大学物理实验电子书(一)

绪论

物理实验的地位和作用

实验是人们认识自然规律、改造客观世界的基本手段。借助于实验，人们可以突破感官的限制，扩展认识的境界，揭示事物的内在联系。近代科学历史表明，自然科学领域内的所有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。随着科学技术的发展，实验的运用日益广泛和复杂，实验的精确程度越来越高，实验环节在科学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。

物理实验是科学实验的重要组成部分之一。物理实验本质上是一门实验科学。在物理学的发展中一直起着重要的作用。物理概念的确立、物理规律的发展、物理理论的建立都有赖于物理实验，并受物理实验的检验。物理学是一切自然科学的基础，人类文明史上的每次重大的技术革命都是以物理学的进步为先导的，物理实验在其中起着独特的作用。如，法拉第等人进行电磁学的实验研究促使了电磁学的产生与发展，导致了电力技术与无线电技术的诞生，形成了电力与电子工业；放射性实验的研究和发展导致原子核科学的诞生与核能的运用，使人类进入了原子能时代；固体物理实验的研究和发展导致晶体管与集成电路的问世，进而形成了强大的微电子工业与计算机产业，使人类步入信息时代。

当今科学技术的发展以学科互相渗透、交叉与综合为特征。物理实验作为有力的工具，其构思、方法和技术与其他学科的相互结合已经取得巨大的成果。不容置疑，今后在探索和开拓新的科技领域中，物理实验仍然是有力的工具。

物理实验的任务和目的

物理实验是对工科学生进行科学实验基本训练的一门独立的必修基础课程，是学生进入大学后受到系统实验方法和实验技能训练的开端，是工科类专业对学生进行科学实验训练的重要基础。

本课程的具体任务是：

（1）通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解。

（2）培养与提高学生的科学实验能力。其中包括：

① 能够自行阅读实验教材或资料，作好实验前的准备。

② 能够借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器。

③ 能够运用物理学理论对实验现象进行初步分析判断。

④ 能够正确记录和处理实验数据，绘制曲线，说明实验结果，撰写合格的实验报告。

⑤ 能够完成简单的设计性实验。

（3）培养与提高学生的科学实验素养。要求学生具有理论联系实际和实事求是的科学态度，严肃认真的工作作风，主动研究的探索精神和遵守纪律、爱护公共财产的优良品德。

物理实验课的基本程序

物理实验多数是测量某一物理量的数值，也有研究某一物理量随另一物理量变化的规律性。对同一物理量虽可用不同方法来测定，但是，无论实验内容如何，也不论采用哪一种实验方法，物理实验课的基本程序大都相同,一般分为如下三个阶段：

实验课前的预习

由于实验课时间有限，而熟悉仪器和测量数据的任务比较重，因此必须在实验课前认真预习实验课本，明确实验的目的和实验的基本原理，了解实验的内容和基本方法。预习时，应以理解所述原理为主，其次是明确实验目的和要求。对于实验过程的具体要求只作粗略了解，以便能抓住实验的关键。为了使测量结果一目了然，防止漏测数据，预习时应根据实验要求在记录纸上画好数据表格（表格的画法请参见节列表法）。在达到预习要求的基础上，要求写好预习报告（统一写在实验报告纸上），其内容包括：

（1）实验名称。

（2）实验目的。

（3）实验原理（只要求写出原理摘要）。

（4）实验仪器的概述。

（5）实验内容（概要地写出主要内容和步骤）。

（6）注意事项（只写需要特别注意的事项）。

进行实验

先对照课本了解仪器的结构原理和使用方法，再将仪器安装调试好，或开始接线，准备就绪后开始测量或观察。

测量时，应按有效数字规则读数和记录数据，其位数不能任意增减。

实验数据应经教师审阅认可，否则应重做或补做。

撰写报告

在原预习报告的基础上充实以下几部分内容：

（1）数据记录与处理（包括记录表格、误差估算及最后结果的表示等，运算步骤应完整，并注意有效数字）。

（2）误差分析和问题讨论等。

问题讨论中，包括回答实验思考题，分析实验中观察到的异常现象，以及对实验课的意见、建议等。

实验报告是实验工作的书面总结，也是今后书写科研论文的基础，应保持字迹端正、书写整洁、条理清楚、内容正确和完整。

如实验报告不符合要求，教师可要求学生重写。

上 篇

1 物理实验的基础知识（上）

测量、误差、不确定度

测量与误差

1）测量

物理实验是将物质的运动形态按人们的意愿在一定的实验条件下再现，以找出各物理量间的关系，确定它们的数值大小，从中获取规律性认识的过程。而要在实验中得到这种定量化的认识，测量是必不可少的。

测量从本质上讲是人们对自然界中的客体获取数量概念的一种认识过程。这一过程，总是通过一定的实验者，运用一定的方法，使用一定的仪器实现的。在测量过程中，为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位，然后将待测量与这个单位进行比较，得到比值（倍数）即为测量值的数值。显然，数值的大小与所选的单位有关，因此表示一测量值数值时必须附以单位。

