6最简二次根式
课题名称： 16.2 最简二次根式
班别 姓名
【学习目标】掌握最简二次根式的概念，并懂得把一个根式化为最简二次根式。
【自学提要】 阅读教材 P 9 页（关键处、疑难处做好标记）
【学习过程】
1. 最简二次根式:观察下面的式子，了解最简二次根式应满足的条件。
22、 103、 a
a 2 （1）被开方数 分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的 或______ 符合上述两个条件的根式叫做最简二次根式。 2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．
32 B 。x
1
C 。y x +
D 。3x 3、指出下列各根式中哪些是最简二次根式。
（1
（2 （
3
（4
（5最简二次根式有（填代号）_______________________________________________________
4、把下列各式化成最简二次根式。
8)1( 12)2( 18)3(
（4
32)5(
（6 54)7(
（8
5、把下列各式化成最简二次根式。
（1
（2 （
3 （4）
6、设长方形的面积为S
，相邻两边分别为a,b 已知S=b=10，求a 。
【巩固练习】
7、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（
） A
B
C
D 8、下列二次根式中，最简二次根式是（
） A
B
C
D
9
【课堂小结】最简二次根式应满足的两个条件：
①被开方数 分母；
②被开方数中不含能开得尽方的 或______
注：在进行二次根式的化简与计算时，其结果必须化成最简二次根式。
【课外作业】《南方新课堂》P12必做题：课时达标
选做题：能力展示、尝试提高【拓展提高】
10、
能化简吗？请同学们试试看。
11、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫
做同类二次根式
（1
）
1
（2
）
A
B
C
D
（3
a的值可以是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【课堂检测】6
班别：姓名：
1
）
Ａ．2Ｂ．4
Ｃ．
Ｄ．±
2、下列根式中是最简二次根式的是（）．
A
B
C
D
3、下列根式中不是最简二次根式的是（）．
A．2B．6C．8D．10
4、把下列各式化成最简二次根式。
（1）
（2
（3
（4
最简二次根式练习---含答案
最简二次根式练习---含答案
最简二次根式基础练习 一、填空题： 1．把下列二次根式化成最简二次根式． （1）120＝________；（2）27 ＝________； （3） 8 11 ＝________；（4） 4 12＝________； （5）84 ＝________；（6）250＝________； （7）24＝________； （8）8＝________；
2．若 3 ≈1.732，则27 1 21≈__（保留三个有效 数字）． 3．设x ＜0，则 x 8 ＝_________． 4．下列二次根式a 45， 30， 2 12，2 40b ， 54中是最简二次根式有________． 二、选择题 1．在二次根式72，3 5a ，3， 9， 2 x 中，最简二次根式的个数是（ ）．
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列各式中是最简二次根式的是（ ）． A ．1984 B ．21 C ．a D ．1 3．下列各式中，不是最简二次根式的是（ ）． A ．30 B ．x x +2 C ．1+x D ．363 4．下列计算中正确的是（ ）．
A ． 6312 1= B ． 32 94=-- C ．2322188+=+ D ．2281= 5．如果09|2|=-+-y x ，则 )1(+x y ＝（ ）． A ．33 B ．33± C ．33- D ．23 6．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A ． 21+a B ．12 +a C ．ab 4 D ．b a 2 7．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
二次根式的运算法则(讲义)
二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下 列问题： （1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． （2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练
二次根式的性质及运算.
一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念： 一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）． ︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2） 上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号 二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝； －()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷； （7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)； （9 ）（ （10 ）（ （11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()
三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（ ） （A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（ ） （A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（ ） （A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（ ） （A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（ ） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（ ）． A C ．19.在实数范围内因式分解： （1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结 綦江县赶水中学 李开铜（401437） 最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下： 一、最简二次根式的判别方法 1．被开方数不能含有开得尽方的因数 例1:化简363 温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121. 解：原式 =31131131212=?=?. 2．被开方数不能含有小数或分数 例2:化简：(1).315)2(;72.0 温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.253100 7210072==(2) 原式 =.33433316316=??= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式 例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4 . 解：原式4xy = 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式. 二、同类二次根式的判别方法 判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1）18，3 1； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同. 解：（1）2318=，3 1=331，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与3 1不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式. 例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？ 27 1,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式. 同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片!
