正余弦定理练习题(答案)

正弦定理

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )

A. 6

B. 2

C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )

A ．4 2

B ．4 3

C ．4 6 D.32

3

3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )

A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin

B ∶sin

C 等于( )

A ．1∶5∶6

B ．6∶5∶1

C ．6∶1∶5

D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.

5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )

A ．1 B.12 C ．2 D.1

4

6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b

a

，则△ABC 是( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )

A.32

B.34

C.32或 3

D.34或32 8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2

9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π

3，则A ＝________.

10．在△ABC 中，已知a ＝43

3

，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.

11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．

13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________，c ＝________.

14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c

sin A －2sin B ＋sin C

＝________.

15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1

3，S △ABC ＝43，则b ＝________.

16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为

110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？

18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2

，求A 、B 及b 、c .

19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝3

5，

sin B ＝

10

10

.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．

20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

余弦定理

1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1

3

，那么AC 等于( )

A ．6

B ．2 6

C ．3 6

D ．4 6 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )

A. 3

B. 2

C. 5 D ．2

3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2

＋3bc ，则∠A 等于( )

A ．60°

B ．45°

C ．120°

D ．150°

4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2

)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )

A.π6

B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3

5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．由增加的长度决定

7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →

的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．4

D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )

A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2

9．已知△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．

11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.

13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1

3

，S △ABC ＝43，则b ＝________.

14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →

的值为________．

15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2

4

，则角C ＝________.

16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．

17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2

－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．

18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1

6

sin

C ，求角C 的度数．

19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π

4

)的值．

20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．

正弦定理

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )

A. 6

B. 2

C. 3 D ．2 6

解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B

sin A

＝ 6.

2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )

A ．4 2

B ．4 3

C ．4 6 D.32

3

解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B

sin A

＝4 6.

3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )

A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对

解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2

2

，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.

4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )

A ．1∶5∶6

B ．6∶5∶1

C ．6∶1∶5

D ．不确定

解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.

5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )

A ．1 B.12 C ．2 D.1

4

解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由

b

sin B ＝

c

sin C

得c ＝

2×sin 30°

sin45°

＝1.

6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b

a

，则△ABC 是( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B

sin A

，

sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B

即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π

2.

7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )

A.32

B.34

C.

3

2

或 3 D.

34或32

解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝3

2

，∵AB ＞AC ，

∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.

再由S △ABC ＝1

2

AB ·AC sin A 可求面积．

8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )

A. 6 B ．2 C. 3 D. 2

解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2

sin C

，

∴sin C ＝1

2

.

又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.

9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π

3

，则A ＝________.

解析：由正弦定理得：a sin A ＝c

sin C

，

所以sin A ＝a ·sin C c ＝1

2

.

又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π

6

.

答案：π6

10．在△ABC 中，已知a ＝43

3

，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.

解析：由正弦定理得a sin A ＝b

sin B

?sin B ＝b sin A a ＝4×12433

＝3

2

.

答案：

32

11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.

解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，

由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°

＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 3

12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．

解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得

2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，

即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0.

∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形

13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则

a ＋

b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________，c ＝________.

解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴

1

2

×12×sin60°×c ＝183，

∴c ＝6. 答案：12 6

14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c

sin A －2sin B ＋sin C

＝________.

解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，

∴2R ＝a sin A ＝1

sin30°

＝2，

又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，

∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C

sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2

15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1

3

，S △ABC ＝43，则b ＝________.

解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝1

2

ab sin C ＝43，

解得b ＝2 3.

答案：2 3

16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．

解析：∵b sin C ＝43×1

2

＝23且c ＝2，

∴c

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？

解：在△ABC 中，BC ＝40×1

2

＝20，

∠ABC ＝140°－110°＝30°，

∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得

AC ＝BC ·sin∠ABC sin A

＝20sin30°sin45°

＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.

18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2

，求A 、B 及b 、c .

解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝1

2

，

又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π

6

.

由sin B sin C ＝cos 2

A

2

，得

sin B sin C ＝1

2

[1－cos(B ＋C )]，

即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，

即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，

即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π

6

(舍去)，

A ＝π－(

B ＋

C )＝2π

3.

由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

，得

b ＝

c ＝a sin B

sin A ＝23×123

2

＝2.

故A ＝2π3，B ＝π

6

，b ＝c ＝2.

19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝3

5，

sin B ＝

10

10

.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010

， ∴cos B ＝1－sin 2

B ＝31010

.

又cos 2A ＝1－2sin 2

A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255

，

∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22

.

又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π

4.

(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝2

2.

由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .

∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.

20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

解：由S ＝12ab sin C 得，153＝1

2×603×sin C ，

∴sin C ＝1

2

，∴∠C ＝30°或150°.

又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .

当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.

又∵ab ＝603，a sin A ＝b

sin B

，∴b ＝215.

当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.