2）直接测量与间接测量

所谓直接测量就是将待测量与预先选定好的仪器、量具比较，直接从仪器上读出测量量的大小。例如，用米尺测长度，用天平测质量，用电流表测电流等。

应该指出的是，能直接测量的物理量并不多。对大多数物理量来说，没有可供直接进行测量、读数用的仪器。只能用间接的方法进行测量，即将待测量表示成另外几个可直接测量量的函数。根据可直接测量的物理量的测量值通过一定的函数运算，最终计算出待测量。这样的一类测量称为间接测量。例如，直接测量出铜柱体的高h 和直径d ，便可间接测出其体积2/4V d h π=。如再直接测出其质量m ，便又可间接测出其密度24m m V d h

ρπ=

=。 3）真值与误差

一个待测的物理量，客观上在一定条件下都有一定的大小，我们称之为“真值”。显然，我们测量的目的也正是为了寻求这一真值。但具体的测量由于总要使用一定的仪器，通过一定的方法，在一定的环境条件下，由一定的观测者去完成，而仪器、方法、环境和测量者都不可能是尽善尽美，没有缺陷的。因此，得到的测量值和真值之间总不可避免地存在着或多或少的差异．这种差异就是所谓的误差。

如果用A 表示待测量的真值，X 表示具体的测量值，则可将测量的误差?X 表示为 X X A ?=- （1）

测量得到的一切值，都毫无例外地存在误差，误差存在于一切测量之中，而且贯穿于测

量过程的始末。在误差无法避免的情况下，我们所做的工作应该是：

第一，尽量设法减小测量中的误差；

第二，找到在同一测量条件下，最接近于真值的最佳近似值；

第三，估计最佳值的可靠程度或者说明一个值域范围内包含真值的可能程度。

4）误差的分类

根据误差形成的不同原因及表现出的不同特性通常将其分为系统误差、随机误差和过失误差三类。

（1）系统误差。在一定的实验条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的绝对值和符号总保持不变或总按某一特定的规律变化，这一类误差称为系统误差。

系统误差的产生原因可归结为以下几个方面：

① 仪器本身的缺陷。如刻度不准确，零点未校准，仪器未按要求调到最佳测量状态等。

② 理论与方法上的不完善。例如，用伏安法测电阻没有考虑电表内阻的影响，进行热学实验时有热量的散失等。

③ 外界环境因素的影响。例如，金属尺的热胀冷缩，标准电池的电动势随温度的改变而发生变化。

④ 测量者的习惯和偏向。例如，有的测量者习惯于侧坐斜视读数，有的在记录信号时总是偏快等。

系统误差的发现、减小或修正是一项重要的实验课题，对于广大学生来说，则是需要通过具体的实验训练逐步培养的一种重要的实验技能。原则上讲，系统误差的分析处理可以根据具体情况在实验前、实验中或实验后进行。例如，实验前选择合适的测量方法，对测量仪器进行校准；在实验中可采取一定的方法和手段使测量中的系统误差消除或减小；在实验测量后可对实验值进行理论修正等。关于系统误差知识的较详细的介绍，请参阅本教材下篇“物理实验的基础知识（下）”。

（2）随机误差。在相同的条件下，多次测量同一物理量时误差时大时小，时正时负，以一种不可预定的方式随机变化着，这类误差称为随机误差。它是由一系列随机的、不确定的因素所形成的。

例如：

① 人的感官判断力的随机性，在测量与读数时总难免存在时大时小的偏差。

② 外界因素的起伏不定，如温度的或高或低，电源电压的不稳定等。

③ 仪器内部存在的一些偶然因素，如零部件配合的不稳定等。

在实验过程中，上述因素往往混杂出现，难以预知，难以控制，所以，对待随机误差，不可能像对系统误差那样，找出原因，一一加以分析处理。

习惯上，随机误差又被称为“偶然误差”，但在理解这一概念时要注意，所谓随机误差（偶然误差）仅仅是指在某一次具体的测量中，其误差的大小与正负带有偶然性（随机性），而不能理解为在测量过程中，这类误差只是偶然出现的，也不能理解为“随机误差是完全偶然的，随机性的，没有什么规律可循”。事实上，当测量次数充分多时，随机误差必然显示出其特有的规律性。这一问题，我们将在下一节中讨论。

（3）过失误差。过失误差又称为粗大误差。它是由于不正确地使用仪器，粗心大意．观

察错误或记错数据等不正常情况引起的误差。只要实验者有严肃认真的科学态度，一丝不苟的工作作风，过失误差是可以避免的，即使不小心出现了，也应能在分析后立即予以剔除。

5）精密度、正确度和精确度

为了能正确评价实验中测量结果的好坏，可引入精密度、正确度和精确度这三个概念。

（1）精密度——表示重复测量所得的各测量值相互接近的程度，它描述了测量结果的重复性的优劣，反映了测量中随机误差的大小，所谓测量精密度高，就是指测量数据的离散性小，即随机误差小（但系统误差的大小不明确）。

（2）正确度——表示测量结果与真值相接近的程度，它描述了测量结果的正确性的高低，反映了测量中系统误差的大小程度，所谓测量的正确度高就是指最后的测量结果与真值的偏差小，即系统误差小（但随机误差的大小不确定）。

（3）精确度——是对测量结果的精密性与正确性的综合评定，因而反映了总的误差情况，所谓测量的精确度高，就是指测量值集中于真值附近，即测量的随机误差与系统误差都较小。

图1－1所示子弹打靶时的着弹点的分布情况可形象地说明上述三个量的意义。

图1－1

图（a）表明数据的精密度高，但正确度低，相当于随机误差小而系统误差大；图（b）则表示数据的正确度高而精密度低，即系统误差小而随机误差大；图（c）则代表精密度和正确度都较高，即精确度高，总误差小。

