江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期

期中考试数学（理）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、填空题

1. 函数的导数为_____________ ．

2. 若，则＝______．（用数字作答）

3. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数

的值为______．

4. 人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为

______．

5. 函数的单调减区间是______．

6. 函数的极大值是______．

7. 设函数的导函数为，若，则＝______．

8. 用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有______个．（用数字作答）

9. 已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值

范围是______．

10. 已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值是______．

11. 某种圆柱形的饮料罐的容积为，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含的代数式表示）______．

12. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．

13. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．

二、解答题

14. 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）

（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？

（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？

（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）

15. 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．

(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；

(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．

16. 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.

(1) 求的极值；

(2) 设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．

17. 已知函数＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．

（1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围；

（2）求在区间上的最值；

（3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

18. 为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是

一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径

上一点（异于两点），点D是圆弧上一点，且．为了实现“以展养展”现在决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大

值．

19. 已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且，求证

；

（3）设，对于任意时，总存在，使

成立，求实数的取值范围.