初中数学例题：用直接开平方法解一元二次方程

4.（2016春?仙游县月考）求下列x的值

（1）x2﹣25=0

（2）（x+5）2=16．

【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．

【答案与解析】

解：（1）∵x2﹣25=0，

∴x2=25，

∴x=±5．

（2）∵（x+5）2=16，

∴x+5=±4，

∴x=﹣1或﹣9．

【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．

举一反三：

【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：

(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；

(4)-8m2+36=0．

【答案】(1)∵ x2=361，

∴ x=19或x=-19．

(2)∵2y2-72=0，

2y2=72，

y2=36，

∴ y=6或y=-6．

(3)∵5a2-1=0，

5a2=1，

a2=，

∴a=或a=-．

(4)∵-8m2+36=0，

-8m2=-36，

m2=，

∴m=或m=-．

【变式2】解下列方程：

(1)（2015 ?东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；

(2)（2014秋?滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，

∴ 2x+3=5或2x+3=-5．

∴x1=1，x2=-4．

(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，

∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，

∴1﹣2x=±（x﹣3），

∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=4

，x2=﹣2．

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

一元二次方程计算题_解法练习题(四种方法)

一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812 =-x 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3 、9642=-x x 三、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、223 14y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x

四、用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、 x 2+4x -12=0 3、0862=+-x x 4、03072=--x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法) 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、2 260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x

7、()02152 =--x 8、0432=-y y 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 13、22244a b ax x -=- 14、36 31352=+x x 15、()()213=-+y y 16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32 =--+a x a x 18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a （），那么这个数叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得，移项，得，配方, 得，方程左边写成平方式， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3）（4）（5）二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析课题一元二次方程章节复习及典型例题解析学习目标与考点分析学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用考点分析：1一元二次方程的定义、解法、及根与系数的关系学习重点理解并掌握一元二次方程的概念及解法学习方法讲练说相结合学习内容与过程一回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握）一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的解法(直接开平方法)

用直接开平法解一元二次方程学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。重点：用用直接开平方法解一元二次方程；难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解；教学过程：一、检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。（1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。（2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。三、新课讲解例1：解下列方程（1）x 2＝4；（2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程（1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程：（1）12y 2－25＝0；（2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习

1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程（1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言）六、小测解下列方程（1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。

一元二次方程概念和解法测试题

一元二次方程概念与解法测试题姓名：得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是。 1．把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程；当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（）；（A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（）（A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法（C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法．难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.

2221直接开平方法解一元一次方程

22.2.1 直接开平方法解一元一次方程学习目标 1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x－1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2－9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x－1)2－9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．

归纳：如果方程能化成的形式，那么可得活动2 知识运用课堂训练例1用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2－24n+16=11 练习：（1）2x2－8=0 （2）9x2－5=3 （3）(x+6)2－9=0 （4）3(x－1)2－6=0 （5）x2－4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2－1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活动3 归纳内化应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．

一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？ 6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？ 7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。 3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？

5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. （三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？ (2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

因式分解法、直接开平方法(2)

第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2）主备人备课时间集体修订时间课型新授课授课人许大精授课时间教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。知识与能力：通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生观察、类比、转化的思维能力．情感态度价值观：通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。教学难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学课时：1课时教学方法：自主、合作、探究教学媒体：多媒体教学过程：（一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，

若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ；若x2=2，则x= 。答案：平方根，±，±2，±。（二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。（四）讲解例题展示课本P．7例1，例2。按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；

一元二次方程经典考题难题

一元二次方程经典考题难题用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x

1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程

《一元二次方程》典型例题及解析

《一元二次方程》典型例题一例指出下列方程中哪些是一元二次方程？（1）)12(3652+=+x x x （2）x x =28 （3）532=x （4）y x 342= （5）02=-x （6）24)3()15(x x x x x ++=- 解：（1）整理得：x x x 366522+=+ 移项，合并得：0632=-+x x ∴ 是一元二次方程（2）移项得：082=-x x ∴ 是一元二次方程（3）532=x ∵方程的分母中含有未知数 ∴它不是一元二次方程（4）0342 =-y x ∵ 方程中含有两个未知数 ∴ 它不是一元二次方程（5）02=-x ∵01≠-=a ∴它是一元二次方程（6）整理得：222435x x x x x ++=- 移次，合并得：04=x ∵二次项系数合并后为0 ∴它不是一元二次方程说明：对方程要先进行整理，然后再根据条件： ①整式方程 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数为2

