长宁区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案

长宁区2018-2019年第一学期高三年级质量调研考试

数学试卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．

2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =

2. 已知

1

312x -=，则x =

3. 在61()x x

+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 4. 已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m = 5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2

(2,

)2

，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2

a π

π∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=

8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()

0()

f x

g x ≥的解集是

9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为

600m ，在A 处测得30DAB ∠=?，在B 处测得105DBA ∠=?，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=?，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m

（精确到1m ）

10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的

概率为

11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11

2

n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项

1a 取值的集合为

12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程

123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中

最多有 个元素

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，???????，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：

发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥

种子数

8

26

22

24

12

4

2

统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 15. 已知向量a 和b 夹角为

3

π

，且||2a =，||3b =，则(2)(2)a b a b -?+=（ ） A. 10- B. 7- C. 4- D. 1-

16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，

① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）

A. ①和②都是真命题

B. ①是真命题，②是假命题

C. ①和②都是假命题

D. ①是假命题，②是真命题

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集：

（1）|23|5x -<； （2）442120x x -?->

18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢

结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15?，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）

（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.

19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，

2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ?=.

（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；

（2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.

20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6

g x x π

ω=+

.

（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()(

)3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2

π

上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.

21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；

（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.

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数学试卷参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-

5．π33 6．),0(+∞ 7．5

52 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．?

??

???31 12．3

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应

在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B 14．B 15．D 16．C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．

所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()

22260x x +->， ……………………4分 因为220x

+>，所以62>x

， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分

所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，

所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即?=∠15PBD ．……2分 在PDB ?中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=?=∠， ………3分

由DB PD

PBD =

∠tan 得 2

415tan PD =?，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分

（2）由题意知底面ABCD 是长方形，

所以BCD ?是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，

得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，

所以PDC ?、PDB ?是直角三角形． …………………………4分 因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD = ，PD DC ,≠?平面PDC ，

所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠?平面PDC ，所以PC BC ⊥，

所以PBC ? 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 2

22222-+=-+=，

则 bc

a c

b b a

c b c a a A b B a 22cos cos 222222-+?+-+?=+

c

a c

b

c b c a 222

22222-++

-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分 由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +?+=，

即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ， 由复数相等的定义可得

0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分 即 3=c ． ………………………………………………6分 （2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分 由正弦定理得 0cos sin cos sin =?-?B B A A ，

即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ，

所以 B A 22= 或 π=+B A 22， 即 B A =或2

π

=

+B A ，即B A =或2

π

=

C ．

所以 ABC ?知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分

当B A =时，3

2cos 2

c

A b == ，所以6A π=； ……………………6分

当2

π

=

C 时，3sin 3b A c =

=，所以3

arcsin 3

A = ． ……………8分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()2

21h x x m x =-+++

由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(2

2

+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．

即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．

所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2(

)3

g x g π

≤，

得

22,362k k Z πππωπ?+=+∈ ，即1

32

k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,

]2

x π

∈时，[,]6626

x π

πωππ

ω+

∈+()0ω>，

因为sin y x =在区间[

,]62

ππ

的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分

所以1

2

ω=． ……………………………………6分

（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ?．………………………………………2分

当],0[π∈x 时，]6

7,6[6π

ππ

∈+

x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2

112x mx -≤-++≤恒成立，

由[]1

,1,2m x x x ≤+

∈恒成立，得2m ≤， 由[]2

,1,2m x x x

≥-∈恒成立，得1m ≥，

综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分

其它做法，对应给分。

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由11a =，815a =得1571=+d ，

解得2=d ． ………………………………………………………2分 则得 32112=+=+=d a a ，所以3=a ．…………………………………………4分 （2）由191019S a =，得 )8(1922

8

9922910110+?=??++??+

?a a ， 解得2=a ， …………………………………………2分 由22=-+n n a a ，且11=a ，22=a ，得 当n 为奇数时，n n a a n =?-+=22

1

1； 当n 为偶数时，n n a a n =?-+

=22

2

2． ………………………………………4分 所以对任意*

N ∈n ，都有n a n =，当2≥n 时，11=--n n a a ，

所以数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列． …………………………………6分

其它解法，对应给分。

（3）由题意1

-=n n a a ， ……………………………………………1分

①当10<

所以对任意*

N ∈m ，都有()()032>--a S a S m m ， ………………………………2分

因此数列{}n a 不具有性质M ． …………………………………………3分 ②当1=a 时，1=n a ，n S n =，

所以对任意*

N ∈m ，都有()()0)1(232≥-=--m a S a S m m ，

因此数列{}n a 不具有性质M ． ．…………………………………………4分 ③当21<

log 211)2(0)1(2

>-?>-?

<-?>-a

a a a a a a 111

21log +≥?≥--?-≥n n n n a a S a a a a n ,

111

log 21

n n a n n a n a S a a a +-

取021log n a a

=??

?

???-(x ????表示不小于x 的最小整数)，则100+≥n n a S ，001n n S a -<.

所以对于任意*

N ∈m ，0))((100≥--+n m n m a S a S ，

即对于任意*

N ∈m ，m S 都不在区间()

001,n n a a +内，

所以数列{}n a 不具有性质M ． ………………………………………………6分

④当2a ≥时，()121

1011

n

n n n n a a a S a a a a +----=

-=<--，且n n S a >， 即对任意的)(2*

N ∈≥n n ，都有()()01<--+n m n m a S a S ，

所以当2a ≥时，数列{}n a 具有性质M ．……………………………………………7分 综上,使得数列{}n a 具有性质M 的正实数a 的集合为),2[+∞． …………………8分 ③④的另解：

当1>a 时，{}n a 单调递增，{}n S 单调递增，且2≥n 时，n n a S >．

若对任意)(2*N ∈≥n n ，都存在*

N ∈m ，使得()()01<--+n m n m a S a S ，即存在m

S 在区间),(1+n n a a 内．

观察),(32a a ，),(43a a ，…，

发现在),(1+n n a a 内的m S 只能是n S ． ……………………………………………5分 证明：在1-n 个区间),(32a a ，),(43a a ，…，),(1+n n a a 内需要1-n 个m S ， 因为21a S <，11++>n n a S ，所以可选择的m S 只能是n S S S ,,,32???，共1-n 个． 由n S S S

所以只需满足1+

n n a a a <--1

1

，

得a a n <-

1

2对任意*N ∈n 都成立． 因为数列????

??-

n a 12单调递增，且212lim =??? ?

?

-∞→n n a ，所以2≥a ． 综上,使得数列{}n a 具有性质M 的正实数a 的集合为),2[+∞．……………………8分