2020届湖南省五市十校高三第二次联考数学(理)试卷

2020届湖南省五市十校高三第二次联考

数学试题（理）

★祝考试顺利★ 注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.）

1. 已知全集,U R =2

{|2}M x x x =-≥则U C M =（）

A.{|20}x x -<<

B.{|20}x x -≤≤

C.{|20}x x x <->或

D.{|20}x x x ≤-≥或

2.设复数z 满足(1)i z i +=（其中i 为虚数单位），则||z =（）

B. 2

C.1

3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：

万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）

A. B. C. D.

4.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，2()log (1),f x x =-则(7)f =( ) A. 3- B. 2log 6 C. 3 D. 2log 6-

5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

C. D.

6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

37101145,7,a a a a a +-=-=则13S =( )

A. 152

B. 154

C. 156

D. 158

7.在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则

BC 在CA 方向上的投影为( )

A. 4

B. 3

C. 4

D. 5

8.已知函数()32cos f x x x =+,若

a f =(2),

b f =2(log 7),

c f =则,,a b c 的大小关系

是（）

A. a b c <<

B. c a b <<

C.b a c <<

D. b c a <<

9.执行右面所示的程序框图,则输出的n 值是（） A. 5 B. 7 C.9 D. 11

10.如右下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D

所成角为α，则sin α的最大值为（）

2 B. 5

5 D. 6

11.函数()tan()f x x ω?=+(0||,0)2

?ω<<

>某相邻两支图象与坐标轴分别交于点2(

,0),(

,0),6

A B π

则方程 ()cos(2),[0,]3

f x x x π

π=-∈所有解的和为（）

A.56π

B. 2π

C. 512π

D.4

12.过曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左焦点1F 作曲线

2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线

23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的

离心率为（）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13.若实数,x y 满足2

10,220x x y x y ≤??

-+≥??+-≥?

则2z x y =-的最小值为 .

14.将多项式65

6510a x a x a x a ++

++分解因式得5(2)(),x x m -+

m 为常数，若57a =-，则0a = .

15. 如右图所示，阴影部分是由曲线2

y x =和圆2

2x y +=及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机

取一点，则此点取自则阴影部分的概率为 . 16. 设锐角ABC ?三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若

cos cos )2sin ,1,a B b A c C b +==则c 的取值范围为．

三.解答题(本大题共5小题,共70分.) 17. (本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足

112,420(2,)n n a S S n n N -=--=≥∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令2log n n b a =，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：

k k

T =<∑.

18. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，

,AD BC λ=//,90,AD BC BCD ∠=M 为线段PB 上一点.

(1)若1

λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定M 点

的位置；若不存在，请说明理由

(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90角，二面角B PC D --

的余弦值为

，求CD 的长.

19．(本小题满分12分)

2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读

情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图． (1) 求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；

(2) 由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时

间X 服从正态分布()2

μσ，，其中μ近似为

样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．

(i) 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的

概率进行计算：若

()()()2~,,~0,1X a X N Y Y N P X a P Y μ

μμσσ

σ--?

≤=≤ ??

?令，则，且．

利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤.

(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的

人数，求()2P

Z ≥(结果精确到0.0001)以及Z 的数学期望．

参考数据：

()()1940

,0.77340.0076.~0,10.750.77343

Y N P Y ≈

≈≤=若，则

20. (本小题满分12分)

已知(2,0),(2,0),A B -点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34

． (1)求动点C 的轨迹方程；

(2)设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点,Q 且(1,0),F 求证：

90.PFQ ∠=

21. (本小题满分12分)

已知函数2

()8ln ().f x x x a x a R =-+∈

（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有

111

ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．

请考生在22～23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)

在极坐标系中，曲线C 的方程为2

2312sin ρθ=

，点

R . （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化

为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS

周长的最小值及此时P 点的直角坐标.

23. (本小题满分10分)已知2

()=|24|.f x x x a +-+ （1）当=3a -时，求不等式2()||f x x x >+的解集；

（2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.

理数答案

一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.） CBBAB ，CCDCB ，AA

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13.1 14.2 15. 11

812π

- 16.

三.解答题(本大题共5小题,共70分.)

17. 【解析】

（1）当3n ≥时，可得()()11242420n n n n S S S S --------=-----------2分

即得14n n a a -=

又因为12a =，代入1420n n S S ---=可得28a =

满足上式，所以数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列 ----------5分故121242n n n a --=?=. ----------6分（2）证明：2122log 221,13(21)n n n b n T n n -==-=++

+-=----------8分

222111111111121223(1)n

k k

T n n n ==+++≤++++??-?∑ 11111111

1(1)()()()2 2.

223341n n n

=+-+-+-++-=-<- ----------12分

18. 【解析】

(1) 存在，M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P --------1分证明如下：在PC 上取靠近点P 的三等分点N ，连接,MN .DN

则//BC MN 且1

MN BC =------------2分由已知，AD//BC 且1

AD BC =

所以，//,MN AD MN AD =

所以，四边形MNDA 是平行四边形--------3分所以，//AM ND

又ND PCD ?平面

所以，//AM 平面PCD --------5分

（2）∵,,PA AD PA CD AD

CD D ⊥⊥=则,PA ABCD ⊥平面以点A 为坐标原点，以

AD AP 、所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图

所示的直角坐标系， ………………6分则(0,0,2),P (0,1,0),D C(,1,0),t 1B(,1,0),t λ

-则

BC (0,2,0),λ

PC (,1,2),t =-CD (,0,0),t =- 设平面PBC 和平面PCD 的法向量分

别为1111(,,),n x y z =2222

(,,).n x y z =.

