中考数学——三角函数专题

三角函数1

一．解答题（共10小题）

1．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？

2．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．

（1）求圆形滚轮的半径AD的长；

（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

3．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583）

4．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A 旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．

（1）如图2，当∠BAC=24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；

（2）如图3，当∠BAC=12°时，求AD的长．（结果保留根号）

（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）

5．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．

（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

6．如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）

7．某住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难，将一条道路辟为停车场，停车位置如图所示．已知矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF=40°．请计算停车位所占道路的宽度EF（结果精确到0.1米）．

参考数据：sin40°≈0.64 cos40°≈0.77 tan40°≈0.84．

8．太阳能是可再生的绿色环保能源，太阳能热水器是最常见的一种太阳能应用方式，如图是某地一个屋顶太阳能热水器的安装截面图．房屋的金顶等腰△ABC中，屋面倾角∠B=21.8°，太阳能真空管MN=1.8m，可伸缩支架MA⊥BC，安装要求安装地区的正午太阳光线垂直照射真空管MN．已知该地正午时直立于水平地面的0.8m长测杆影长0.6m，求符合安装要求的支架MA的长度．（参考数据：tan21.8°=0.4，tan53.13°=，sin53.13°=，tan36.87°=，cos36.87°=）

9．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．

（1）求两支架落点E、F之间的距离；

（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．

（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）

10．图1是小明利用废弃的钢条焊接成的创意书架，现将其结构简化成图2所示的图形，制作过程为：首先将两根钢条OA和OB焊接成∠AOB=45°，OB=70cm，BC=EF=HG=IJ=60cm，焊接点E、G、I分别为BC、EF、HG的中点，钢条KL、CD的长均为30cm，所有在点C，E，G，I，K焊接处的相邻两根钢条互相垂直．

（1）求证：L，J所在直线与直线OA平行；

（2）求书架的高度．（结果保留一位小数，）

三角函数1

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？

【分析】根据已知角的度数，易求得∠BAC=∠BCA=30°，由此得BC=AB=3米；可在Rt△CBF中，根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长，进而由x=BF﹣EF 求得汽车车头与斑马线的距离．

【解答】解：如图：延长AB．

∵CD∥AB，

∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；

∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA；

∴BC=AB=3米；

Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；

∴BF=BC=1.5米；

故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米．

答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．

【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．

2．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．

（1）求圆形滚轮的半径AD的长；

（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

【分析】（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H，则△ABG∽△ACF，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；

（2）求得CF的长，然后在直角△ACF中，求得sin∠CAF，即可求得角的度数．【解答】解：（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H．

则BG∥CF，△ABG∽△ACF．

设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．

则=，即=，

解得：x=8．

则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；

（2）CF=73.5﹣8=65.5（m）．

则sin∠CAF==≈0.77，

则∠CAF=50°．

【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

3．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583）

【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD=cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．

【解答】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．

在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，

∴BC=3cm．

当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．

在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，

∴A′D=A′C′=2cm，C′D=A′D=2cm．

在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，

∴BD==cm，

∴CC′=C′D+BD﹣BC=2+﹣3，

∵=1.732，=4.583，

∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．

故移动的距离即CC′的长约为5cm．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，难度适中，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．

4．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2，当∠BAC=24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；

（2）如图3，当∠BAC=12°时，求AD的长．（结果保留根号）

（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）

【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出sin24°=，进而求出即可；

（2）利用锐角三角函数关系得出sin12°=，进而求出DE，AE的长，即可得出AD的长．

【解答】解：（1）∵∠BAC=24°，CD⊥AB，

∴sin24°=，

∴CD=ACsin24°=30×0.40=12cm；

∴支撑臂CD的长为12cm；

（2）过点C作CE⊥AB，于点E，

当∠BAC=12°时，

∴sin12°==，

∴CE=30×0.20=6cm，

∵CD=12，

∴DE=，

∴AE==12cm，

∴AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数关系是解题关键．

5．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．

（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【分析】延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．

【解答】解：延长CB交PQ于点D．

∵MN∥PQ，BC⊥MN，

∴BC⊥PQ．

∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，

∴．

设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．

∵AB=13米，

∴k=1，

∴BD=5米，AD=12米．

在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，

∴CD=AD?tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，

∴BC≈5.8米．

答：二楼的层高BC约为5.8米．

【点评】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

6．如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD 和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）

【分析】作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，先在Rt△BFH中，利用∠FBH的正弦计算出BF≈48.28，则BC=BF+CF=≈90.3（cm），再分别在Rt △BDQ和Rt△ADQ中，利用正切定义用DQ表示出BQ和AQ，得BQ=，AQ=，则利用BQ+AQ=AB=43得到+=43，解得DQ≈56.999，然后在Rt△ADQ中，利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的长．

【解答】解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，

在Rt△BFH中，∵sin∠FBH=，

∴BF=≈48.28，

∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；

在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ=，

∴BQ=，

在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ=，

∴AQ=，

∵BQ+AQ=AB=43，

∴+=43，解得DQ≈56.999，

在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ=，

∴AD=≈58.2（cm）．

答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

7．某住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难，将一条道路辟为停车场，停车位置如图所示．已知矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF=40°．请计算停车位所占道路的宽度EF（结果精确到0.1米）．