直接测量的结果及不确定度的分析

在直接对一个物理量进行测量时，测量值中往往同时存在系统误差和随机误差。在本节中，我们将首先讨论随机误差的分析方法，然后引入不确定度的概念并说明如何表示直接测量的结果。

1）随机误差的统计规律

如前所述，就每一次测量而言，其随机误差

的大小和符号都是不可预知的，具有“偶然性”

或“随机性”。但理论和实践都证明，如果对某

一物理量在同一条件下进行多次测量，则当测量

次数足够多时，这一组等精度测量数据（称为一

个测量列）其随机误差一般服从如图1—2所示的

统计规律，图中横坐标表示误差X

?，纵坐标表示

一个与该误差出现的几率相关的几率密度函数()

?。图１-2

f X

可以证明：

22

()/2

()X

f Xσ

-?

?=

这种分布称为正态分布（高斯分布），其中的σ为分布函数的特征量，其值为

σ=

服从正态分布的随机误差具有以下一些特征：

（1）单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的出现的概率大。

（2）对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。

（3）有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定限度。

（4）抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向于零。即

1

1

lim0

n

i

n

i

X

n

→∞

=

?=

∑

2）测量结果的最佳值——算术平均值

在测量不可避免地存在随机误差的情况下，每次测量值各有差异，那么，怎样的测量值是最接近于真值的最佳值呢

我们可以利用上面所讨论的随机误差的统计规律来分析怎样确定测量结果的最佳值。

设对某一物理量进行了n次等精度测量，得到的测量列为

12n

X X X

、、。设测量中的系统误差可忽略，每次测量的随机误差分别为

11

X X A

?=-

22

X X A

?=-

n n

X X A

?=-

则

11

11

n n

i i

i i

X X A

n n

==

?=-

∑∑

上式中的

1

i

X

n

∑显然为n次测量值的算术平均值X，即

1

1n

i

i

X X

n

=

=∑（3）按随机误差的抵偿性，n→∞时，

1

i

X

n

?→

∑，因此X A

→，由此可见，在测量次数充分多时测量列的算术平均值趋向于真值。所以，在相同条件下进行多次测量后，我们总是取测量列的算术平均值作为测量列的最佳近似值（最佳值），因为，从统计上讲，测量列的

算术平均值X比任何一个测量值

i

X更接近于真值A。

此结论也适用于随机误差遵从其他分布规律的情况。

3）多次测量的随机误差估计

当我们在相同条件下对同一物理量进行了n次测量后，我们已经得到了真值的最佳近似值——算术平均值。那么，应如何表示测量中的随机误差呢目前，最通用的方法是采用与随机误差的正态分布函数密切相关的“标准误差”来表示随机误差。

现在让我们来分析式（2）中的特征量σ的物理意义。 图1－3表示的是不同σ值时()f x ?图线。由图可

见，σ值小，则曲线较陡，说明这组测量数据的分散性

小，重复性好；而σ值大，则曲线较平坦．分布较宽，

说明测量数据的重复性差。

由此可见，这一特征量可用来反映一组测量数据的

重复性的好坏（精密度的高低），即随机误差的大小，故

将σ定义为这组测量列的标准误差。其值为

221

1

()()n n i i i i X X A n n σ==?-==∑∑ （4）

应该指出，标准误差σ和各测量值的误差i X ?有着完全不同的意义，σ并不是一个具体的测量的误差值，而是一个统计性的特征量。当测量列的标准误差为σ时，该测量列中各测量值的误差很可能都不等于σ，但可以证明，该测量列中任一测量值的随机误差落在(,)σσ-区间内的几率为68．3%。

还应该指出的是，在实际测量中，真值是无法确知的，我们只能用多次测量的算术平均值X 来近似地代表真值A 。因而只能用各测量值与算术平均值之差i i V X X =-（称为残差）来估计误差。

可以证明，在这种情况下，测量列的标准误差公式应修改为

2

2

1()11n

i i i X X V n n σ=-=--∑∑＝ （5）

上式表示的是一测量列中各测量值所对应的标准误差，那么各测量值的算术平均值X 的随机误差如何估算呢如前所述，从统计上讲X 应比每一个测量值i X 都更接近于真值，应用误差理论可以证明，算术平均值X 的随机误差X σ为

2

1()(1)n

i i X X X n n n σ=-==-∑ （6）

注意，X σ也是一个统计性的特征量，它表示X 在(,)X X A A σσ-+区间内的几率为%。 由上式可知，随着测量次数n 的增加，X σ将减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减少随机误差的意义所在。但在10n >后，X σ变化很慢，所以，测量次数过多也没有多少实际意义，综合各种因素考虑，在我们的实验中一般取610n ≤≤。

4）单次测量的误差估计

在实际测量中，经常会遇到没有必要或不可能对某一被测物理量进行多次测量的情况，这时我们就对待测量进行单次测量。

单次测量没有测量列，没有算术平均值，我们只能将这一测量值本身作为真值的近似值。

同时，单次测量也不存在所谓数据的发散性问题，但这绝不意味着单次测量不存在误差。事实上，单次测量的误差与所用仪器的精度，测量者的实验技能等均有关系，当作粗略估计时常取仪器的最大误差?仪们作为单次测量的误差估计值。

