《三角形》单元测试题(含答案)
“三角形”知识要点梳理
三角形三角形内角和定理
角平分线
中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
三角形全等三角形SSS
}
SAS
全等三角形的判定ASA
AAS
HL(适用于RtΔ)
全等三角形的应用利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”
表示。
2、顶点是A、B、C的三角形,记作“ΔABC”,读作“三角形ABC”。
·
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC,有时也用a,b,c来表示,
顶点A所对的边BC用a表示,边AC、AB分别用b,c来表示;
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1、三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a;a-b 2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形: (1)当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时,能组成三角形; (2)当两条较短线段之和大于最长线段时,则可以组成三角形。 3、确定第三边(未知边)的取值范围时,它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和, -<<+. 即a b c a b 三、三角形中三角的关系 % 1、三角形内角和定理:三角形的三个内角的和等于1800。 2、三角形按内角的大小可分为三类: (1)锐角三角形,即三角形的三个内角都是锐角的三角形; (2)直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边,夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注:直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余。 (3)钝角三角形,即有一个内角是钝角的三角形。 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 5、任意一个三角形都具备六个元素,即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。 6、三角形内角和定理包含一个等式,它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。 { 四、三角形的三条重要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。 2、三角形的角平分线: (1)三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)任意三角形都有三条角平分线,并且它们相交于三角形内一点。 3、三角形的中线: (1)在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线。 (2)三角形有三条中线,它们相交于三角形内一点。 4、三角形Array的高线: (1)从 三角形的 一个顶点 向它的对 边所在的 直线做垂 线,顶点 和垂足之 间的线段 叫做三角 形的高 线,简称 为三角形的高。 ` (2)任意三角形都有三条高线,它们所在的直线相交于一点。 、 五、全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。 》 2、全等图形的性质:全等图形的形状和大小都相同。 3、全等图形的面积或周长均相等。 4、判断两个图形是否全等时,形状相同与大小相等两者缺一不可。 5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。 6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。 六、全等分割 1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。 2、对一个图形全等分割: (1)首先要观察分析该图形,发现图形的构成特点; (2)其次要大胆尝试,敢于动手,必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。~ 七、全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形,用符号“≌”连接,读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形,表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。 4、两个全等三角形,准确判定对应边、对应角,即找准对应顶点是关键。 八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”。 - 5、注意以下内容 (1)三角形全等的判定条件中必须是三个元素,并且一定有一组边对应相等。 (2)三边对应相等,两边及夹角对应相等,一边及任意两角对应相等,这样的两个三角形全等。 (3)两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。 6、熟练运用以下内容 (1)熟练运用三角形判定条件,是解决此类题的关键。 (2)已知“SS”,可考虑A:第三边,即“SSS”;B:夹角,即“SAS”。 (3)已知“SA”,可考虑A:另一角,即“AAS”或“ASA”;B:夹角的另一边,即“SAS”。(4)已知“AA”,可考虑A:任意一边,即“AAS”或“ASA”。 7、三角形的稳定性:根据三角形全等的判定方法(SSS)可知,只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 < 九、作三角形 1、作图题的一般步骤: (1)已知,即将条件具体化; (2)求作,即具体叙述所作图形应满足的条件; (3)分析,即寻找作图方法的途径(通常是画出草图); (4)作法,即根据分析所得的作图方法,作出正式图形,并依次叙述作图过程; (5)证明,即验证所作图形的正确性(通常省略不写)。 2、熟练以下三种三角形的作法及依据。 (1)已知三角形的两边及其夹角,作三角形。 (2)已知三角形的两角及其夹边,作三角形。 ~ (3)已知三角形的三边,作三角形。 十、利用三角形全等测距离 1、利用三角形全等测距离,实际上是利用已有的全等三角形,或构造出全等三角形,运用全等三角形的性质(对应边相等),把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度,从而得到被测距离。 2、运用全等三角形解决实际问题的步骤: (1)先明确实际问题应该用哪些几何知道解决; (2)根据实际问题抽象出几何图形; (3)结合图形和题意分析已知条件; (4)找到解决问题的途径。 十一、直角三角形全等的条件 1、在直角三角形中,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。 【 2、“HL”是直角三角形特有的判定条件,对非直角三角形是不成立的; 3、书写时要规范,即在三角形前面必须加上“Rt”字样。 十二、分析-综合法 1、我们在平时解几何题时,采用的解题方法通常有两种,综合法与分析法。 2、综合法:从问题的条件出发,通过分析条件,依据所学知识,逐步探索,直到得出问题的结论。 3、分析法:从问题的结论出发,不断寻找使结论成立的条件,直至已知条件。 4、在具体解题中,通常是两种方法结合起来使用,既运用综合法,又运用分析法。 第五章三角形单元复习题 一、选择题 1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在 ( ) A.三角形内部B.三角形的一边上 C.三角形外部D.三角形的某个顶点上 2.