电工杯数学建模竞赛论文

基于预测的邮轮定价策略研究

摘要

本文针对邮轮的预订人数、预订价格等进行了预测和求解，并分析了邮轮整个运营周期的动态定价策略。

针对问题1，我们利用指数平滑法建立预测模型，求出最近一个未知周次的预订人数。再利用加法增量法计算得出每周相对于前4个航次的平均增加的预订人数，从而得出后面航次未知的预订人数。接着对预订的人数建立灰色预测模型。最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，利用MATLAB求解，从而求得未知的预订人数。综合四种预测方法，对本次预测结果进行评估，最终评价所建立模型的合理性。最终完善的各航次每周实际预订人数完全累积表见表8。

针对问题2，首先，我们对不同等级舱进行每航次每周价格预定，在同等级舱的实际数据表下，对同一周不同航次预定价格预测采用一次指数平滑法。然后，基于问题一结果分析，采用先进增量法，不仅考虑到已启航航次的数据，而且考虑到未启航次的数据。最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，从而确定每个航次的每个舱位的未知的预订平均价格。最终完善的每次航行预订舱位价格表见表13。

针对问题3，假定每种航舱每周预定价格在价格区间内服从均匀分布，由顾客购买概率与预订的平均价格的关系可以确定每个航次每个周期的需求函数表达式。在求解的过程中，首先基于模型1得到实际预定人数的预测，然后根据模型1的求解方法得到各航次各周意愿预定人数，从而解得每一等级邮舱的每一航次各周的平均价格。最终完善的每航次各舱位每周预订平均价格和意愿预订人数表见表14-表19。

针对问题4，由于前四次航行的各周平均预定价格以及对应人数已知，考虑每航次收益与需求量和平均预定价格相关，由模型3我们得到每航次各周需求量与平均预定价格的函数关系式；然后，考虑到同一航次相邻两周内价格浮动比不超过20%，以及需求量不超过总容量等约束条件，求解最大预期收益转化为非线性规划问题，利用MATLAB求解。最终求得第8航次的的最大预期收益为1492030。

针对问题5，根据附表Sheet1和Sheet5，分别可以得到每次航行实际预定总人数和每次航行最终升舱人数；然后，考虑提高游客升舱意愿，依据升舱加价后的价格不高于高等舱原价格、总人数不变、加价后头等舱、二等舱、三等舱价格相对大小不变等约束条件，建立收益升舱目标函数——线性规划模型，然后利用LINGO求解得到最终升舱人数与价格（见表20）。

最后，对所建立的模型进行了稳健性和数据误差的分析。

关键词：指数平滑法；灰色预测；回归预测模型；MATLAB；拟合；线性规

划

一、问题重述

近年来乘坐邮轮旅游的人越来越多，邮轮公司的发展也非常迅速。如何通过合理的定价吸引更多的旅游者，从而为邮轮公司创造更多的收益，这也是众多邮轮公司需要探讨和解决的问题。

邮轮采用提前预订的方式进行售票，邮轮出发前0周至14周为有效预定周期，邮轮公司为了获得每次航行的预期售票收益，希望通过历史数据预测每次航行0周至14周的预定舱位人数、预订舱位的价格，为保证价格的平稳性，需要限定同一航次相邻两周之间价格浮动比，意愿预定人数（填写信息表未交款的人数）转化为实际预定人数（填写信息表并交款的人数）与定价方案密切相关。

已知某邮轮公司拥有一艘1200个舱位的邮轮，舱位分为三种，250个头等舱位，450个二等舱位，500个三等舱位。该邮轮每周往返一次，同一航次相邻两周之间价格浮动比不超过20%。现给出10次航行的实际预订总人数、各航次每周实际预订人数非完全累积表、每次航行预订舱位价格表、各舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表、每次航行升舱后最终舱位人数分配表（详见附件中表sheet1- sheet5），邀请你们为公司设计定价方案，需解决以下问题：

1.预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2。（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。）

2.预测每次航行各周预订舱位的价格，完善每次航行预订舱位价格表sheet3。

3.依据附件中表sheet4给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预测出公司每周给出的预订平均价格。

4.依据附件中表sheet1-sheet4，建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益。

5.在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱（即原订二等舱游客可通过适当的加价升到头等舱，三等舱游客也可通过适当的加价升到头等舱、二等舱）。请建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益最大。

二、模型假设

（1）假设每种舱位每周预定价格在价格区间内服从均匀分布。

（2）假设对于指数平滑法的试验次数足够大。

（3）假设每个航次之间的时间间隔足够均匀的。

（4）在升舱意愿模型中，假设实现从低等舱位到高等舱位的升舱在既定条件下增加收益，且是在上船以后制定的。所以各个舱位的人数，公司目

前所获得的利益已经知道了。

三、概念定义和符号约定问题1的符号约定

问题2的符号约定

问题3的符号约定

问题4的符号约定

问题5的符号约定

几个重要概念的定义

纵向：对于附件中数据的，纵向即为在同一航次的同一舱位上关于不同预订周数的变化关系。

横向：对于附件中数据的，横向即为在同一预订周上关于不同航次的同一舱位的变化关系。

转化率：意愿预定人数（填写信息表未交款的人数）转化为实际预定人数（填写信息表并交款的人数）的比例。

四、问题1的解决方案

问题的分析

首先，根据题目附件提供的数据，我们在纵向上，即对于同一航次的同一舱位的不同周次，利用指数平滑法建立预测模型，运用Excel的统计功能进行求解，再求出最近一个未知周次的预订人数。

