2021年高考数学第八章第6讲：双曲线
第6讲双曲线
,[学生用书P158])
1．双曲线的定义
条件结论1结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双
曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双
曲线的焦距2a<|F1F2|
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a＞0，b＞0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a＞0，b＞0)图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，
x∈R
对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2
叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半
轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
1．辨明三个易误点
(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
2．求双曲线标准方程的两种方法
第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)
[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线 的方程是( ) A ．x 2－ y 2 3 ＝1 B ．y 2－ x 2 3 ＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2 解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D 2．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1，即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 答案：C 3．已知双曲线 x 2－ y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 解析：由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1 3 |PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1 2|PF 1|·|PF 2|＝24. 答案：B 4．(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2
分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA → ＝λPF 1→ ，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．与λ的取值有关 解析：由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3. 答案：A 5．(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2或 3 B ．2或23 3 C.233 D ．2 解析：双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则有b a ＝tan π3＝3，因为e 2 ＝c 2a 2＝1＋b 2 a 2＝1 ＋3＝4，所以双曲线C 的离心率为2，故选D. 答案：D 6．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π 3 ，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为________． 解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2 是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3.又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2.又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π 3＝23，所以b 2＝2， 则该双曲线的虚轴长为2 2. 答案：2 2 7．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解析：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，
2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第七节 抛物线 理
第八章 第七节 抛物线 一、选择题 1．已知抛物线x 2 ＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2 －x 2 ＝2的上焦点，则a 等于 ( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则 有 a 4 ＝2, 解得a ＝8. 答案：C 2．抛物线y ＝－4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．－17 16 B ．－1516 C.7 16 D.1516 解析：抛物线方程可化为x 2 ＝－y 4，其准线方程为y ＝116 .设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定 义，可知116－y 0＝1?y 0＝－15 16 . 答案：B 3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2 ＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B ．1 C.5 4 D.74 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1 2(|AF |＋ |BF |)－14＝32－14＝5 4 . 答案：C 4．已知抛物线y 2 ＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，
则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝ 1 2|AB |＝半径，故相切． 答案：C 5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2 ＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2 B ．8 C ．8 2 D ．16 解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由??? ?? y ＝x －2，y 2 ＝8x ，消去y 得x 2 －12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22 －4x 1x 2＝144－16＝8 2. 答案：C 6．在y ＝2x 2 上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2 的准线，F 为其焦点，PN ⊥ l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋ |PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D. 答案：B 二、填空题 7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2 ＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2 ＋(y －4)2 ＝64. 答案：x 2 ＋(y －4)2 ＝64 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 解析：设抛物线方程为x 2 ＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a 4 .
2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第六节 双曲线 理
第八章 第六节 双曲线 一、选择题 1．“ab <0”是“方程ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线”的 ( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b ＝1表示双曲线，则c 2 ab <0，这就是说“ab <0” 是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件． 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3 3 x ，若顶点到渐近线的 距 离 为 1 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 2 4＝1 C.x 24－y 2 4 ＝1 D.x 24－4y 2 3 ＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又b a ＝ 33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 2 4－3y 2 4 ＝1. 答案：A 3． (2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直， l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1可得 y 2 ＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝c a ＝ 3. 答案：B 4．已知双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则 1PA · 2PF 的最小值为 ( )