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是 ( ) A.4、5、6 B.6、8、15 C.5、7、12 D.3、9、13 3.在锐角三角形中,最大角α的取值范围是 ( ) A.0°<α<90°B.60°<α<90° C.60°<α<180°D.60°≤α<90° 4.下列判断正确的是 ( ) A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B.有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C.有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5.等腰三角形的周长为24cm,腰长为xcm,则x的取值范围是( ) A.x<6 B.6<x<12 C.0<x<12 D.x>12 6.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A.则此三角形 ( ) A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 7.三角形内有一点,它到三边的距离相等,则这点是该三角形的 ( ) A.三条中线交点B.三条角平分线交点 C.三条高线交点D.三条高线所在直线交点 8.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为 ( ) A.30°B.75° C.105°D.30°或75° 9.如图5—124,直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路,现计划建 一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( ) A.一处B.二处 C.三处D.四处 10.三条线段长度分别为3、4、6,则以此三条线段为边所构成的三角 形按角分类是 ( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.根本无法确定 二、填空题 1.如果△ABC中,两边a=7cm,b=3cm,则c的取值范围是_________;第三边为奇数的所有可能值为_________;周长为偶数的所有可能值为_________. 2.四条线段的长分别是5cm,6cm,8cm,13cm,以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形. 3.过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角,那么∠A,∠B 中较大的角的度数是____________. 4.在Rt△ABC中,锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D,则∠ADB=______.5.如图5—125,∠A=∠D,AC=DF,那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF. 6.三角形的一边上有一点,它到三个顶点的距离相等,则这个三角形是_______三角形.7.△ABC中,AB=5,BC=3,则中线BD的取值范围是_________. 8.如图5—126,△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,CM平分AB,CE平分∠DCM,则∠ACE 的度数是______. 初中数学:《概率初步》单元测试(含答案) 一、选择题 1.从编号为1到10的10张卡片中任取1张,所得编号是3的倍数的概率为( ) A . 110 B . 210 C . 310 D .15 2. 下列说法正确的是 (A)某市“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨 (B)随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后正面一定朝上 (C)在一次抽奖活动中,“中奖的概率是 1 100 ”表示抽奖l00次就一定会中奖 (D)在平面内,平行四边形的两条对角线一定相交 3.盒子里有3支红色笔芯,2支黑色笔芯,每支笔芯除颜色外均相同.从中任意拿出一支笔芯,则拿出黑色笔芯的概率是( ) A .23 B . 15 C . 25 D . 35 4.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面分别刻有1到6的点数,朝上的面的点数中,一个点数能被另一个点数整除的概率是( ) A. 718 B.34 C.1118 D.2336 5. 在一张边长为4cm 的正方形纸上做扎针随机试验,纸上有一个半径为1cm 的圆形阴影区域,则针头扎在阴影区域内的概率为 A. 161 B.41 C.16 π D. 4 π 6. 将1、2、3三个数字随机生成的点的坐标,列 成下表。如果每个点出现的可能性相等,那么从中任意取一点,则这个点在函数y=x 图象上的概率是 A .0.3 B .0.5 C .13 D .2 3 7. 下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小明从中抽出一张,则抽到偶数的概率是( ) A .13 B . 12 C . 34 D . 23 8.在一个布袋中装着只有颜色不同,其它都相同的红、黄、黑三种小球各 一个,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回并搅匀,再摸出一个球, 两次摸球所有可能的结果如图所示,则摸出的两个球中,一个是红球,一个是黑球的概率是( ) A .19 B .29 C .13 D .49 9.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖(投掷的飞镖均扎在飞镖板上), 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是( ) A. 12 B. 14 C. 15 D. 1 10 10.下列事件是必然事件的是( ) A .直线b x y +=3经过第一象限; B .方程 0222=-+-x x x 的解是2=x ; C .方程34-=+x 有实数根; D .当a 是一切实数时,a a =2 二、填空 1. 布袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球,它们除颜色外完全相同,从袋中任意摸出一个球,摸出的球是白球.. 的概率是 . 2. 不透明的口袋中有质地、大小、重量相同的白色球和红色球数个,已知从袋中 随机摸出一个红球的概率为3 1 ,则从袋中随机摸出一个白球的概率是________。 3. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3+-=x y 与两坐标轴围成一个△AOB 。现将背面完全相同,正面分别标有数1、2、3、 21、3 1 的5张卡片洗匀后,背面朝上, 第一次第二次 红红 黄 黑 黄红 黄 黄 黑 红 黄 黑 (第8题) 1 5 (第9题) 《数列》单元练习试题 一、选择题 1.已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n (∈n N *),则4a 等于( ) (A)1 (B )2 (C )3 (D )0 2.一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么( ) (A )它的首项是2-,公差是3 (B)它的首项是2,公差是3- (C )它的首项是3-,公差是2 (D )它的首项是3,公差是2- 3.设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则 =24a S ( ) (A )2 (B)4 (C)2 15 (D )217 4.设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ) (A)54S S < (B )54S S = (C)56S S < (D )56S S = 5.