只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．《一元二次方程》典型例题二例若032 2=-+-p p x px 是关于x 的一元二次方程，则（）. (A) p 为任意实数 (B ) 0=p (C) 0≠p ( D) 0=p 或1 分析与解：显然方程0322=-+-p p x px 是关于x 的整式方程，且方程中含有一个未知数x ，若想让它满足一元二次方程的定义，需使未知数的最高次数为2的系数0≠p ，故应选（C ）．《一元二次方程》典型例题三例关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 是不是一元二次方程？分析：此方程是不是一元二次方程，可直接根据定义判断，看它是否同时满足一元二次方程定义的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.观察方程易知它已满足(1)、（2）两条，能否满足条件：解：.032212? ??≠-+=+m m m 由于1=m 时，0322=-+m m 所以不存在m 的值同时满足且21=+m 0 322≠-+m m 故关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 不是一元二次方程. 《一元二次方程》典型例题四例把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项系数，一次项系数及常数项．（1）x x 352 = （2）03)12(2=-+-x x

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)

? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；【（3）26(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2 ．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；

2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（ 12. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；

一元二次方程经典例题集锦有答案

一元二次方程经典例题集锦一、一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （5,521-==x x ）（13 22,135621== x x ）（5）（4）0)31(2 =-m （6） 85 )13(22 =+x （021==m m ）（3521±-=x ） 2．配方法解方程：（3）（1）0522=-+x x （2）0152=++y y （3）3422-=-y y （61±-=x ）（2215±-= x ）（2101±=y ） 3．公式法解下列方程：（1）2632-=x x （2）p p 3232=+ （3）y y 1172= （333±= x ）（321==p p ）（0,71121==y y ）（4）2592-=n n （5）3)12)(2(2---=+x x x （2 153±= x ） 4．因式分解法解下列方程：

（1）094 12=-x （2）04542=-+y y （3）031082=-+x x （6±=x ）（5,921=-=y y ）（23,4121-== x x ）（4）02172=-x x （5）6223362-=-x x x （3,021==x x ）（32,2321== x x ）（6）1)5(2)5(2--=-x x （7）08)3(2)3(222=-+-+x x x （621==x x ）（1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+- （3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （227±=x ）（262±=m ）（5 3,221==x x ）（4）3 )13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x （2,2321==y y ）（2 3,102721==x x ） 6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x

(精品)一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程典型例题整理版专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

21.2解一元二次方程——直接开平方法的教学设计

教学设计案例 21.2 解一元二次方程第1课时直接开平方法一、内容和内容解析（1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程（2）内容解析：一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。二、目标和目标解析 1.目标： (1)理解一元二次方程降次的转化思想 (2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程． 2.目标解析达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。三、教学问题诊断分析在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。

一元二次方程解法(知识点和经典例题)

一元二次方程知识要点 1 ?方程中只含有 _个未知数，并且整理后未知数的最高次数是这样的__________ 方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式（a 、b、c、为常数，a_」。 2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的__________ 的平方，而另一边是一个 ________ 时，可以根据 ________ 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c o a 0的一般步骤是： ①化二次项系数为 ____ ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 ______ 项和_______ 项，右边为______ 项； ③配方，即方程两边都加上 _________________ 的平方； ④化原方程为（x m）2 n的形式，如果n是非负数，即n 0,就可以用_____________ 法求出方程的解。如果n v O,则原方程_______ 。（3）公式法：方程ax2 bx c 0（a ______________ 0），当b2 4ac 0 时，x = （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为_______ ; ②将方程的左边化成两个_____ 的乘积； ③令每个因式都等于______ ，得到两个_________ 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3. 一元二次方程的根的判别式 (1) b24ac >0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0有两个的实数根即x,x2 (2) b24ac =0 一兀二次方程有两个的实数根，即xi X2 , (3) b24ac <0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0 实数根。 4.元 —二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程ax2 bx c 0(a0）的两根为X i,X2，则% x2，x-i x2

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明. 一、面积问题：例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（） A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644 C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356 二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？四、储蓄问题例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）五、情景对话类例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

初中数学解一元二次方程直接开平方法一

初中数学解一元二次方程直接开平方法讲义一 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x2＝9；

(2)(x ＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得 x 2＝ 94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32 ，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝ 2或x ＋3＝－ 2. ∴原方程的解是x 1＝ 2－3，x 2＝－ 2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝ a ，x 2＝－a . 初中【类型二】直接开平方法的应用 (2014·山东济宁中考)若一元二次方程 ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是 m ＋1与2m －4，则b a ＝________.

解析：∵ax2＝b，∴x＝±b a，∴方程的两个根互为相反数，∴ m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a＝2，∴ b a＝4，故答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【类型四】直接开平方法的实际应用