其次，利用前4个航次的预订人数数据计算每周增加的预订人数，然后计算得出每周相对于前4个航次的平均增加的预订人数，从而得出后面航次未知的预订人数。

然后，在横向上，即对于不同的航次的同一周的不同舱位实际的预订的人数建立灰色预测模型。从而可以利用不同航次的同一周次的历史预订人数确定后面未知的预订人数。

最后，利用已知的前4个航次的数据以及本航次本舱位的前面周数的数据，通过对不同航次之间的数据的加权处理，建立回归预测模型，利用MATLAB[4]求解，从而确定每个航次的每个舱位的未知的预订人数。

综合四种预测方法，对本次预测结果进行评估，最终评价所建立模型的合理性。

模型的建立

指数平滑法建立模型

分析每个航次同一舱位的不同周次的数据，每个航次所对应的数据会根据对应的航次有所改变，因此对于最近一周未知的预订人数可以使用指数平滑法建立预测模型，能使得所得数据误差最小。

指数平滑法简单稳定，而且通常能获得较高的预测精度。其特点是预测时所需的资料少，计算方便。根据指数平滑法的原理，有以下方程[1]：

(1)()(1)()K K K t t t F i X i F i αα+=+- （1）

(1)K t F i +表示第t 周内，第1i +周次航行K 号舱的预测预订人数；

()K t X i 表示t 周内第i 次航行K 号舱的实际预订人数；

α为平滑系数，又称加权因子，取值范围为01α<<，在本题中，0.9α=

α的取值对预测曲线的光滑程度有一定的影响。α的值越小，预测曲

线的光滑程度越大，稳定性就越好；然而，α的值越大，预测值对噪声和最近的变化就越敏感。在实际应用中，α值是根据时间序列的变化特性来选取的。若时间序列的波动不大，比较平稳，则应取小一些，如；若时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则应取大一些，如 。实质上，α是一个经验数据，通过多个值进行试算比较而定，哪个值引起的预测误差小，就采用哪个。在本题中，经过多次试验，0.9α=为最佳

加法增量法建立模型[1]

先对前4次的预定人数分析，计算前4个航次不同舱位的每周的增加的预订人数，然后求出前4个航次的每周的平均的预订人数，例如头等舱的：

表1 头等舱周预定人数

然后求得前4个航次距离起航前总的各个总的增量：

从而得到头等舱第0周的第6、7、8、9、10个航次的预订人数为：

灰色预测模型的建立

在纵向上的指数平滑法建立的预测模型进一步的求解后面的未知周次的预订人数时，由于指数平滑法对于长期的预测同时是基于预测的数据预测所得出的数据误差较大，所以在横向上，即对于不同的航次的同一周的不同舱位实际的预订的人数建立灰色预测模型。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度。并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物的趋势。灰色预测的数据是通过生成数据的模型所得到的预测值的逆处理结果。灰色预测是以灰色模型为基础的，在诸多的灰色模型，以灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型(1,1)GM 模型[2]最为常见。

设原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =???

(0)()x n 表示前n 次航行所得同一舱位同一周的实际预订人数，累加生成

序列为(1)

(1)

(1)

(1)

((1),(2),,())x x x x n =???其中的(1)

(1)1

()(),1,2,3,...,t

k x t x k t n ===∑，

(1,1)GM 模型的白化微分方程为：(1)

(1)dx ax u dt

+=

（2）

式（2）中，a 为待辨识参数，亦称发展系数；u 为待辨识内生变量，

亦称灰作用量。设待辨识向量a a u ∧

??

= ???

，按最小二乘法求得()1T T a B B B y ∧-=式

中，其中：

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

1

((1)(2))121

((2)(3))1

2

1((1)())12

x x x x B x n x n -+-+=??????

??????

--+ (0)(0)(0)(2)

(3)

()x x y x n =??????

得到灰色预测的离散时间响应函数为：

(1)(0)(1)((1))at u u

x t x e a a

-+=-+

(1)(1)x t +为所得的累加的预测值，预测值为：

(0)

(1)

(1)

(1)(1)(),(1,2,...,)x t x t x t t n ∧∧∧+=+-=

将所得的结论转化为MATLAB 的程序[2] [4]，输入对应的时间，得出相应的预定人数的结果。

回归预测模型的建立

分析对于前2个方法都只存在某个方向上的预测，这样使得预测的结果可能会存在较大的误差，在综合考虑前面4个航次的预订人数的基础上，进一步的考虑前4次的和本次的预订人数，建立回归预测模型。

回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自

变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系。

预测模型的自变量为周次，因变量为每个航次的同一舱位的对应的预定人数。()K t P i 表示第t 周第i 周次航行K 号舱的预测预订人数；从而该预测模型中，实际使用的因变量为对于第j 次航行的第t 周的K 号舱的预订人数为：

37

()[(1)(2)(3)(4)]()4010

K K K K K K t t t t t t P j P P P P P j =

++++ 同时将附件中所给数据的每次航行的实际预订总人数作为已知的数据。

将计算的结果结合时间利用MATLAB [4]建立回归分析方程，即为回归分析预测模型。

模型的求解

指数平滑法求解 1）头等舱预测表：

表2 头等舱人数预测表

2）二等舱预测表:

表3 二等舱人数预测表

3）三等舱预测表

表4 三等舱人数预测表