所谓仪器的最大误差?仪就是指在正确使用仪器的条件下，测量值的最大误差，它一般同时包含着系统误差与随机误差两种成分。

一般的计量仪器上都标明了仪器的“准确度级

别”，它通常是由制造工厂和计量机构使图1-3用

更精确的仪器、量具经过检定比较后得出的，在测

量时可根据准确度的级别推算出仪器的最大误差

?仪（具体内容参见下一章）。

对一些连续刻度的仪器，仪器的最大误差常简

单取作最小刻度的一半。例如，米尺的仪器误差常

取为0．5mm 。

如果要较细致地分析仪器误差，则应注意到一

般测量时仪器误差的概率分布规律呈现图1—4所示

的均匀分布特征。例如，眼睛引起的瞄准误差，机械 图1-4

秒表在其分度值内不能分辨引起的误差都具有图示的均匀分布特征。

可以证明，服从均匀分布的仪器的最大误差所对应的标准误差为

3

σ?仪＝ （7）

5）直接测量量的不确定度的分析 （1）不确定度的概念。我们知道，测量的目的是为了寻求真值。但我们通过实验无法真正得到真值，我们能得到的，只是真值的最佳近似值，这一方面说明实验中必然存在误差，另一方面同时说明了误差也并不能通过实验或计算而准确得到。所以，80年代以来在工程技术测量、计量工作和实验中等各领域已开始根据国际计量委员会（BIPM ）所通过的关于“实验不确定度表示的说明建议书”的精神，采用不确定度来评价测量的准确性。

所谓不确定度，简单理解就是测量值不确定的程度，是对测量误差大小取值的测度，或者说，是对待测量的真值的可能范围的估计。不确定度是测量结果表述中的一个重要参数，此参数合理地说明测量值的分散程度和真值所在范围的可靠程度。不确定度亦可理解为，一定置信概率下误差限的绝对值，记作△。

不确定度和误差是两个不同的概念，它们之间既有联系，又有本质区别。误差是指测量值与真值之差，一般来说，它是未知的，无法确切表达的量。而不确定度是指误差可能存在的范围，这一范围的大小能够用数值表达。

（2）直接测量量的不确定度计算。为综合考虑实验中的各种误差情况，通常将不确定度分为两类分量：

不确定度A 类分量：指多次重复测量后用统计方法算出的分量，用A ?表示。

不确定度8类分量：指不能用统计方法计算而需用其他方法估算的分量，用B ?表示。 当两类不确定度都存在时，总不确定度为它们的方和根合成。

?= （8）

① 多次测量的不确定度计算。在物理实验教学中，当对某一物理量进行多次直接测量后，我们约定取

A X σ?=

（9）

B σ?=仪 （10） 即取多次重复测量的平均值的标准误差为不确定度A 类分量，取仪器的标准误差为不确定 度B 类分量，则

x ?

= （11）

② 单次测量的不确定度计算。对单次测量，不存在不确定度的A 类分量，而B 类分量可取为仪器的最大误差，为

x B ?=?=?仪 （12）

有时，式（12）算出的单次测量的不确定度可能会小于用式（11）算出的多次测量的不确定度，但这并非说明单次测量反而比多次测量准确。实际上，两者的“置信概率”不等，即在所计算出的不确定度内包含真值的概率不等。另外，多次测量后如果测量列中各数据基本一样或完全相同。这并不能说明测量得非常准确，以至于不存在不确定度的A 类分量，而只说明仪器的精度太低，多次测量已没有意义，在这种情况下取x B ?=?=?仪是合理的选择。

6）相对误差与相对不确定度

上面所讲的标准误差、仪器误差等都是以误差的绝对大小来反映误差情况的，它们与被测量有相同的单位，称为绝对误差。但是，为了更全面地评定测量结果的优劣，还需考虑这一绝对误差对测量值本身的大小产生的相对影响，为此，引入相对误差的概念。

绝对误差相对误差＝测量值

即 X

E X σ= （13）

当待测量有公认值或理论值时，为衡量实验结果的优劣，可将测量值与公认值或理论值进行比较，用百分误差表示实验的误差情况，可写为

||100%?测量值－公认值百分误差＝公认值

即 000

||100%X X E X -=? 与误差情况类似，为了更全面、准确地反映实验的精度，还需考虑“相对不确定度”，它实际上就是相对误差范围的估计值。

不确定度相对不确定度＝测量值

即 x E X ?= （14）

间接测量的结果与不确定度的合成

1）间接测量的结果与误差的传递

物理实验中的大部分物理量都需由间接计算得到，即在直接测量的基础上，通过一定的函数运算得到。显然，将各直接测量的结果（多次测量的平均值或单次测量的测量值）代入相应的测量公式就可得到所谓“间接测量的结果”。用x y z 、、、表示各独立的直接测量量，N 表示间接测量量，则可表示为

(,,,)N f x y z =

（15） 由于各直接测量量都带有一定的误差，所以在此基础上得到的间接测量量也必然带有误差，这就是“误差的传递”问题。

当各直接测量量的绝对误差分别是x y z ???、、、时，间接测量量的误差N ?如何呢为回答这一问题，可考虑对上式进行全微分，即

d d d f f f dN x y z x y z

???=+++??? （16） 众所周知，上式的数学意义是当x y z 、、分别有微小偏差d d d x y z 、、、时，N 有相应的偏差dN 。由于一般情况下，误差远小于测量值，故可将d d d x y z 、、、视为各直接测量量

的误差x y z ???、、、，，而将dN 视为间接测量的误差N ?，则有

f f f N x y z x y z

????=?+?+?+??? （17） 上式可视为误差传递的基本公式。

若先对式（15）取自然对数后再全微分，则

ln ln (,,,)N f x y z =

ln ln ln d d dN f f f x y dz N x y z ???=+++???