2019版同步优化探究理数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业 A组——基础对点练 1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B．3 C.3m D．3m 解析：双曲线方程为x2 3m － y2 3 ＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x2 a2 － y2 3 ＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( ) A．2 B. 6 2 C. 5 2 D．1 解析：因为双曲线的方程为x2 a2 － y2 3 ＝1，所以e2＝1＋ 3 a2 ＝4，因此a2＝1，a＝1.选D. 答案：D 3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( ) A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C．x±4y＝0 D．y±4x＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y2 1 4 －x2＝1，因此其渐近线方程是 y2 1 4 －x2＝0，即x±2y＝0，选 A. 答案：A 4．已知双曲线x2 3
－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2 5，则△ PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C.5 D. 12 解析：在双曲线x2 3－y 2＝1中，a ＝ 3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2 3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2 5，∴|PF 1|＝ 5＋ 3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝|F 1F 2|2 ，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝1 2×|PF 1|×|PF 2|＝1 2 ×( 5＋ 3)×( 5－ 3)＝1.故选A. 答案：A 5．已知双曲线C ： x2a2 － y2b2 ＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点 ，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．4 解析：根据题意，双曲线C 的方程为 x2 a2－y2b2 ＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为 y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b a ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交 点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B 6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )
第六节 双曲线(章节练习)
第六节 双曲线 【知识要点】 一、你熟悉双曲线的定义吗？ 二、你能写出双曲线的标准方程吗？ 三、你了解双曲线的这些性质吗？如：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，焦距，离心率，准线，渐近线 四、你熟悉双曲线的第二定义吗？ 【典型例题】 # 例1.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2 =144. （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小. # 例2. 根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线92 x －16 2y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162 x －4 2y =1有公共焦点，且过点（32，2）
例3.已知双曲线x 2－22 y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点. （1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦. 例4.(05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。 (1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
例5.已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 例6．直线:1l y kx =+与双曲线22 :21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第六节 双曲线 含解析
课时规范练 A 组 基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△ PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4 3|PF 2|， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1 2 ×6×8＝24.
答案：C 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1， 即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C 6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 2 4 ＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C.y 24 －x 2 ＝1 D ．y 2 －x 2 4 ＝1 解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 2 4－ x 2 ＝0，得y ＝±2x ，令y 2 －x 24＝0，得y ＝±1 2 x ，故选C. 答案：C 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1 解析：由题意得e ＝ 1＋b 2a 2＝5 4 ，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2 9＝1. 答案：C 8．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0 垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 ＝1 B ．x 2 －y 2 4 ＝1 C.3x 220－3y 2 5 ＝1 D.3x 25－3y 2 20 ＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2 ＝1. 答案：A
第八章第七节双曲线
第八章 第八节双曲线 课下练兵场 "难度及题号 容易题 中等题 稍难题「 知识点 （题号） （题号） （题号） 双曲线的定义及其标准方程 1、2 & 10 双曲线的几何性质 3 4、5、7、9 直线与双曲线的位置关系 6 11、12 1已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（ 1 A.Q C.7 D . 5 解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上， 则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C 1 2.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是 C. 3 解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, ???双曲线方程为x 2— y 2= 1（x < — 1）. 代入2可求P 的横坐标为x =—于. 3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（ ） B.2 ? P 到原点的距离为 答案：A
C . 1v e v 5 D . e > 5 解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率 解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2= 5? m = 4. 答案：D =o ,^HPF i + PF 21= 答案：B 5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的 离心率为 （ ） A . 1+ 2 B . 2+ 2 C . 3— 2 D . 3 + '. 2 解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I , 即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0, a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, ?/ e > 1, ??? e = 1 + 2. 答案：A 2 2 6.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分 另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 （ ） B . 1 v e v 3 一条渐近线 3y — mx = 0, 4.设F i 、F 2分别是双曲线 2 x 2 -y 1的左、右焦点.若点 P 在双曲线上，且 PF^ -PF^ PF ( ) A. 10 B . 2 10 C. 5 2 y = 1的左、右焦点. 9 解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 | P F 1 + PF 2 1= 2| PO |= | F 1F 2 |= 2.10. 点P 在双曲线上，且PF^ -PF^ PF :必大
(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第六节双曲线
第六节双曲线 这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程 （一）循纲忆知 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.
