备战2020高考数学黄金30题系列之压轴题—专题02 数列(解析版)

专题2 数 列

1．（2020·荆门市龙泉中学高三月考）数列{}n a 满足(

)*

121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N

+++++=++≠∈，且

11a =，22a =．若()()sin 0,0n a A n c ω?ω?π=++><<，则实数A = ．

【解析】数列{}n a 满足(

)*

121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N

+++++=++≠∈，且1

1a

=，22a =．

令1n =，得：33212a a =++，解得33a =；令2n =，得：44623a a =++，解得41a =；令3n =，得：

55313a a =++，解得52a =；…；可得3n n a a +=，11a =，22a =，33a =．

∵()()sin 0,0n a A n c ω?ω?π=++><<，∴23π

ω

=，解得23

πω=

． ∴()2sin 03n a A n c π??π??

=++<<

???

， ∴21sin 3A c π???=++ ???，22sin 23A c π???=?++ ???，23sin 33A c π???

=?++

???． 化为：21sin 3A c π???=++ ???，2sin 3A c π???=-++ ???

，3sin A c ?=+．

∴sin sin 13A A π????++=

???，2sin sin 23A A π????

-+= ???

，

即

3sin cos 122

A A ??+=①

3sin cos 22A A ??=② ①+②得：3sin 3A ?=，即sin 1A ?=，

cos 1?=-，即cos 3

A ?=-

，联立解得：tan ?=0?π<<，

∴23?π=

，∴A =．

【押题点】数列递推关系；数列与三角函数的周期性

2．（2020·安徽六安一中高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =且11n n S n a +++=(*)n N ∈，数

列1n n a ???

?+??

的前n 项和为n T ，不等式19

173

21n n T m a ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】(,2]-∞

【解析】当1n =时，由122S a +=及11a =可得23a =，由11n n S n a +++=① 可得2n ≥时，1n n S n a -+=②，

由①－②可得11n n n a a a ++=-，即121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+，其中2n ≥， 当1n =时，21142(1)a a +==+，故

11

21

n n a a ++=+对任意的1n ≥总成立，即{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故12n

n a +=，则12n n

n

n

a =+，

则231232222

n n n

T =++++L ③，

2341112322222

n n n

T +=++++L ④ 由③-④可得23111

11

(1)

111112

22112222222212

n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--L ，∴2

22n

n

n T +=-

， 由1917321n n T m a ++

-+≥，得191323222

n n m +-+-≥， 设1

13222n n n A +-=+

，则122152n n n n A A ++--=，易得{}n A 在7n ≤时递减，在8n ≥时递增，且788913

2,222

A A =-=-， 故{}n A 的最小值为89322A =-

，故9933

222

m --≥，解得2m ≤．故答案为：(,2]-∞． 【押题点】数列的通项公式与前n 项和的关系；错位相减法；数列不等式恒成立问题

3．（2020·四川树德中学二诊）已知函数2

()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()

*n ∈N ，

若()2

()x

n n

n n f x e

a x

b x

c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ??

??-??

的前n 项和为n S ，

则[]20003S = ． 【答案】4

【解析】由题意，函数2

()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()

*n ∈N ，

可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，2

21()()(67)x f x f x e x x '==++

232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021),x f x f x e x x '==++L L

又由()2

()x

n n

n n f x e

a x

b x

c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =，

数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，∴22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8,,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=L ， ∴2121321(1)(42)

()()()412

n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+

=++L ，

∴22

2211

22(1)(22)n n n a c b n n n n ?==-++-+，

又由

2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n

>=-<=-≥++--， 可得数列1{

}(1)n n +的前n 项和为111111

1122311

n n n -+-++-=-++L ，

数列1{

}(1)n n -?的前n 项和为11111131

12334121

n n n +-+-++-=-++L ，

∴数列22n n n a c b ????-??

的前n 项和为n S ，满足11

11213n S n n <--

<++， ∴2000113(1)32033(0120120)S -

<-<，即200033

332920012001

S <--<，又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，∴[]200034S =，故答案为：4．

【押题点】导数的计算；等差数列的通项公式；累加法求解数列的通项公式；裂项法求数列的和

4．（2020·山西长治3月网考）定义R 在上的函数()f x 为奇函数，并且其图象关于x ＝1对称；当x ∈（0，1]时，f （x ）＝9x ﹣3．若数列{a n }满足a n ＝f （log 2（64+n ））（n ∈N +）；若n ≤50时，当S n ＝a 1+a 2+…+a n 取的最大值时，n ＝ ． 【答案】26

【解析】∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，又∵其图象关于直线x ＝1对称， ∴()()11f x f x -=+，即()()2f x f x -=+，

∴()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，即函数f （x ）是周期为4的周期函数，

∵当x ∈（0，1]时，f （x ）＝9x ﹣3，∴1

219302f ??

=-= ???

，

∵函数()93x

f x =-为(]0,1上的增函数，∴当10,

2x ??∈ ???时，()0f x <，当1,12x ??

∈ ???

时，()0f x >，

作出函数()f x 在()2,2-上的图象如图所示：

∴当32,2x ?

?∈-- ??

?时，()0f x >，

当31,22x ??

∈-- ???时，()0f x <，31022f f ????

-=-= ? ?????

，由周期性可得：x ∈（6，132）时，f （x ）＞0， x ∈（

132，152）时，f （x ）＜0，f （132

）＝f （15

2）＝0． ∵*

150,n n N ≤≤∈，∴6＜log 2（64+n ）＜log 2114＜7．

而当6＜log 2（64+n ）213

2

log =＜a n ＞0，即当64＜64+n ＜≈90．496，a n ＞0，∴n ≤26时，a n ＞0． 当27≤n ≤50时，

13

2

＜log 2（64+n ）＜log 2114＜7，此时a n ＜0，∴当n ＝26时，S n ＝a 1+a 2+…+a n 取的最大值，故答案为：26．

【押题点】函数奇偶性、对称性、周期性；对数的运算；数列前n 项和的最值问题

5．（2020·河北衡水中学高三月考）如图，曲线2

(0)y x y =≥上的点1P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构

成一系列正三角形，11OPQ △，

122Q P Q △，1n n n Q P Q -L L ，△设正三角形1n n n Q P Q -的边长为,*n a n N ∈（记0Q 为O ），(),0n n Q S ．数列{}n a 的通项公式n a = ．

【答案】

23

n

【解析】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则点n Q 的坐标为(),0n S ，易知直线1OP

的方程为y =

，

与曲线的方程联立()20y y x y ?=??=≥??

，解得13x y ?

=????=??

123a ∴==； 当n *

∈N 时，点(),0n n Q S 、()11,0n n Q S ++

，∴点12n n n S S P +?+ ?

， 直线n n P Q

1122

n n n n n

S ++==-

12n +=， 等式两边平方并整理得211322n n n a S S ++=+，可得2

1322n n n a S S -=+，

以上两式相减得()2

2

11332n n n n a a a a ++-=+，即()()()11132n n n n n n a a a a a a ++++-=+，

易知0n a >，∴()132n n a a +-=，即123

n n a a +-=， ∴数列{}n a 是等差数列，且首项为23，公差也为23，因此，()2221333n n a n =+-=．故答案为：23

n

．

【押题点】数列的通项公式；数列的递推关系

6．（2020·湖北华中师大一附中高三月考）已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n

O