 = 5.09902 √27 = 5.19615 √28 = 5.2915 √29 = 5.38516 √30 = 5.47723 √31 = 5.56776 √32 = 5.65685 √33 = 5.74456 √34 =5.83095 √35 = 5.91608 √36 = 6 √37 = 6.08276 √38 = 6.16441 √39 = 6.245 √40 = 6.32456 √41 = 6.40312 √42 = 6.48074 √43 = 6.55744 √44 = 6.63325 √45 = 6.7082 √46 = 6.78233 √47 = 6.85565 √48 = 6.9282 √49 = 7 √50 = 7.07107 √51 = 7.14143 √52 = 7.2111 √53 = 7.28011 √54 = 7.34847 √55 = 7.4162 √56 = 7.48331 √57 = 7.54983 √58 = 7.61577 √59 = 7.68115 √60 = 7.74597 √61 = 7.81025 √62 =7.87401 √63 = 7.93725 √64 = 8 √65 = 8.06226 √66 = 8.12404 √67 = 8.18535 √68 = 8.24621 √69 = 8.30662 √70 = 8.3666 √71 = 8.42615 √72 = 8.48528 √73 = 8.544 √74 = 8.60233 √75 = 8.66025 √76 = 8.7178 √77 = 8.77496 √78 = 8.83176 √79 = 8.88819 √80 = 8.94427 √81 = 9 √82 = 9.05539 √83 = 9.11043 √84 = 9.16515 √85 = 9.21954 √86 = 9.27362 √87 = 9.32738 √88 = 9.38083 √89 = 9.43398 √90 = 9.48683 √91 = 9.53939 √92 = 9.59166 √93 =9.64365 √94 = 9.69536 √95 = 9.74679 √96 = 9.79796 √97 = 9.84886 √98 = 9.89949 √99 = 9.94987 √100 = 10 100以内各数平方 12=1 22=432=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400
勾股数的整理及应用
首先要熟记1~30的平方 例如： 162 个位6乘以6 所以结果个位一定是6，个位不是6肯定错。 例如：可以用完全平方公式 192=（20-1）2=400-40+1=361 222=（20+2）2=400+80+4=484 整十的数比较好算。。。 某些学生觉得记上表很难，其实不然，部分已经是我们非常熟悉的数，像1~16、20、25…要记的不多，再加上上述的方法，再用心一下，就很好记的！ 常用勾股数与上表有联系，涉及到xx的平方 常用勾股数： 3 4 5 （9+16=25） 5 12 13 （25+144=169） 7 24 25 （49+576=625） 8 15 17 （64+225=289） 9 40 41 （81+1600=1681） … 这些是要求学生熟悉并记住的。 例如：当你看见三个数，7/24/25时候，若你记得，马上可以做出判断。 常用勾股数的整数倍也可以构成勾股数。 6 8 10 9 12 15 12 16 20 15 20 25 10 24 26 15 36 39 …
常用勾股数的正实数倍，进而构成一组广义的勾股数 2.5 6 6.5 3.5 8.4 9.1 … 判定勾股数的方法：化整、约简、判断 例：3.5 8.4 9.1 → 35 84 91 → 5 12 13 例： 如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ． 分析：很多学生会直接1602-1282=？这样算，不是不可以，而是数太大，一是易错，二是不好算。正确方法是 先约简： 160 128 ？ 同除以32 5 4 3 ？ =3x32=96 A C 160m
[实用参考]常见的勾股数及公式.doc
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2， 则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（G －１，G ，G ＋１），则由勾股数的定义，得（G+1）2+G 2=（G+1）2，解得G ＝ ４或G ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n 是正整数)都是勾股数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（G ，G ＋１，1222++x x ）（G 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（G ，G ＋１，P ），P=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222 -=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ） ， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得G ＝4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，P ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a= 21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；16 63 65 17144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 362 39 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 202 40 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626
勾股
勾股数 勾股数又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边 a、b的平方和等于斜边c的平方（a2+b2=c2） 表达式 a2+b2=c2,a,b,c∈N 常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：[1] 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)[1] ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。[1]第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37)[1] ... ... 这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (大于等于2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65)[1] ... ... 公式证明
以内的勾股数
以内的勾股数 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
100以内的勾股数：i=3j=4k=5 i=5j=12k=13 i=6j=8k=10 i=7j=24k=25 i=8j=15k=17 i=9j=12k=15 i=9j=40k=41 i=10j=24k=26 i=11j=60k=61 i=12j=16k=20 i=12j=35k=37 i=13j=84k=85 i=14j=48k=50 i=15j=20k=25 i=15j=36k=39 i=16j=30k=34 i=16j=63k=65 i=18j=24k=30 i=18j=80k=82 i=20j=21k=29 i=20j=48k=52
i=21j=72k=75 i=24j=32k=40 i=24j=45k=51 i=24j=70k=74 i=25j=60k=65 i=27j=36k=45 i=28j=45k=53 i=30j=40k=50 i=30j=72k=78 i=32j=60k=68 i=33j=44k=55 i=33j=56k=65 i=35j=84k=91 i=36j=48k=60 i=36j=77k=85 i=39j=52k=65 i=39j=80k=89 i=40j=42k=58 i=40j=75k=85 i=42j=56k=70 i=45j=60k=75 i=48j=55k=73
i=51j=68k=85 i=54j=72k=90 i=57j=76k=95 i=60j=63k=87 i=65j=72k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,n c)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ...... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1,c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10)