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
八年级数学二次根式的混合运算
二次根式的混合运算（1） 教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。 重点：二次根式的加减乘混合运算。 难点：运算法则的综合运用。 关键：掌握混合运算顺序和步骤。 教学过程： 复习提问： 1．叙述二次根式加减法的两个步骤。 2．填空：当a ≥0，b ≥0时，________=?b a ； 3．叙述单项式乘以多项式运算顺序； 4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。 二次根式的乘法：ab b a = ?（a ≥0，b ≥0） 二次根式的除法：b a b a = （a ≥0，b>0） 新课： 形如a 的式子，a 表示什么？a 需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a ≥0时， a 表示a 的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a ；当a<0时，a 无意义。 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。 有如下性质： （1）) 0(0≥≥a a a 表示非负数且被开方数a 必须大于等于零 （2） )0()(2 ≥=a a a ； （3） |a |a 2=； 2a 表示2a 的算术平方根，若0x ,a x 2 2≥=， 则2a x = 如当a=2，-3，-0.1时，
22,22222==； 3)3(,)3(3222=--=； 1.0)1.0(,)1.0(1.0222=--=。 所以x=|a|，即 |a |a 2= 例1计算： （1）6)3527 8 (?- 解：6)3569 2 ( -= 2153 4 -= 。 （2）)3225)(65(-+ 解：26310310225-+-= 219=。 例2计算： （1）)2332)(2332(-+； （2）2 )534(+； （3）2 )336(-。 解：（1）原式2 2)23()32(-= =12-18 =-6； （2）原式2 2)53(53424+?-+=
最简二次根式教学设计示例3
最简二次根式教学设计示例3 一、教学目标1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式．2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用．二、教学重点和难点1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式．2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法．三、教学方法通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法．四、教学手段利用投影仪．五、教学过程(一)引入新课提出问题：如果一个正方形的面积是0。5m2，那么它的边长是多少？能不能求出它的近似值？了．这样会给解决实际问题带来方便．(二)新课由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数．总结满足什么样的条件是最简二次根式．即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：1．被开方数的因数是整数，因式是整式．2．被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式．例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么．分析：说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式．前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式．例 2 把下列各式化成最简二次根式：说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．例3 把下列各式化简成最简二次根式：说明：1。引导学生观察例题3中二次根式的特点，即被开方数是分数或分式，再启发学生总结这类题化简的方法，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．2。要提问学生问题，通过这个小题使学生明确如何使用化简中的条件．通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况，并引导学生小结应该注意的问题．注意：①化简时，一般需要把被开方数分解因数或分解因式．②当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母进行有理化．(三)小结1．满足什么条件的根式是最简二次根式．2．把一个二次根式化成最简二次根式的主要方法．(四)练习
最新二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35
16.2.3二次根式的运算
16.2.3二次根式的运算 1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点) 一、情境导入 计算： (1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2. 上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目： 计算： (1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？ 二、合作探究 探究点一：同类二次根式 下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B. 32 C.23 D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B 中， 32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D. 方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：二次根式的加减 【类型一】 二次根式的加法或减法 (1)8＋32； (2)12 23＋1332； (3)448－375； (4)1816－32 96. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63 ； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；
6最简二次根式