已知数列}{n a 满足01=a ,133 1+-=+n n n a a a (∈n N*),则=20a ( ) (A)0 (B)3- (C )3 (D) 23 6.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 7.已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1≠q ,则( ) (A)5481a a a a +>+ (B )5481a a a a +<+ (C)5481a a a a +=+ (D )81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数 列有( ) (A )13项 (B)12项 (C)11项 (D)10项 9.设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ,且30303212=????a a a a ,那么 30963a a a a ???? 等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如: 三角形经典测试题及解析 一、选择题 1.如图,直线a b ∥,点A 、B 分别在直线a 、b 上,145∠?=,若点C 在直线b 上,105BAC ∠?=,且直线a 和b 的距离为3,则线段AC 的长度为( ) A .32 B .33 C .3 D .6 【答案】D 【解析】 【分析】 过C 作CD ⊥直线a ,根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论. 【详解】 过C 作CD ⊥直线a ,∴∠ADC =90°. ∵∠1=45°,∠BAC =105°,∴∠DAC =30°. ∵CD =3,∴AC =2CD =6. 故选D . 【点睛】 本题考查了平行线间的距离,含30°角的直角三角形的性质,正确的理解题意是解题的关键. 2.把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A-45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1(如图乙),此时AB 与CD 1交于点O ,则线段AD 1的长度为( ) A .32 B .5 C .4 D 31 【解析】 【分析】 【详解】 由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°, 若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°. ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°. 在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=32. 同理可求得:AO=OC=3. 在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1-OC=4, 由勾股定理得:AD1=5.故选B. 3.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为() A.4 B.8 C.6 D.10 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解:设AG与BF交点为O,∵AB=AF,AG平分∠BAD,AO=AO,∴可证△ABO≌△AFO,∴BO=FO=3,∠AOB=∠AOF=90o,AB=5,∴AO=4,∵AF∥BE,∴可证△AOF≌△EOB, AO=EO,∴AE=2AO=8,故选B. 【点睛】 本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质. 4.下列长度的三条线段能组成三角形的是() A.2, 2,5B.3,3C.3,4,8D.4,5,6 【答案】D 【解析】 【分析】 三角形的任何一边大于其他两边之差,小于两边之和,满足此关系的可组成三角形,其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立. 第二十五章概率初步单元测试 一、单选题(共10题;共30分) 1、一个暗箱里装有10个黑球,6个白球,14个红球,搅匀后随机摸出一个球,则摸到白球的概率是 A、 B、 C、 D、 2、书包里有数学书3本,英语书2本,语文书5本,从中任意抽取一本,是数学书的概率是() A、 B、 C、? D、? 3、如图,一个圆形转盘被等分成八个扇形区域,上面分别标上1,3,4,5,6,7,8,9,转盘可以自由转动,转动转盘一次,指针指向的数字为偶数所在区域的概率是() A、 B、 C、 D、 4、在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球,从中任意摸出一个球,则摸出白球的概率是() A、 B、 C、 D、 5、下列模拟掷硬币的实验不正确的是() A、用计算器随机地取数,取奇数相当于下面朝上,取偶数相当于硬币正面朝下 B、袋中装两个小球,分别标上1和2,随机地摸,摸出1表示硬币正面朝上 C、在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌,抽到红色牌表示硬币正面朝上 D、将1、2、3、4、5分别写在5张纸上,并搓成团,每次随机地取一张,取到奇数号表示硬币正面朝上 6、明明的相册里放了大小相同的照片共32张,其中与同学合影8张、与父母合影10张、个人照片14张,她随机地从相册里摸出1张,摸出的恰好是与同学合影的照片的可能性是() A、 B、 C、 D、 7、历史上,雅各布.伯努利等人通过大量投掷硬币的实验,验证了“正面向上的频率在 0.5左右摆动,那么投掷一枚硬币10次,下列说法正确的是() A、“正面向上”必会出现5次 B、“反面向上”必会出现5次 C、“正面向上”可能不出现 D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样,但不一定是5次 8、一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法:先将口袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,不断重复上述过程,小亮共摸了1000次,其中有125次摸到白球,因此小亮估计口袋中的红球大约有()个. 一、数列的概念选择题 1.在数列{}n a 中,12a =,1 1 1n n a a -=-(2n ≥),则8a =( ) A .1- B . 12 C .1 D .2 2.数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+,4a =( ) A .2 B .6- C .2- D .1 3.已知数列{} ij a 按如下规律分布(其中i 表示行数,j 表示列数),若2021ij a =,则下列结果正确的是( ) A .13i =,33j = B .19i =,32j = C .32i =,14j = D .33i =,14j = 4.已知数列{}n a ,若()12* N n n n a a a n ++=+∈,则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”,且11b =,22b =-,则数列{}n b 的前2020项和为( ) A .5 B .5- C .0 D .1- 5.在数列{}n a 中,已知11a =,25a =,() * 21n n n a a a n N ++=-∈,则5a 等于( ) A .4- B .5- C .4 D .5 6.已知数列{}n a ,{}n b ,其中11a =,且n a ,1n a +是方程220n n x b x -+=的实数根, 则10b 等于( ) A .24 B .32 C .48 D .64 7.在数列{}n a 中,114a =-,1 11(1)n n a n a -=->,则2019a 的值为( )七年级下北师大版三角形单元测试
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