同理可得 ln ln ln N f f f x y z

N x y z ??????????=?+?+?+ ? ? ?????????? （18） 上式可视为相对误差的基本传递公式。

2）间接测量量的不确定度的合成

当我们用不确定度来反映测量的误差情况时，上面的误差传递问题实际上也就是不确定度的传递问题，或者也可以说，是不确定度的合成问题，因为从上面讨论的公式来看，间接测量量的不确定度总是由各个独立的直接测量量的不确定度合成的，但具体的合成方法不止一种。

（1）不确定度的绝对值合成法——不确定度合成公式之一。间接测量的不确定度就是对间接测量误差的一种测度，当我们不知道各直接测量量的误差的符号时，为避免对间接测量的误差估算不足，最保险的办法是将式（17）或式（18）中各项取绝对值，分别用不确定度x y z ???、、、替换误差x y z ???、、、由此得到的不确定度的合成公式为

x y z f f f N x y z ????=?+?+?+??? （19）

ln ln ln

x y z N f f f N x y z ????=?+?+?+??? （20）

这种合成过程计算较简便，但计算结果往往偏大。一般适用于仪器较粗糙，实验精确度

较低，系统误差较大的实验。

（2）不确定度的方和根合成法——不确定度合成公式之二。对仪器精度较高，系统误差较小的实验，考虑不确定度的合成时，则应注意到，事实上各分项误差的符号总有正有负，它们传递给间接测量量时总会抵消一部分，所以，上面的不确定度合成公式夸大了间接测量量的不确定度。

对以随机误差为主的不确定度的传递问题，更合理的合成方法是方和根合成法。即用以下两个公式计算问接测量量的不确定度和相对不确定度，即

N ? （21）

N N ?= （22）

为较科学地反映实验中的误差和不确定度情况，考虑到物理实验是基础课程的特殊性，

建议一般采用方和根合成法计算间接测量量的不确定度x y z ???、、、。计算过程分为三步：

① 先分析确定各直接测量量的不确定度x y z ???、、、。

② 根据函数关系(,,)N f x y z =、写出N 的全微分式（16）。

③ 用式（21）或式（22）计算N 的不确定度N ?或相对不确定度/N N ?。

例1．1 用不确定度的方和根合成法推导加减运算和乘除运算的不确定度的合成公式 解

（1）设N x y =+，则dN dx dy =+，应有N ?

N N ?

（2）设N x y =-，则dN dx dy =-，仍有N ?

N N ?

（3）设N xy =，则()()dN dx y dy x =+，应有N ?

N N ?

或 ln ln ln N x y =+ 因 ln 1ln 1,x y x x y y

??==?? 故

22y N x N x y ???????=+ ? ????? （4）设x N y =,则21()dN ydx xdy y

=-，应有 2221()()N x y y x y

?=?+? 而

2

2y N x N x y ???????=+ ? ????? 或

ln ln ln N x y =- 故 22y N x N x y ???????=- ? ?????

一般函数的不确定度合成公式也可用相类似的方法得到，现将一些常用的不确定度的方和根合成公式列入表l －1中。

表1－1 常用函数的不确定度传递公式

从上面的讨论中可以看出：

① 对加减运算，总是先算不确定度，而对乘除运算，总是先算相对不确定度较方便。 ② 和差的不确定度的平方总是等于参与运算的各量的不确定度的平方和。

③ 积商的相对不确定度的平方总是等于参与运算的各量的相对不确定度的平方和。 以上所述的加减运算或乘除运算，均指独立测量量间的运算，若是稍复杂些的四则运算，或一般的函数运算，则应根据式（19）、（20）和（21）、（22）进行运算。

例1．2 设x y N x y

+=-，试用方和根合成法推导不确定度传递公式。 解 22

2()()N x y x y y x x y x y ?---==-?--

222()()N x y x y x y x y x y ?-++==?-- 222222

2222()N x y x y N N y x x y x y ???????=?+?=?+? ? ???-????

22

22222N x y y x N x y ?=?+?-

1．2 有效数字与测量结果的表述

有效数字及其运算

1）有效数字的概念

物理实验离不开物理量的测量，直接测量需要记录数

据，间接测量既要记录数据，又要进行数据的运算。记录时

取几位数字，运算后保留几位数字，这是实验中面临的一个

十分重要的问题，为了正确地反映测量结果的准确度，需引

入有效数字的概念。我们把正确和有效地表示测量结果（即

大小与不确定度）的数字称为有效数字。

例如，我们用最小分度为1 mm 的米尺去测量一物体的

长度，始端和米尺零线对齐，终端落在和 图1－5

之间（图1－5），可最终读数为。显然前三位是按米尺的刻度直接读出的，是可靠的，准确的。最后一位是在最小分度之间估读的，是存有误差的，不确定的，或者说是可疑的，尽管可疑，读出这一位比不读出这一位要准确些，所以这一位仍是有效的。这样，即为正确表示测量结果的有效数字。