参考数据：sin40°≈0.64 cos40°≈0.77 tan40°≈0.84．

【分析】在直角三角形中，利用三角函数关系，由已知角度和边求得ED和DF，而求得EF的长．

【解答】解：由题意知∠DFC=90°，∠DEA=90°∠DCF=40°

又∵ABCD是矩形

∴AB=CD=5.4米BC=AD=2.2米且∠ADC=90°

∵∠DCF+∠CDF=90°且∠ADE+∠CDF=90°

∴∠DCF=∠ADE=40°

在Rt△DCF中，sin∠DCF=

DF=CDsin∠DCF=5.4×sin40°≈5.4×0.64=3.456

在Rt△DAE中，COS∠ADE=

DE=ADcos∠ADE=2.2×cos40°≈2.2×0.77=1.694

EF=DE+DF≈3.456+1.694=5.2

∴停车位所占道路宽度EF约为5.2米．

【点评】本题考查三角函数关系的利用，正弦和余弦的灵活利用，而求得．

8．太阳能是可再生的绿色环保能源，太阳能热水器是最常见的一种太阳能应用方式，如图是某地一个屋顶太阳能热水器的安装截面图．房屋的金顶等腰△ABC 中，屋面倾角∠B=21.8°，太阳能真空管MN=1.8m，可伸缩支架MA⊥BC，安装要求安装地区的正午太阳光线垂直照射真空管MN．已知该地正午时直立于水平地面的0.8m长测杆影长0.6m，求符合安装要求的支架MA的长度．（参考数据：tan21.8°=0.4，tan53.13°=，sin53.13°=，tan36.87°=，cos36.87°=）

【分析】如图，DE=0.8，EF=0.6，则DF=1，作DQ⊥DF交EF于Q，即使太阳光线垂直于DQ，利用等角的余角相等得到∠Q=∠EDF，在Rt△EDF中，利用三角函数的定义得到cos∠EDF=0.8，sin∠EDF=0.6，再根据相似的判定易得△MNH∽△DQE，则∠MNH=∠Q，在Rt△MNH中，根据三角函数的定义可计算出NH=1.44，MH=1.08；则在Rt△ANH中，利用正切的定义计算出AH=0.576，然后利用MA=MH ﹣AH进行计算即可．

【解答】解：如图，DE=0.8，EF=0.6，则DF=1，

作DQ⊥DF交EF于Q，

∴∠Q=∠EDF，

在Rt△EDF中，cos∠EDF===0.8，sin∠EDF==0.6，

∵△MNH∽△DQE，

∴∠MNH=∠Q，

在Rt△MNH中，∵cos∠MNH==0.8，sin∠MNH==0.6，

∴NH=0.8×1.8=1.44，MH=0.6×1.8=1.08，

在Rt△ANH中，∵tan∠ANH=tan21.8°=，

∴AH=1.44×0.4=0.576，

∴MA=MH﹣AH=1.08﹣0.576=0.504（m）．

答：符合安装要求的支架MA的长度为0.504米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

9．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB 与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，

EG=30cm．

（1）求两支架落点E、F之间的距离；

（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．

（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得出，利用平行四边形的判定与性质进而求出即可；

（2）利用四边形ONHE是平行四边形，进而得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°，利用MP=110sin60°求出即可．

【解答】解：（1）连接EF．

∵CD平行于地面，

∴GD∥EF．

∴．

又∵AB∥EF，

∴AB∥CD．

而OE∥DM，

则四边形OGDN是平行四边形．

∴OG=DN，GD=ON．

∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，

∴GD=40cm，OG=GD=20cm，又EG=30cm，

即，得EF=100cm．

（2）延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．

∵四边形ONHE是平行四边形，

∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．

由于MN=60cm，∴MH=110cm．

在Rt△MHP中，MP=MH?sin∠MHP，

即MP=110sin60°=110×=55≈95（cm）．

答：躺椅的高度约为95cm．

【点评】此题主要考查了解直角三角形以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

10．图1是小明利用废弃的钢条焊接成的创意书架，现将其结构简化成图2所示的图形，制作过程为：首先将两根钢条OA和OB焊接成∠AOB=45°，OB=70cm，BC=EF=HG=IJ=60cm，焊接点E、G、I分别为BC、EF、HG的中点，钢条KL、CD 的长均为30cm，所有在点C，E，G，I，K焊接处的相邻两根钢条互相垂直．（1）求证：L，J所在直线与直线OA平行；

（2）求书架的高度．（结果保留一位小数，）

【分析】（1）连接ED，先求得∠CED=45°，根据内错角相等求得OA∥ED，同理BG∥ED，IF∥BG，HK∥IF，LJ∥HK，即可证得L，J所在直线与直线OA平行；（2）延长JI交直线OA于点M，根据已知求得∠HIJ=∠HGF=∠BEF=90°，求得JM ∥EF，进而求得，∠M=45°，BM=OB=70cm，JB=90cm，进而得出JM=160cm，然后通过解正弦函数即可求得书架的高度．

【解答】解：（1）连接ED，

∵焊接点E为BC的中点，BC=60cm，

∴EC=CD=30cm，

∵CD⊥EC，

∴∠CED=45°，

∴∠AOB=∠CED，OA∥ED，

同理BG∥ED，IF∥BG，HK∥IF，LJ∥HK，

∴LJ∥OA；

（2）延长JI交直线OA于点M，

∵所有在点C，E，G，I，K焊接处的相邻两根钢条互相垂直，

∴∠HIJ=∠HGF=∠BEF=90°，

∴JM∥EF，

∵BE=IG=IK=KJ=30cm，

∴JM过点B，∠M=45°，BM=OB=70cm，JB=90cm，

∴JM=160cm，

∴书架的高度为：JM?sin45°=80≈113.1（cm）．

【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解直角三角函数，把实际问题转化成为解直角三角形的问题是解题的关键．