高考数学压轴题精编精解100题
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高考数学压轴题精编精解
精选100题,精心解答{完整版}
1.设函数()1,12
1,23x f x x x ≤≤?=?-<≤?
,()()[],1,3g x f x ax x =-∈,
其中a R ∈,记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。 (I )求函数()h a 的解析式; (II )画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。
2.已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,
()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111
,(1)22
n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:
(Ⅰ)101;n n a a +<<<(Ⅱ)21;2
n n a a +<
(Ⅲ)若12
,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >?.
3.已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足:
(1)2
1212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+(12,x x ∈R ,a 为常数);
(2)(0)()14f f π==;(3)当0,
4x π
∈[]
时,()f x ≤2 求:(Ⅰ)函数()f x 的解析式;(Ⅱ)常数a 的取值范围.
4.设)0(1),(),,(22
222211>>=+b a b
x x y y x B y x A 是椭圆上的两点,
满足0),(),(
2211=?a
y b x a y b x ,椭圆的离心率,23
=e 短轴长为2,0为坐标原点. (1)求椭圆的方程;
(2)若直线AB 过椭圆的焦点F (0,c ),(c 为半焦距),求直线AB 的斜率k 的值;
(3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
5.已知数列{}n a 中各项为: 12、1122、111222、 (111)
??????14243222n
??????14243 …… (1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前n 项之和S n .
6、设1F 、2F 分别是椭圆22
154
x y +=的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求21PF ?的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A (5,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ,使得|F 2C|=|F 2D|?
若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.
7、已知动圆过定点P (1,0),且与定直线L:x=-1相切,点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程;
.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-
(i )问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点C 的坐标;若不能,说明理由 (ii )当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.
8、定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)是R 上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。
9、已知二次函数),(2)(2
R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ,且关于x 的方程
0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内。 (1)求实数b 的取
值范围;
(2)若函数)(log )(x f x F b =在区间(-1-c ,1-c )上具有单调性,求实数C 的取值范
围
10、已知函数,1)2
1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都有
).1()()(xy y x f y f x f ++=+ (1)若数列).(),(12,21}{*
2
11n n
n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ (2)求)21()1
31()111()51
(12+++++++n f n n f f f Λ的值.
11.在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A (0,-1),B (0, 1)平面内两点G 、M 同
时满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA uuu r = ||MB uuu r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r
(1)求顶点C 的轨迹E 的方程
(2)设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ,定点F , 0) ,已知PF u u u r ∥FQ uuu
r ,
RF u u u r ∥FN u u u r 且PF u u u r ·RF u u u r
= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
12.已知α为锐角,且12tan -=α,函数)4
2sin(2tan )(2
π
αα+
?+=x x x f ,
数列{a n }的首项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式; ⑵ 求证:n n a a >+1; ⑶ 求证:),2(211
11111*21N n n a a a n
∈≥<++++++<Λ
13.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足()
111,21n n a a a n N *+==+∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111
321+=----Λ,证明:{}n a 是等差数列;
(Ⅲ)证明:
()23111123
n n N a a a *++++<∈L 14.已知函数()(),02
32
32≠++-=a cx x a x a x g (I )当1=a 时,若函数()x g
在区间()1,1-上是增函数,求实数c 的取值范围;
(II )当2
1≥a 时,(1)求证:对任意的[]1,0∈x ,()1/
≤x g 的充要条件是43≤c ;
(2)若关于x 的实系数方程()0/
=x g 有两个实根βα,,求证:,1≤α
且1≤β的充
要条件是.4
1
2a a c -≤≤-
15.已知数列{a n }前n 项的和为S n ,前n 项的积为n T ,且满足(1)
2n n n T -=。
①求1a ;②求证:数列{a n }是等比数列;③是否存在常数a ,使得
()
()()2
12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立? 若存在,
求出a ,若不存在,说明理由。 16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,其图像均在x 轴的上方,对任意的
[0,)m n ∈+∞、,都有()[()]n f m n f m =g ,且(2)4f =,又当0x ≥时,其导函数'
()0
f x >恒成立。
(Ⅰ)求(0)(1)F f -、的值;(Ⅱ)解关于x
的不等式:2
2f ??≥????