课题名称： 16.2 最简二次根式 班别 姓名 【学习目标】掌握最简二次根式的概念，并懂得把一个根式化为最简二次根式。 【自学提要】 阅读教材 P 9 页（关键处、疑难处做好标记） 【学习过程】 1. 最简二次根式:观察下面的式子，了解最简二次根式应满足的条件。 22、 103、 a a 2 （1）被开方数 分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的 或______ 符合上述两个条件的根式叫做最简二次根式。 2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ． 32 B 。x 1 C 。y x + D 。3x 3、指出下列各根式中哪些是最简二次根式。 （1 （2 （ 3 （4 （5最简二次根式有（填代号）_______________________________________________________ 4、把下列各式化成最简二次根式。 8)1( 12)2( 18)3( （4 32)5( （6 54)7( （8 5、把下列各式化成最简二次根式。 （1 （2 （ 3 （4） 6、设长方形的面积为S ，相邻两边分别为a,b 已知S=b=10，求a 。 【巩固练习】 7、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A B C D 8、下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 9 【课堂小结】最简二次根式应满足的两个条件： ①被开方数 分母； ②被开方数中不含能开得尽方的 或______ 注：在进行二次根式的化简与计算时，其结果必须化成最简二次根式。
【课外作业】《南方新课堂》P12必做题：课时达标 选做题：能力展示、尝试提高【拓展提高】 10、 能化简吗？请同学们试试看。 11、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫 做同类二次根式 （1 ） 1 （2 ） A B C D （3 a的值可以是（） A．5 B．6 C．7 D．8 【课堂检测】6 班别：姓名： 1 ） Ａ．2Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．± 2、下列根式中是最简二次根式的是（）． A B C D 3、下列根式中不是最简二次根式的是（）． A．2B．6C．8D．10 4、把下列各式化成最简二次根式。 （1） （2 （3 （4
二次根式计算专题训练
二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．
15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想= ； （2）计算： （++…+）×（）
如何化为最简二次根式
如何化为最简二次根式 最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？ 一、被开方数是整数或整数的积 例1 化简：（1）162；（2）7532?. 解：（1）原式=281?=292?=292?=29； （2）原式=325216???=65422??=25422??=620. 温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简. 二、被开方数是数的和差 例2 化简：2 2)21 ()23 (+. 解：原式=4149+=410=102 1. 温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简. 三、被开方数是含字母的整式 例3 化简：（1）3418y x ；（2）3222b ab b a ++. 解：（1）原式=y y x ????2)(32222=y y x 232； （2）原式=)2(22b ab a b ++=2)(b a b +=b b a )(+. 温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为2)(m a 或a a m ?2 )(的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号. 四、被开方数是分式或分式的和差 例4 化简：（1）b a x 2383；（2）y x x y +. 解：（1）原式= b b a b x 282323??=222246b a bx x ?=bx a b x 62； （2）原式=xy y x 2 2+=2222)(y x xy y x +=)(122y x xy xy +. 温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方
二次根式的概念及其化简教案
2．7二次根式 第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1．理解二次根式概念及性质． 2．会用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)进行二次根式的化简运算． 【学习重点】 二次根式乘除法法则． 【学习难点】 二次根式乘除法法则的灵活运用． 学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 说明：学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导．情景导入生成问题
观察下列代数式： 5，11，7.2，49 121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)． 这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？ 【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点，为给二次根式下定义做好准备．【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数． 二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！ 自学互研生成能力 知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根 先阅读教材第41页“做一做”的内容，然后完成下面的问题． 做一做： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ 4×9＝________，4×9＝________； 4 9＝________，4 9 ＝________； 25 49＝________，25 49 ＝________； (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流． 6×7与6×7，6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)．即积的算术平方根，等于各个因式算术平 方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根．注意：a、b的取值范围不能忽略． 知识模块二二次根式的化简 先独立完成下面例1的化简，然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解．例1：化简： (1)81×64；(2)25×6；(3)5 9.