如果我们再在第四位后估读一位或几位数字，就没有什么实际意义了，因为第四位已是可疑数字，其后面的数字将更可疑，甚至是无效的。

此可见，有效数字总是由若干位准确数和最后一位欠准数（可疑数）构成的，所以有效数字的位数就等于全部的准确数的位数加l 。

2）有效数字的意义

有效数字当然能表示测量结果的大小，这一点与普通数字是一样的。那么，有效数字与普通的数字相比，究竟有什么不同呢

我们知道，对普通的数学意义上的数字而言，==，但是，对物理实验中的测量值而言，≠≠，因为即使认为它们有相同的数值大小，它们的准确度不同，或者说，它们的测量误差不同。

可见，有效数字的意义在于，它除了具有普通数字所具有的表示测量值大小的功能外，还具有另一项重要的功能——反映测量结果的不确定度的情况，而这两点，对一测量数据而言是缺一不可的。

下面我们就来分析一下怎样通过有效数字来反映不确定度的情况。

（1）有效数字与不确定度的关系。我们知道，有效数字的前若干位都是准确数，只有最后一位是欠准的，而误差就发生在这一位上。显然，欠准位在哪一位上，直接反映了测量值的不确定度的大小，两单位相同的数字欠准位愈靠前不确定度愈大；反之，不确定度愈小。所以，我们可以这样来表述有效数字与不确定度的关系：有效数字中欠准位所在位置反映了不确定度的大小。例如l2．8 cm与12．84 mm相比，前者的不确定度比后者大。

（2）有效数字与相对不确定度的关系。我们知道，对一个测量值的准确性进行评价时，除了要看其不确定度外，更要看其相对不确定度的情况。显然，一个测量值的有效数字位数愈多，最后一位上的不确定量对整个测量值的影响就愈小，这个数所反映的相对不确定度就愈小。所以，我们可以这样来表述有效数字与相对不确定度的关系；有效数字的位数反映了相对不确定度的大小。例如，2．3mm与22．3 mm相比，两者的不确定度处于同一量级，但相对不确定度前者比后者大一个量级。再如l．28 mm和112．8 mm相比，前者的不确定度小于后者，而相对不确定度大于后者。

3）有效数字的运算

间接测量的结果总是通过一定的运算得到的，那么运算中间及运算后结果的有效数字如何取舍呢这就是有效数字的运算问题。

进行有效数字运算的总的原则有两条：

（1）由不确定度决定有效数字（其位数及欠准位位置）。

（2）最后运算结果的有效数字中也只有一位欠准数。

有些情况下，我们不知道各直接测量量的不确定度的大小，而无法进行不确定度的合成计算，还有些情况，我们希望不作不确定度的计算，直接进行有效数字的简化运算。为此，我们先来讨论一些简单的有效数字运算规则。

（1）加减运算。总结上面关于加减运算的不确定度汁算法则可知：几个量相加减后，所得结果的不确定度总是大于参与运算的各个量中任一个量的不确定度。而我们知道，不确定度直接决定了有效数字的最后一位——欠准位的位置，由此不难理解有效数字的加减运算的近似运算法则为：

几个数相加减，最后结果的欠准位与各数中最靠前的那一欠准位对齐。

例如：

① +≈．8 ②≈

在运算过程中，多余的数字按尾数舍λ法处理，通常的做法是：小于5则舍，大于5则人，刚好等于5则把尾数凑成偶数（4舍6入逢5凑偶）这样可使舍和入的机会均等。

例如，将以下各数约简到小数点后第一位则有：

①≈②≈③≈④≈⑤≈．3

（2）乘除运算。由乘除运算的不确定度计算法则可知，几个量相乘除后，积或商的相对不确定度总是大于参与运算的任一量的相对不确定度，而相对不确定度直接决定了有效数字的位数，由此我们不难理解乘除运算的有效数字近似运算法则是：

几个数相乘除后，最后结果的有效数字的位数以各数中位数最少的一个为准。

例如：

① ×≈．1 ② ÷≈

对既有加减，又有乘除运算的混合运算，则可逐步按上述有效数字运算规则处理，以确定最后的有效数字。

例如

22970.6215.4755.2128128 1.710128 3.01011.77.24 4.5

-+≈+≈?+≈?- （3）其他运算。

① 乘方、开方运算。不难理解，乘方、开方运算后的有效数字位数应与其底的有效数字位数相同。

例如：

225.36643.1, 6.072≈

② 对数运算。可以证明：对数运算后，其小数部分的位数可取得与真数的位数相同。 例如：

ln2.670.982

ln267 5.567≈≈ lg2.670.427lg267 2.427≈≈

对其他函数运算（例如三角函数运算）原则上都遵循由不确定度决定有效数字的原则，即通过不确定度的传递运算，由x 的不确定度确定()f x 的不确定度，最后确定()f x 的有效数字位数。

4）关于有效数字的几点说明

（1）在数字中间或数字后面的“0”都是有效数字，不能任意取舍。例如， cm,，15.0 mm 与中的“0”都是有效数字，特别是要注意l5.0mm 与是两个不同的有效数字，因为它们的测量精度不同，前者可能是用米尺测定的，后者可能是用游标卡尺测定的。总之一个有效数字究竟取几位，是一件很严肃的事，所以，其后“0”绝不是可有可无，可多可少的。

