高二数学讲义圆与方程
讲义:圆与方程
圆的标准方程与一般方程
1、圆的标准方程:222
()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 的圆的方程222
x y r +=。
2、圆的一般方程:()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->
(1)当2240D E F +->时,表示以,22D E ??-- ???为半径的圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ??-
- ???
;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形. 特点:(1)①2x 和2
y 的系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样的二次项
(2)确定圆的一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了
(3)与圆的标准方程比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标
准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
3、过圆上一点的切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 的切线方程为200r y y x x =+
当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 的圆的切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--
典型例题
例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8),求该圆的方程。
例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。
例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.
例4、已知圆的方程是2
22r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。
例5、求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
巩固练习:
1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A .22(2)5x y -+=
B .22(2)5x y +-=
C .22(2)(2)5x y +++=
D .22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )
A .023=-+y x
B .043=-+y x
C .043=+-y x
D .023=+-y x
3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.
4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。
5、求经过点A (0,4),B (4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程;
直线与圆、圆与圆的关系
1、点与圆的位置关系:
设圆的标准方程222()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆的标准方程, 结果>r 2在外, 判断点P 在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P 到圆心的距离d 与半径r 的大小关系: d >r ?点P 在圆外;即点P ),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-外的条件是22020)()(r b y a x >-+-; d =r ?点P 在圆上;在圆22)()(b y a x -+-=2r 上的条件是22020)()(r b y a x =-+-; d 2、直线与圆的位置关系: ①代数法:由方程组???=-+-=++222)()(0 r b y a x C By Ax ,得)0(02 2≠=++m p nx mx ,mp n 42-=? 0>?方程组有两解 0=?方程组有一解 0 ②几何法: 直线与圆相交 r d < 直线与圆相切 r d = 直线与圆相离 r d > 3、圆与圆的位置关系:几何角度判断(圆心距与半径和差的关系) (1)相离1212C C r r ?>+; (2)外切1212C C r r ?=+; (3)相交121212r r C C r r ?-<<+; (4)内切1212C C r r ?=-; (5)内含1212C C r r ?<-. 例1、设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2 =m 的位置关系为( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 例2、圆x 2+y 2-4x +4y +6=0截直线x -y -5=0所得的弦长等于( ) A.6 B. 225 C.1 D.5 例3、已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). 证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点。 巩固练习: 1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 2、圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .221+ D .221+ 3、若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截 距是 __________________. 4、点(),P a b 在直线01=++y x 上,求22222+--+b a b a 的最小值。 5、已知圆C 和y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且被直线x y =截得的弦长为72, 求圆C 的方程。 课后作业 1、若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是( ) A .x+y=0 B .x+y-2=0 C .x-y-2=0 D .x-y+2=0 2、圆x 2+y 2+6x-7=0和圆x 2+y 2 +6y-27=0的位置关系是( ) A . 相切 B . 相交 C . 相离 D .内含 3、点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________ 4、 已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称,则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称,则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称,则4l 的方程为___________; 5、若方程22 0x y x y m +-++=表示一个圆,则m 的取值范是: ____________. 6、圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 7、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程 8、求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。