(二)小题査验 1.判断正误 (1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 (2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹 是双曲线
2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I， 卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为
3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且 3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS?的面积等于 解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10. 2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l, A \PF 2\=69 IPFil=8. AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ ???Mi 丄“2, ?°? S^PF \F2=flPF ］卜 LPF2I=f X 6 X 8=24. ,
（二）小题查验 1.判断正误 2 2 ⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ） 2 2 2 （2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一 必=0,即兰±》=0 n m n （3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ） 2 2 2 2 （4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心 率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案
第六节双曲线 2019考纲考题考情 1．双曲线的概念 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。 (1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。 (2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。 (3)当a＞c时，M点不存在。 2．双曲线的标准方程和几何性质
1．双曲线定义的四点辨析 (1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。 (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。 (3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。 (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线 (1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。 (2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。 3．方程的常见设法 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)。 (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)。 一、走进教材 1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点 P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离
等于________。 解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。 答案6 2．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x2 4＋ y2 3＝1的焦点为顶 点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。 解析设要求的双曲线方程为x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆 x2 4＋y2 3＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为 (±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线标准方程为x2－y2 3＝1。 答案x2－y2 3＝1 二、走近高考 3．(2018·浙江高考)双曲线x2 3－y2＝1的焦点坐标是() A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2) 解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。 答案B 4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2c，则 其离心率的值是________。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第八章 第七节双 曲 线
温馨提示： 此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word 文档返回原板块。 课时提升作业(五十六) 一、选择题 1.已知双曲线22 22x y 1a b -=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为4y x 3=，则双曲线的离 心率为( ) () ( )()( 55A B C D 334 2.双曲线2 2x y 1n -=(n ＞1)的左、右两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足 |PF 1|+|PF 2 |=则△PF 1F 2的面积为( ) (A) 1 2 (B)1 (C)2 (D)4 3.已知双曲线mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为 ( ) () ( )( )( ) 1A B C D 3333 4.已知双曲线22 22x y 1a b -=(a>0,b>0) 的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在 抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) ()()()()2222 2222 x y x y A 1 B 1 36108927 x y x y C 1 D 1 10836279 -=-=-=-= 5.(2013·贵阳模拟)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线
FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) (((() 11 A B C D 22 6.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N 是双曲线的两顶点，若M,O,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) (A)3 (B)2 (D)7.设F 1,F 2分别为双曲线22 22x y 1a b -= (a ＞0,b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支 上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) (A)3x ±4y=0 (B)3x ±5y=0 (C)4x ±3y=0 (D)5x ±4y=0 8.(能力挑战题)已知点F 1,F 2分别是双曲线22 22x y a b -=1的左、右焦点，过F 1且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) ()()()() A (11 B (1 C 1) D (,1 +∞ -∞， ， 二、填空题 9.(2013·昆明模拟)已知双曲线22 x y 19a -=的右焦点的坐标为 ) ，则该双曲线 的渐近线方程为_________.
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 含解析
课时作业 A 组——基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．已知双曲线x 23－y 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2| ＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5 D.12 解析：在双曲线x 23－y 2 ＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1| －|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝1 2×(5＋3)×(5 －3)＝1.故选A. 答案：A 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条
第八章 第七节 双曲线
第八章 第七节 双曲线 1.(2010·汕头一模)一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2 D ．x 2－y 2＝12 解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a >0)， 则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a | 2＝2，∴a 2＝2. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 2．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且 1MF ·2MF ＝0，|1MF |· |2MF |＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 2 9 ＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 2 3 ＝1 解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF ，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝40， ∴(|MF 1|－|MF 2|)2＝|MF 1|2－2|MF 1|·|MF 2|＋|MF 2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，a ＝3， 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2 ＝1. 答案：A 3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线x 4－y 12＝1的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．23 B ．2 C. 3 D ．1 解析：双曲线x 24－y 2 12＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x . 由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0| 3＋1 ＝2 3.
第51课时 双曲线
课题：双曲线 教学目标：掌握双曲线的两种定义，标准方程，双曲线中的基本量及它们之间的基本关系教学重点：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及应用. （一）主要知识及主要方法：
1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22 a x －22y b λ=（0λ≠）． 2.与22221x y a b -=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－2 2 1y b k =+（2k a <且2k b ≠-） 3.双曲线形状与e 的关系：b k a ====,e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔. （二）典例分析： 问题1．根据下列条件，求双曲线方程： () 1与双曲线22 1916 x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-； () 2与双曲线22 1164 x y -=有公共焦点，且过点() 2； () 3以椭圆22 1259 x y +=的长轴端点为焦点，且过点() P ； ()4经过点15,34?? ??? ，且一条渐近线方程为430x y +=； () 5(4,.