（2）用以表示小数点位置的“0”不是有效数字，因为有效数字的位数与小数点的位置无关，也与十进制单位的变换无关。例如， 1.28cm 12.8mm 0.0128m L ===均为三位有效数字。

如果要以km 为单位表示应为L =0．000 012 8 km ，但这样书写很不方便，通常改写成

L =1．28×10-5km 。同样，若以m μ为单位则可写成L =1．28×l04m μ,但决不可写L =12800m μ。

由此可见，当数字很大或很小时，用l0的幂指数来表示较方便又科学，且不易出错，这种方法称为“科学计数法”。例如，地球质量可表示为245.9610m =?kg 。电子的电荷e =-1．6022×10-9 C 。其中有效数字部分是l0的幂指数的系数部分。一般规定小数点在第一位后面，而整个数的量级由l0的幂次体现。

（3）有效数字是对存在测量误差的测量值而言的，对参与运算的常数如14、π等，

、π这样的无理数在运算中可适当多取一位。

（4）不要因为计算过程处理不当而损失有效数字位数，所以，在中间运算过程中，为避免由于舍人过多而造成的不确定度进位，一般可先多保留一位，而在最后结果中仍只保留一位欠准数。

例如：

0.3675434.01212.50074.82 4.82 3.14215.140.8416.014.91014.910

π?+≈?+≈+≈ 测量结果的完整表述

1）测量结果的文字表述

综上所述，在物理实验中，要完整地表述一个已经测量好的物理量，应同时指明这个物理的测量值和不确定度（当然，一般情况下还应注明其单位）。

具体地说，我们应将测量结果用文字表述成如下形式：

x Y X =±?

其中Y 代表待测量，X 为该待测量的测量值，它既可以是单次的直接测量值，也可以是相同条件下多次直接测量的算术平均值（最佳近似值），还可以是在直接测量后经过函数运算得到的间接测量值，x ?则为测量的不确定度，它是一恒为正的量。

很多情况下，为了更准确地反映测量结果的优劣，还应同时注明测量值的相对不确定度。即

x E X

?= 结合前面讨论过的关于不确定度的计算方法，我们可以将各种情况下测量结果的完整文字表述总结如下：

（1）对单次直接测量

Y X E X ?=±?=仪测仪测

， （2）对多次直接测量

x x Y X x E X

?=±?==

（3）对问接测量 ,N N Y N E N

?=±?= 这里N 是由具体的函数运算得到的间接测量值，N ?由不确定度的合成公式计算得到。

最后需要指出的是：我们将测量结果写成式（22）的真实含义是：待测量的真值在一定的概率水平上落在[,]x x X X -?+?的范围内，或者说，区间[,]x x X X -?+?以一定的概率包围真值。这里所说的一定的概率即为“置信概率”，而区间[,]x x X X -?+?称为“置信区间”。可以理解，置信概率与置信区间之间存在单一的对应关系，置信区间大，相应地置信概率就高，置信区间小，则置信概率低。在可忽略不确定度的B 类分量B ?的前提下，对应于正态分布，可以证明若用标准误差σ代表不确定度x ?，则置信概率为%；当用2σ代表不确定度时，置信概率为%；而用3σ代表不确定度时，置信概率为%，已很接近100%。

2）测量结果的有效数字表述

实验中的每一个测量值都要用有效数字表示，当然，最终的测量结果也应该用有效数字表述。那么，怎样正确地写出测量结果的有效数字表达式呢或者说，怎样正确地确定测量值X 及不确定度x ?的有效数字位数呢

首先，由于不确定度是对误差的估计值。因此，一般只能取一到两位，多取了是无意义的。为统一和简单起见，我们规定不确定度只取一位有效数字。

其次，根据有效数字的基本概念，测量值的有效数字应该由若干位准确数与最后一位欠准数所组成，而误差就发生在最后的欠准位上。所以，确定测量值X 的有效数字位数的原则是“使X 的最后一位与x ?的所在位对齐”。

例如， 1.01cm 0.02cm L =±是正确的表达式，而360mA 0.5mA I =±和V =78．32 V± V 都不正确。

如果在实验中要同时表示出相对不确定度，则一般情况下，我们规定相对不确定度也只取一位有效数字，只有在它的首位是l 或2时才可考虑多取一位。

如前所述，由不确定度决定有效数字是处理一切有效数字问题的基本原则，如果已知各直接测量量的完整表达式（测量值与不确定度），则应在计算出间接测量的不确定度以后再确定间接测量值的有效数字位数，并最终写出间接测量的结果表达式。

例 已知/,N AB C =且9.820.01,11.520.02,A B =±=±98.60.1C =±，求N 的结果表达式。

解 先将A B C 、、的测量值代人计算出N 的测量值。

9.8211.5298.6 1.147N =?÷≈

再计算不确定度N ?，显然，这里应先计算相对不确定度：

0.23%N E N ?== 所以 1.1470.23%0.003N E N ?=?=?≈

最后写出N 的结果表达式为

1.1470.003,0.23%N E =±=

例 已知金属环的外径 3.600cm 0.004cm D =±，内径 2.880cm 0.004cm d =±，高2.575cm 0.004cm h =±，求金属环体积的测量结果表达式。