,其中(1,1).k ∈-
17、一个函数()f x ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内,就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“保三角形函数”. (I )判断(
)1f x =,()2f x x =,()23f x x =中,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,
并说明理由;
(II )如果()g x 是定义在R 上的周期函数,且值域为()0,+∞,证明()g x 不是“保三角形函数”;
(III )若函数()sin F x x =,x ∈()0,A 是“保三角形函数”,求A 的最大值. (可以利用公式sin sin 2sin cos
22
x y x y
x y +-+=)
18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:(1)1
n n a
S a a =--(a 为常数,且0,1a a ≠≠). (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21=
+n
n n
S b a ,若数列{}n b 为等比数列,求a 的值; (Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设1
11
11n n n c a a +=
++-,数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证:1
23
n T n >-.
19、数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =L ,,,),且123a a a ,,成公比不为1的等比数列。 (I )求c 的值; (II )求{}n a 的通项公式。 (III )由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n },求n
n n b b 1
lim +∞→的值。
20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点,点Q 在NP 上,
点G 在MP 上,且满足0,2=?=. (I )求点G 的轨迹C 的方程; (II )过点(2,0)作直线l ,与曲线C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,设,OB OA OS +=
是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,
求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
21.飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6km,C在B的北偏东300,相距4km,P为航天员着陆点,某一时刻A接到P的求救信号,由于B、C两地比A距P远,因此4s后,B、C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s.
(1)求A、C两个救援中心的距离;(2)求在A处发现P的方向角;
(3)若信号从P点的正上方Q点处发出,则A、B收到信号的时间差变大还是变小,并证明你的结论.
22.已知函数||1
y x
=+,222
y x x t
=-++,
11
()
2
t
y x
x
-
=+(0)
x>的最小值恰好是方程320
x ax bx c
+++=的三个根,其中01
t<<.(Ⅰ)求证:223
a b
=+;
(Ⅱ)设
1
(,)
x M,
2
(,)
x N是函数32
()
f x x ax bx c
=+++的两个极值点.
①若
12
2
||
3
x x
-=,求函数()
f x的解析式;②求||
M N
-的取值范围.
23.如图,已知直线l与抛物线y
x4
2=相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0). (I)若动点M满足0
|
|2=
+
?,求点M的轨迹C;
(II)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F (E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
24.设.2
)
(
,
ln
)
(
),
(
2
)
(-
-
=
=
-
-
=
e
p
qe
e
g
x
x
f
x
f
x
q
px
x
g且
其中(e为自然对数的底数)(I)求p与q的关系;(II)若)
(x
g在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(III)证明:①)1
(
)
1(-
>
≤
+x
x
x
f;
②
)1
(4
1
2
ln
3
3
ln
2
2
ln2
2
2
2+
-
-
<
+
+
+
n
n
n
n
n
Λ(n∈N,n≥2).
C
B
A
25.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:(1)1
n n a
S a a =--(a 为常数,且0,1a a ≠≠). (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设021n
n
S b a =
+,若数列{}n b 为等比数列,求a 的值; (Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设1
11
11n n n c a a +=
+
+-,数列{}n c 的前n 项和为T n ,求证:123
n T n >-.
26、对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使00()f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点.如果
函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=
∈-有且仅有两个不动点0、2,且1
(2)2
f -<-. (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =g ,求证:1111
ln n n
n a n a ++-
<<-; (Ⅲ)设1
n n
b a =-,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求证:200820071ln 2008T T -<<.
27、已知函数f (x )的定义域为{x | x ≠ kπ,k ∈ Z },且对于定义域内的任何x 、y ,有f (x - y ) =
f (x )·f (y )+1
f (y )-f (x )
成立,且f (a ) = 1(a 为正常数),当0 < x < 2a 时,f (x ) > 0.(I )判断f (x )
奇偶性;(II )证明f (x )为周期函数; (III )求f (x )在[2a ,3a ] 上的最小值和最大值.