问题2．()1设P 是双曲线2 2 13 y x -=的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知()3,1A ， ①求PA PF +的最小值；②求1 2 PA PF +的最小值. ()2（06天津市质检）由双曲线22 194 x y -=上的一点P 与左、右两焦点1F 、2F 构成12PF F △， 求12PF F △的内切圆与边12F F 的切点坐标. 问题3．已知双曲线方程为22 221x y a b -= （0a >，0b >）的左、右两焦点1F 、2F ， P 为双曲线右支上的一点，1373PF =，213 3PF =, 12F PF ∠的平分线交x 轴于12,05Q ?? ??? ，求双曲线方程. 问题4．(06湖北联考) 已知双曲线方程为22 221x y a b -=（0a >，0b >），双曲线斜率大于零的渐近
高考数学总复习 第十单元第六节双曲线
高考数学总复习 第十单元第六节双曲线 一、选择题 1．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 25 2＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2 122＝1 【解析】 依题意：????? c a ＝513 ，a ＝13， ∴c ＝5，焦点(±5,0)，由双曲线定义，C 2为双曲线，且a ＝4，c ＝5，b 2＝9，故选A. 【答案】 A 2．下列曲线中离心率为62 的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22 ＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 2 10＝1 【解析】 依据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a 判断，故选B. 【答案】 B 3．实轴长为45且过点A (2，－5)的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 216＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 216－x 2 20＝1 【解析】 依题意，a ＝25，排除C 、D ，由点A 在曲线上，排除A ，选B. 【答案】 B 4．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5) C ．(2,5) D ．(2，5) 【解析】 依题意，c 2＝a 2＋(a ＋1)2， ∴e ＝2a 2＋2a ＋1a ＝2＋2a ＋1a 2＝? ?? ??1a ＋12＋1， ∵a >1，∴0<1a <1，∴2 长郡中学资料共享群：310601280 全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099第六节 双曲线 [考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用． 1．双曲线定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M|||M F 1|－|M F 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c，其中a ，c 为常数且a >0，c>0.(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2 －y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)y 2a 2 －x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)图形 性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 虚轴 线段实A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； 第七节双曲线 [考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单的几何性质．3.了解双曲线的简单应用．4.理解数形结合的思想． 1．双曲线的定义 (1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋ b 2 a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2 n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ± y n ＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.6 2 C.52 D ．1 D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a ＝2， ∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.] 3．(2017·福州质检)若双曲线E ：x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) 【导学号：57962406】 A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 2 3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线 课时规X 练 A 组——基础对点练 1．双曲线x 236－m 2－y 2 m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( ) A ．6 B ．12 C ．36 D.2 36－2m 2 解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653 D.－63 解析：kx 2－ky 2 8 ＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1. 答案：B 3．(2020·某某滕州月考)已知双曲线x 225－y 2 9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支 上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.2 3B ．1 C ．2 D.4 解析：由双曲线x 225－y 2 9＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴ |NO |＝1 2 |MF 1|＝4. 答案：D 4．(2020·某某永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 2 3＝1有相同的渐近线的双曲线的 方程是( ) A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－x 2 3＝1 C ．x 2－y 2＝2 D.y 2－x 2＝2 解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D 5．双曲线y 29－x 2 4＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±94x B ．y ＝±4 9x C ．y ＝±32x D.y ＝±2 3 x 解析：双曲线y 29－x 2 4＝1中，a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±3 2x . 答案：C 6．(2020·某某模拟)若双曲线M ：x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为 双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( ) A ．3 B ．2 C.53D.5 4 解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝c a ＝5 4. 答案：D第8章平面解析几何 第6节双曲线
2018年一轮复习(理)数学教案：第8章 第7节 双曲线含解析
2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练文含解析北师大版202102201