北师大版数学初二上册知识点总结教学内容
初二上册知识点总结
勾股定理
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和
直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，
三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三
角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1．
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中
的每一条直角边．
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就
是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合
其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两
条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如： 2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它
们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；5，12，13；8，15，16；7，24，
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①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为
边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正
整数的直角三角形的斜边．
实数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333,而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小
数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数
x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根 a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根 a 本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平
方根时，可以借助乘方运算来寻找．
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也
是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求
值问题．
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：a3．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、
负数都有唯一一个立方根．
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比
左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左
边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这
个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b 互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、
乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性
质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a?b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被
开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一
个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
（1）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
（3）一个二次根式的有理化因式不止一个．
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性
质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a?b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被
开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一
个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
（1）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
（3）一个二次根式的有理化因式不止一个．
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性
质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a?b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被
开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一
个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
（1）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
（3）一个二次根式的有理化因式不止一个．
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性
质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a?b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被
开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一
个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
（1）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
（3）一个二次根式的有理化因式不止一个．
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．