28、已知点R (-3,0),点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上 ,
且满足230PM MQ +=u u u u r u u u u r r
,0RP PM ?=u u u r u u u u r .(Ⅰ)⑴当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点,且111, 0x y >>,N(1,0),求实数λ,使AB AN λ=u u u r u u u r ,且163AB ||=
29、已知椭圆W 的中心在原点,焦点在x
6. 椭圆W 的左焦点为F ,过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ,点A 关于x 轴的对称点为C .
(Ⅰ)求椭圆W 的方程;(Ⅱ)求证:CF FB λ=u u u r u u u r
(λ∈R );(Ⅲ)求MBC ?面积S 的
最大值.
30、已知抛物线2
:ax y C =,点P (1,-1)在抛物线C 上,过点P 作斜率为k 1、k 2的两
条直线,分别交抛物线C 于异于点P 的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且满足k 1+k 2=0. (I )求抛物线C 的焦点坐标; (II )若点M 满足MA BM =,求点M 的轨迹方程.
31.设函数321()()3
f x ax bx cx a b c =++<<,其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -.(Ⅰ)求证:01b
a
<≤
;(Ⅱ)若函数()f x 的递增区间为[,]s t ,求||s t -的取值范围;(Ⅲ)若当x k ≥时(k 是与,,a b c 无关的常数),恒有1()0f x a -+<,试求k 的最小值.
32.如图,转盘游戏.转盘被分成8个均匀的扇形区域.游戏规则:用力旋转转盘,转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数(转盘停留的位置是随机的).假设箭头指到区域分界线的概率为01.,同时规定所得点数为0.某同学进行了一次游戏,记所得点数为ξ.求ξ的分布列及数学期望.(数学期望结果保留两位有效数字)
33.设1F ,2F 分别是椭圆C :22
22
162x y m m
+=(0)m >的左,右焦点. (1)当P C ∈,且210PF PF =u u u r u u u r
g
,12||||8PF PF ?=时,求椭圆C 的左,右焦点1F 、2F . (2)1F 、2F 是(1)中的椭圆的左,右焦点,已知2F e 的半径是1,过动点Q 的作2F e 切线QM ,使得12QF =(M 是切点),如下图.求动点Q 的轨迹方程.
34.已知数列{}n a 满足15a =, 25a =,116(2)n n n a a a n +-=+≥.
(1)求证:{}12n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;
Q (x ,
M
F 1
F 2
O
y
x
(3)设3(3)n n n n b n a =-,且12n b b b m +++<对于n N *
∈恒成立,求m 的取值范
35.已知集合{}121212()00D x x x x x x k =>>+=,,,(其中k 为正常数).
(1)设12u x x =,求u 的取值范围; (2)求证:当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立; (3)求使不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的2k 的范围. 36、已知椭圆C :22
a
x +22b y =1(a >b >0)的离心率为36,过右焦点F 且斜率为1的直
线交椭圆C 于A ,B 两点,N 为弦AB 的中点。(1)求直线ON (O 为坐标原点)的斜
率K ON ;
(2)对于椭圆C 上任意一点M ,试证:总存在角θ(θ∈R )使等式:OM =cos θ+sin θ成立。
37、已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。 (
1
)
求
曲
线
C
的
方
程
;
(
2
)
过
点
.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线
①当m 求直线时,1=λ的方程;②当△AOB 的面积为24时(O 为坐标原点),求λ的值。
38、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,对一切正整数n ,点),(n n S n P 都在函数
x x x f 2)(2+=的图像上,且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k .
(1)求数列}{n a 的通项公式. (2)若n k n
a b n 2=,求数列}{n b 的前n 项和n T .
(3)设},2{},,{*
*
∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ,等差数列}{n c 的任一项
R Q c n ?∈,其中1c 是R Q ?中的最小数,11511010< 式. 39、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,1 23 ,22 a a ==,且113210n n n S S S +--++=,其