量子力学主要知识点复习资料(新)
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分
1能量量子化
辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε
2.波粒二象性
波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2
λ
h
m p =
=v
3.波函数及其物理意义
在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程
0),()](2[),(2
2=-?+??t r r V m
t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅
表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以，
应
该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ
波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义
常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )
附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附
件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1
必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值
2|(,,)|x y z ψ2
|(,,)|x y z x y z ψ???x y z τ?=??
?2
|(,,)|1
x y z dxdydz ψ∞=?
(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ
既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __
，由概率论，有 又如，势能V 是 r 的函数：)(r V
，其平均值由概率论，
可表示为?
+∞
∞
-=r d r r V r V 3*)()()(
ψψ?+∞
∞
-=r
d r r V r V 3*)()()(
ψψ
再如，动量 的平均值为：
为什么不能写成 因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？ 可以，但需要表示为p __
r d r p
r ?+∞
∞
-=
3*)(?)(
ψψ
其中 为动量 的算符
6.算符
量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算
如动量算符?-≡
i p
? 能量算符E
t
i E ?≡??=
动能算符22
2??-=m
T
动能平均值r d r T r T ?
+∞
∞
-=3*)(?)(
ψψ 角动量算符p
r l ??
?= 角动量平均值r d r l r l ?
+∞
∞
-=3*
)(?)( ψψ
薛定谔方程
),()],(2[),(2
2t r t r V m
t r t i ψψ+?-=??
算符 ，被称为哈密顿算符， 7.定态
数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 方程 称为能量本征方程，
被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。 当E 为确定值，),(t r ψ=)(r E ψ)exp(Et i
-
拨函数所描述的状态称为定态，处
22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =
23
*3|()|()(),
x r xd r r x r d r ψψψ+∞
+∞
-∞
-∞
==?
?3
d r dxdydz
=*3()(),
p p p p d p ??+∞
-∞
=??
+∞
∞
-=
r
d r r p r p 3*)()()(
ψψ?-≡ i p ?p
?Af af =?A →算符,f →本征函数,a →本征值2
2?()2H V r m =-?+22?[()]()()()()2E E E E V r r E r H r E r m ψψψψ-?+=→=)(r E ψ
于定态下的粒子有以下特征：
粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。 8.量子态叠加原理
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即
)()(x c x n n
n ψψ∑=
，
具有),(中发现粒子处于态)(表示在态||2x x c n n ψψ的概率能量n E
9. 宇称
若势函数V （x ）=V （-x ），若)(x ψ是能量本征方程对于能量本征值E 的解，则)(x -ψ也是能量本征方程对于能量本征值E 的解
具有确定的宇称。无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(x x x V x V E
x ψψψ-=
10.束缚态
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 11. 一维谐振子的能量本征值 12. 隧穿效应
量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。 又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。 13. 算符对易式
一般说来，算符之积不满足交换律，即 ，由此导致量子力学中的一个基
:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()P P x x P x x x P x x x x P x x x P x x x ψψψψψψψψψ=-=-==-=-→=-=→=-=-定义空间反演算符为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称.,2,1,0,)2/1(???=+==n n E E n ω A B B A ????≠
本问题：对易关系 对易式 ，通常 坐标对易关系
角动量的对易式
,0]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,0]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,0]?,?[,
0],?[,],?[,],?[,],?[,0],?[,],?[,],?[,],?[,0],?[=-====-=-====-====-=-===z y
x y z y x z x z y y y z x y y z x z y x x x y z z y y y x x x p l p i p l p i p l p i p l p l p i p l p i p l p i p l p l z l x i y l y i x l x i z l y l z i x l y i z l z i y l x l
y
x z x z y z y x z
z y y x x l i l l l i l l l i l l l l l l l l ?]?,?[,?]?,?[,?]?,?[,0]?,?[,0]?,?[,0]?,?[ ======
14.厄密算符平均值的性质
,?~??,?*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则A A A A ?。＝即记为*
~??,?A A A ++先转置，再共
轭。
**
?~
?ψτ??τψA d A d ?
?= 体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄
米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 15. 量子力学关于算符的基本假设
1、微观粒子的状态由波函数 描写。
2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z )的概率。
3、力学量用算符表示。
4、波函数的运动满足薛定格方程
A B B A B A B A ????]?,?[,??-≡?设和0]?,?[≠B A
??
?≠===βαβ
αδααββ,0,]?,[ i i p z y x ,,,=βα0]?,?[,0]?,?[,0]?,?[,????222
2222===++=z y x z
y x l l l l l l l l l l 有令),(t r
ψψ=2|),(|t r
ψ2
22
2?(,)()(,)(,),2?i r t V r t H r t t m
ψψψ?=-?+=?
16.算符的本征方程，本征值与本征函数
数学中，形如的方程，称为本征方程。其中
3
*
其中，
,
)
(
均可展开如下：
状态
完备态矢，系统的任何
能构成一组正交归一
都是不简并的，则
,
果
的本征态与本征值，如
?
是算符
和
dr
a
a
x
A
A
A
n
n
n
n
n
n
n
n
n
?
∑=
=
?