由1,n BC ⊥，1

,n PC ⊥得110,0n BC n PC ??=???=??即11111(2)0,20

y tx y z λ??-=???+-=? 令1=1,x 则1=,2t z 故1

(1,0,),2

t n = ………………8分

同理可求得2

(0,2,1).n = ………………10分于是1212cos =,||||n n n n

θ??

t =解之得=2t ±（负值舍去），故=2.t ∴ 2.CD = ………………12分

19.【解析】（1）

60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =?+?+?+?+?+?+?= …2分 22222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35s =-?+-?+-?+-? 222(109)0.19(119)0.09(129)0.04 1.78+-?+-?+-?= …………4分

（2）

(i)由题知9μ=

，2 1.78σ=，∴(9,1.78)X

N .

103

σ==

≈. ……………………5分

109

(10)()(0.75)0.773443

P X P Y P Y -≤=≤

=≤=. ……………………7分（ⅱ）由(i)知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=， ……………………8分

可得(20,0.2266)Z

B ,

(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=

201

2010.77340.22660.77341(0.7734200.2266)0.0076

C =--?=-+??

0.9597≈ ……………………

10分

Z 的数学期望200.2266 4.532EZ =?=. (12)

分

20. 【解析】（1）设

，则依题意得，又

，

，所以有

，整理得

，即为所求轨迹方程.…………4分（2）设直线

：

，与联立得

，即

， ………………5分依题意，即

， ………………6分

∴

，得122

4,34km x x k

-?=+ ………………7分

∴， ………………8分

而，得

， ………………9分

又， ………………10分

又，则. ………………11分

知，

即

. ………………12分

21. 【解析】 (1) 228()(0)x x a f x x x

-+'=>，

(1)0f '=， 6.a =则 ……………2分 213)()(0)x x f x x x

-?-'=>（）（从而，

(0,1)x ∈所以时，()0f x '>，()f x 为增函数， (1,3)x ∈时，

()0f x '<，()=1f x x 为减函数，所以为极大值点.………………4分（2）函数()f x 的定义域为(0+)∞，，有两个极值点1212,x x x x <（）

，则2

()280t x x x a =-+=在(0+)∞，

有两个不等的正实根，所以08.a << ……5分从而问题转化为在102x <<且1

1x ≠时21111

ln (43)1a x t x x x >+--成立.

即证11112ln (+1)1x x t x x ?>- 即证111

2ln (+1)0.1x x t x x ?->-

亦即证 2

111

(1)[2ln ]0.1x t x x x x -+>- ① ………………8分令

2(1)()2ln 02).t x h x x x x -=+<<（则22

+2()02).tx x t h x x x

+'=<<（……………9分 1) 当0t ≥时，()0,h x '>则()h x 在

0,2)（上为增函数且(1)0,h =①式在1,2)（上不成立. ………………10分 2)当0t <时，2

=44,t ?-

若0,?≤即1t ≤-时，()0,h x '≤，所以()h x 在

0,2)（上为减函数且(1)0,h = 211111

(1)

2ln 1x t x x x x -+

-、在区间0,1)（及,2)（1上同号，故①式成立. ………………11分若0,?>即10t -<<时，2

+2y tx x t =+的对称轴1

1x t =->，令1

min{,2},a t

=-则1x a <<时，()0,h x >不合题意. 综上可知：1t ≤-满足题意. ………………12分

22. 【解析】（1）cos ,sin x ρθy ρθ==Q ，

∴曲线C 的直角坐标方程为2

21,3

x y += ………………2分

点R 的直角坐标为(2,2)R . ………………4分

（2

）设,sin )P θθ

，根据题意可得||2PQ θ=-,||2sin QR θ=-,

||||42sin(60PQ QR θ∴+=-+. ………………6分当30θ=o 时，||||PQ QR +取的最小值2，故矩形PQRS 周长的最小值为4，

此时点P 的直角坐标为31

(,)22

. ………………10分

23. 【解析】

（1）当3a =-时，2

()=|24| 3.f x x x +-- ∴2

()>|||24|||30f x x x x x +?--->，

010x x ≤???

-+>?或02310x x <≤???-+>?或2

x x >???->? 0x ?≤或1

x <<或7x > ………………4分

∴当3a =-时，不等式2

()>||f x x x +的解集为1(0,)(7,).3

+∞ ………………5分

（2）∵()0f x ≥的解集为实数集R ?2

|24|a x x ≥---对x R ∈恒成立.

又222

24,2(1)3,2

()|24|,24,2(1)5,2

x x x x x g x x x x x x x x ??-+-≤---≤??=---==??--+>-++>???? ∴max ()(1)3g x g ==- ………………9分 ∴3a ≥-，故a 的取值范围是[3,)-+∞. ………………10分