解 22()4

V D d h π=-，代入数据有 221 3.1416(3.600 2.880) 2.5754

V =??-? 39.436cm ≈

又

22ln ln ln()ln 4V D d h π=+-+ 而 2222

ln 2ln 2ln 1,,V D V d V D d h h D d D d ??-?===???--

所以

V E V ?=

222

222222 3.62 2.881[](0.004)2.5753.6 2.88 3.6 2.88????????=++? ? ? ?--?????? 0.0081≈

所以

30.08cm V E V ?=?≈ 所以 3(9.440.08)cm ,0.8%V E =±=

例 已知一圆柱体的质量14.060.01M g g =±，高 6.715cm 0.005cm H =±，用千分

尺测得直径D 的数据，如下表：

求其密度ρ的测量结果。

解 10.56447(cm)i D D n =

≈∑ 将6次测量的标准差作为不确定度A 类分量，即 2

()0.00014(cm)(1)

i A D D n n σσ-?=≈-∑ 将仪器标准误差作为不确定度B 类分量，即 0.00029(cm)3B σ?==

≈仪仪 所以

2242.7100.0003(cm)A B cm ??+?≈?≈ 所以 (0.56450.0003)cm D =±

根据圆柱体的密度公式 24m D H

ρπ= 其密度的测量值为 32414.068.366(g/cm )3.14160.5645 6.715ρ?=

≈?? 而 2222m D H E m D H ρρ??????????==++ ? ? ???????

222

0.0120.00030.00514.060.5645 6.715???????+? ? ? ???????31.47100.15%-=?≈

所以 30.0130.01(g/cm )E ρρ?=≈≈

故测量结果应表示为

3(8.370.01)g/cm 0.15%E ρ=±=，

数据处理的基本方法

我们做物理实验，一般都要进行定量的测量，得到一定的测量数据，但我们知道，一个完整的实验过程并不就此为止，我们还应对实验数据进行记录、整理、计算、作图与分析，即进行数据处理工作，从而寻求测量对象的内在规律，正确地给出实验结果，下面介绍几种常用的数据处理方法。

列表法

列表法是数据处理的基本方法，它能使测量数据表达清晰醒目，富于条理，有助于反映出物理量间的对应关系，同时，它还有利于提高处理数据的效率，减小和避免错误。

数据在列表处理时，应遵循以下原则：

（1）各栏目均应标明名称和单位，单位写在标题栏中，不要重复记在每个数字上。

（2）列入表中的数据主要是原始数据，处理过程中一些重要的中间结果也可列入表中。

（3）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理。

（4）表中的数据要正确反映测量结果的有效数字。

能在实验测量后做出一张规范的数据处理表格，虽不是一件很困难的事情，但也不是一蹴而就的，需要实验者在实验过程中进行认真的学习和训练。

作图法

作图在实验中也是常用的数据处理方法，通过作图可以把测量数据间的关系及其变化情况直观地表示出来，特别是对很难找到解析函数式的实验结果，可从图线上反映实验结果并寻求相应的经验公式。

按作图目的不同，作图法可分为图示法和图解法两类。

1）图示法

一组测量数据以及物理量之间的关系，可以用图线的形式表现出来，称为图示法。

物理实验中常用到两种图线，一种是表示在一定条件下两量之间依赖关系的图线，这种关系大都有一定的规律。例如，电阻的阻值随温度变化满足线性关系；二极管具有特定的伏安特性。画这类图线的方法是：依据观测的实验点，注意其变化的趋势，画出光滑的曲线。由于测量值存在误差，所以不能强求观测点都在曲线上，但应使不在曲线上的点大致均匀分布在曲线两侧（图1—6（a））。另一种图线表示的是两个无依赖关系的量之间的变化关系，例如，气温随时间变化的图线，电表的校正曲线等。画这类图线时图线必须过观测点，由于观测值不可能无限多且相邻观测点间两个量的关系并不清楚，因此，只能用直线将相邻观测点连接起来，使所作实验图线成为一条折线（图1—6（b））。

图1—6

为尽可能准确反映各物理量间的对应关系，应按以下原则作图：

（1）作图需用坐标纸。一般选用直角坐标纸，有时，根据需要也可选用对数坐标纸、极坐标纸等。

（2）坐标轴的选择和坐标轴单位的标定。要根据实验数据的有效数字的位数来确定，、原则上数据中可靠的数字在图中亦是可靠的。数据中有误差的一位，在图中应是估计的，即应使坐标纸中的一小格对应于数据中可靠数字的最后一位。

要适当确定坐标轴的比例和起点，坐标轴的起点不一定取为零，以避免图纸上出现大片的空白区（图1－7（a ））；同时注意选择横、纵轴的比例以使所作图线比较对称地充满大部分坐标纸空间（图1－7（b ））。

图1－7 （3）标点与连线。在坐标纸上，实验点要以一定的符号，比如用*、○、×、等表示出来，然后，在兼顾各数据点的基础上，拟合成一条光滑的曲线或直线。

2）图解法

图解法就是利用已作好的图线，定量地求解一些问题。特别是当所作图线为直线时，采用此法尤为方便。例如，测量某电阻的阻值随温度的变化情况，已知阻值与温度成线性关系 0(1)t R R bt =+。这样，在实验中测出一系列不同温度下的电阻值后，可作出一条t R t -直线，从直线上求出截距即得0R ，求出斜率k 后即得b 。