二次根式的概念及运算
二次根式的概念及运算 二次根式 形如()0a a ≥的式子． 二次根式有意义 被开方数大于等于零（即若a 有意义，则0a ≥） 【例1】 1当x 取何值时，下列式子有意义？ ⑴2x - ⑵2x - ⑶2 x - ⑷213x x ++- ⑸1x - ⑹x 模块一 二次根式的概念 知识导航 知识互联网 夯实基础
2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值． 3 设3 1221 x x y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围. ①0(0)a a ≥≥ ②2 ()(0)a a a =≥ ③（必考）2a a a a ?==?-?() ( )00a a <≥ 【例2】 化简下列各式 ⑴ ( ) 2 25 - ⑵ () 2 3a - 能力提升 夯实基础 知识导航 题型二 二次根式的性质
【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：() 2 2a a c c b b -++---的结果为________ ⑵已知01a <<，化简2 2 1144a a a a ??? ?-+++- ? ????? ⑶化简( ) 2 2 412912x x x -+- -得( ) A. 2 B.44x -- C.2- D.44x - ⑷若()2 2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ． ⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ． 16 D ． 以上答案均不对 ⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=， 求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值. 乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化： (0,0)a a a b b b =>≥ 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识导航 模块三 二次根式的运算 c a
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算
B A C 授课人： 授课时间： 教学内容：最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简 运算． 年级：九年级 教学目标： 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求 二次备课 教学重点：最简二次根式的运用． 教学难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程：一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1） 35，（2）3227，（3）82a 老师点评：3 5=155，3227=63，82a =2a a 自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．） 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 5312; (2) 2442x y x y +; (3) 238x y 合探2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的 长． AB=222.56+=25 16916913()362424 +====6.5（cm ） 因此AB 的长为6.5cm ． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21) ?--=-+-=2-1， 132+=1(32)3232(32)(32) ?--=-+-=3-2，
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题——30题(教师版含答案) https://www.360docs.net/doc/1f12717183.html,work Information Technology Company.2020YEAR
二次根式计算专题 1．计算：⑴ ()() 24632463+- ⑵ 20(3)(3)2732π++-+- 【答案】(1)22; (2) 643- 【解析】 试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案. (2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) ()() 24632463+- 22(36)(42)=- =54－32 =22. （2）20(3)(3)2732π++-+- 313323=+-+- 643=- 考点: 实数的混合运算. 2．计算（1） ﹣ × （2）（6 ﹣2x ）÷3 ． 【答案】（1）1；（2）1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：2051 1235 +2553 235 += 32=- 1=； （2）1(6 2)34x x x ÷62)3x x x x =÷
=÷ = 1 3 =. 考点: 二次根式的混合运算. 3 ．计算：? ÷ ? 【答案】14 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法． 试题解析： ? ÷ ? ÷= 14 3 =．考点：二次根式运算． 4．计算：3 2 2 6 6 3- + - ? 【答案】2 2. 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减. 试题解析：原式=2 3 3 2 3- + - =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算：)2 3 (3 18 2+ - ? 【答案】- 【解析】
(完整版)16.2最简二次根式教案
课型: 新授课 上课时间： 课时： 1 学习内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 学习目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 学习过程 一、 自主学习 （一）复习引入 1．计算（1）35== ，（2）3227==，（3）82a == 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，?那么它们的 传播半径的比是_________． （二）、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 1 222Rh Rh ==1211222 22h h Rh h Rh h ==. 例 1．化简：(1) 5312; (2) 2442x y x y +; (3) 23 8x y == == == 例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长． 二、巩固练习 教材练习 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21) ?--=-+-=2-1， 132+=1(32)3232(32)(32) ?--=-+-=3-2， 同理可得：143 +=4-3，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 121++132++143++……120022001+）（2002+1）的值． == 2、归纳小结 （1）．重点：最简二次根式的运用． （2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 四、课堂检测 （一）、选择题 1．将x y （y>0）化为最简二次根式是（ ）． A ．x y （y>0） B ．xy （y>0） C ．xy y （y>0） D ．以上都不对 2．把（a-111 a --中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A 1a -1a -．1a -．1a - 33227 -的结果是（ ） A ．-23 B ．3 C ．-63 D ．2 二、填空题 1422x x y +．（x ≥0） 2．21a a +- 化简二次根式号后的结果是_________． 三、综合提高题
二次根式的化简与计算(讲义及答案)
二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．
做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???