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
17.不确定度关系的严格表达
18.两个算符有共同本征态的条件
两个算符对易，即0
]?,?[=
B
A
19.力学量完全集
若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征
态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由的本征值不能确定体
系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，
我们定义力学量完全集。
定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本
征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系
的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。
20.力学量完全集共同本征态的性质
?Af af
=
?A→算符,f→本征函数,a→本征值
?,
?
?
?
n n n
n
n
A A A
n A A
A A A
A
ψψψ
ψψ
ψ
=
=
满足的和不止一组
可能有组，因此
此式称为的本征方程，称为的
一个本征值，称为的一个本征态。
若能级简并
21. 守恒量
对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A 称为量子体系的一个守恒量。
22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用
把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方。|β><α|是外积。
*
的共轭态量子态左矢|；代表量子态右矢|ψ
ψψψψ→→<→>→
是力学量完全集若k ψ )?,?(是如球谐函数,||的本征态，则2z lm k l l Y k F >>→ψ
>>→lm Y lm ||的共同本征函数，
采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。
∑∑><===> k k k k k P I P I k k 为投影算符||,或|| 算符向左作用 23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数 ? θ π ? θim m l m lm z e P m l m l l Y l l ) (cos )! ( )! ( 4 1 2 )1 ( ) , ( 的共同本征函数为 ? 和 ? 这样，2 + - + - = ??? = - + -??? - =,2,1,0 , ,1 , ,1 , 其中l l l l l m ??? = - + -??? - = ?? ? ? ? = + = ,2,1,0 , ,1 , ,1 , ? )1 ( ? 足 称为球谐函数，它们满 2 2 l l l l l m Y m Y l Y l l Y l Y lm lm z lm lm lm 注意量纲 注意，推导过程计算题有可能要考 24.氢原子的能量本征值与能级简并度 , ,3,2,1 , 1 2 1 22 2 2 2 4 ??? = - = - = =n n a e n e E E n μ 简并的 氢原子的能级是2n 25.正常Zeeman效应 原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。 26.电子自旋 电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称 自旋不是机械的自转 27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验 Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩－革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发,通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。 实验上高温炉中的Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。 28碱金属原子光谱双线结构 自旋。 性。其根源正是电子的 果，而是原子的故有特 外界因素作用的结 效应不同，此现象并非 与 。 . 589 ， 6 . 589 两条谱线构成： 是由 行观测，发现它实际上 用高分辨率的光谱仪进 , 3 . 589 的跃迁产生一条黄线 3 3 对钠原子， 2 1 Zeeman nm nm nm s p = = = → λ λ λ 29.量子跃迁与选择定则 。 1 | 能跃迁到第一激发态 只 | 振子从基态 在外电场的激发下，谐 > > 。 这称为跃迁的选择定则 的跃迁发生， 1 表明允许谐振子 不能发生， 0， ， 3 0， 2 可以发生， 1 以上结果表明， 1 ,0 ) ( ,0 2 ) ( 2 2 2 2 10 2 2 = ? → → → → > = ∞ > ∑ = ∞- n n n P e q P n τ ω πτ ω μ 即谐振子只能跃迁到相邻能级 30.禁戒跃迁 的跃迁是禁戒的。 到者说，从的跃迁是不可能的，或到表明从，0，0，使得若存在这样的末态)13(||1 )(时，有 的概率。当跃迁到末态代表系统从初态)(则,|)(|)(令) 12(1)(已知 20 220 k k k k P H k dt H e t P k k k k t P t C t P dt H e i t C k k k k t k k t i k k k k k k k k t k k t i k k k k k k k k ''=→='''=≠''='+=''''''''''?? '' ωωδ 的跃迁为禁戒跃迁。 0，，30，20。或者说，1其中,|能跃迁到激发态不 0|振子从基态在外电场的激发下，谐n n n →→→>>> 31. 微扰论的思想 解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。 32.突发微扰与绝热微扰 做绝热微扰。 样的微扰叫会改变系统的状态，这地作用到系统上时，不当外界的微扰十分缓慢做突发微扰。 这样的微扰叫不会改变系统的状态，地作用到系统上时，也当外界的微扰十分突然 33. 能量与时间不确定度 不能同时为零。 度，同系统能量的不确定变化快慢的周期此式反映了一个力学量2 此式的一般形式为：确定度关系，可以证明被称为时间－能量的不E t t E h E t ??≥ ??∝?? 34. 能级宽度与谱线宽度 展宽。 一个宽度，这叫能级的所以，所有的能级都有2 由于能量不确定性 ≥??t E k 称为谱线宽度。 , 这叫谱线的展宽 / ) ( 其中， , 该是 谱线的频率应 . 频率范围 一个频率，而是有一个 / ) ( 发出的谱线，就不止 时， 跃迁到 ，所以，当电子从 , 既然能级有展宽，即 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( ν ν ν ν ν ν ν ? ? + ? = ? ? + = ? - = ? + = ? + = - - - - - - h E E h E E E E E E E E E E k k k k k k k k k k k k 35.半经典理论 36吸收，受激辐射，自发辐射 后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结PPT，但是那个PPT只给了考点范围，没 有给概念解释，所以我查阅了PPT，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得， 制作粗糙，请见谅。 本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围 不清楚。祝大家考出满意的成绩。 本人不保留版权，欢迎各位学霸对此资料进修正。