《幂函数》教学案例与反思

《2.3幂函数》教学案例

遵义四中 石偲星

1.教学设计

1.1教材的地位和作用

《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。

1.2教学目标

1.2.1基础知识目标

（1）理解幂函数的概念，会画幂函数2

1132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；

（2）能应用幂函数性质解决简单问题。

1.2.2能力训练目标

（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；

（2）使学生进一步体会数形结合思想。 1.3教学重、难点

重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。 突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。 1.4学情分析

学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。

1.5教学用具

本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。

2.教学过程

2.1温故知新，引入新课：

问题1：我们都学习过2,2x y y x ==，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？ （学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答） 同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。

同学2：这两个函数自变量位置不同:。

教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而x

y 2=

是我们学习过的指数函数，对于2x y =这个函数我们将进一步分析。

2.2合作探究，新课讲授：

问题2：分析课本中的具体问题：

①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付w p =元，这里p 是w 的函数；

②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数；

③如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；

④如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数。 能发现上述函数解析式有什么共同特征？是否为指数函数？

（我此时把解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，引导学生归纳总结，培养学生归纳能力并能正确的表达出来，有同学已经观察出规律并举手发言）

同学3：这几个函数的底数都是变量，指数位置都是常数。

同学4：函数前面的系数都是1。

同学5：指数位置有正有负。

教师：同学们总结的都非常好，经过同学们的分析总结，我们可以得出幂函数的定义，即：一般地，形如αx y =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

（趁热打铁，马上提出问题）

问题3：判断下列函数是否为幂函数？

（1）23x y =（2）23+-=x y （3）x y 1

=（4）1=y

（学生独立思考，回答问题，分析是不是幂函数，不是，说明原因。这个过程主要是培养学生运用新知识去解决问题，表达问题的能力，并且进一步巩固概念，强化学生对概念形式特征的把握。学生一起回答是与否，第四个产生了分歧，这时我就给学生几分钟讨论思考，引导学生分析函数1=y 能不能写成幂函数的形式，也就是0x y =的形式。显然不行。学生也纷纷在下面点头赞同）

问题4：已知函数12)1(-++=m m x m y 是幂函数，求m 的值。

（本题是对幂函数概念的进一步深化总结，本题请同学思考并到黑板上展示答案，与学生交流）

学生黑板上展示解题过程：

解：因为函数12)1(-++=m m x

m y 是幂函数，所以,11=+m 即。0=m 这个幂函数是1-=x y 。

教师：非常好，进一步思考当m 为何值时，函数是正比例函数？反比例函数？二次函数？

同学6：当112=-+m m 时，也就是12=-=m m 或时，函数是正比例函数；

当1-12=-+m m 时，即10-==m m 或时，函数是反比例函数；

当212=-+m m 时，也就是2

131±-=m 时，函数是二次函数。 教师：其他同学还有不同意见么？

（学生马上有很多同学说自己观点，大部分同学发现了些问题，此时老师不马上说出问题，让学生自己发现问题）

同学7：要检验，当1-=m 时，01=+m 所以不能是反比例函数。

教师：同学们总结的很好，说明同学们已经掌握幂函数的定义，接下来我们研究幂函数的性质。我们以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-这五个函数为例，那么我们怎么研究它们的性质呢？一般方法是什么？

（学生已经学习了指数函数对数函数，想了解函数性质就通过画图象，学生很快作答，老师在黑板上画出直角坐标系，和学生一起画一次函数x y =，二次函数2x y =，反比例函数1-=x y 的图象，这期间老师引导学生用基本的描点法画图象，让学生熟悉画图的一般步骤，有助于学生画出剩下两个不熟悉的函数图象） 教师：那么还有x y x y ==和3的图象，请同学们用描点法画出这两个函数图象。 （同学在本上画图，老师与学生交流查看画图情况，请两位同学在黑板上画图象。学生纷纷观察是否与自己的图象相同）

问题5：画图后填表，观察有什么性质？

（学生一起说过定点，有些同学有了一点想法，于是我请学生说了他们的观点）

学生8：我发现幂函数的图象都在第一象限，二、三象限有的有图象有的没有图象，第四象限没有幂函数图象。

（学生从图象中直观观察到了图象特点，我就利用这个特点，继续引导学生思考） 教师：那么为什么会出现这种情况呢？二、三象限有的图象跟函数的什么性质有关系？ （学生展开讨论，有学生主动站起来回答）

学生9：幂函数第一象限肯定有图象，那么第四象限就一定没有，因为函数不能一对多。

二、三象限有没有图象，看函数奇偶性就可以了。

（下面学生表示同意，给出了热烈的掌声，我就总结了一句，也就是说我们只要确定了第一象限的图象变化趋势，那么根据函数定义和奇偶性就能判断其他图象了，学生纷纷点头表示赞同）

教师：那么第一象限的图象有什么特点呢？

（学生很快做出了回答）

学生10：第一象限有增有减。

教师：图象的增减性跟幂函数的什么有关系？

（这是我有意在黑板上题型学生同时看幂函数的图象和解析式，让学生观察发现问题，锻炼他们的概括能力，学生思考2分钟大部分看出与常数α的正负有关）

学生11：我发现，当0>α时，图象增，当0<α时，图象减。

教师：特别好，这样我们来总结一下幂函数在第一象限的性质？

（学生填写导学案，我与学生一起完成总结，幂函数在第一象限性质：当0>α时，图象都过定点)1,1(),0,0(，单调递增； 当0<α时，图象都过定点)1,1(，单调递减。）

问题6：幂函数的性质是什么？

教师：请同学们用两句话总结一下幂函数的性质？

（这里学生要从特殊到一般总结性质，有一定难度，所以我引导学生可以从图象，定点，单调性，奇偶性方面来总结。学生分组讨论得出一般化结论，总结出幂函数图象不过第四象限，过定点)1,1(，第一象限当0>α时图象单调递增， 当0<α时图象单调递减；若幂函数是奇函数则图象关于原点对称，若幂函数是偶函数则图象关于y 轴对称）

问题7：能否根据幂函数性质解决一些问题呢？已知幂函数)

()(*322N m x x f m m

∈=--的图象关于y 轴对称，且在),0(+∞上是减函数，求m 的值。

（本题在性质总结后提出，目的是让学生巩固幂函数性质，知道如何去应用。我分析了本题条件，引导学生分析这个函数的单调性和奇偶性，分析322--m m 的正负，学生很快得出了结论。） 2.3课堂小结：

这节课我们最重要的是研究幂函数的一般性质，学生总结幂函数定义以及性质，加深对知识的掌握。

3.教学评价

3.1专家点评

本节课后，贵州师范大学吕传汉教授和重庆市江北区教师进修学院易中建教授对本节课做了点评。

吕传汉教授首先介绍了现在新课标的理念——培养学生的核心素养。“核心素养”是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。核心素养的建构在推动课程改革的同时，对学业质量评估测量也带来了机遇和挑战。高中阶段数学科主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析六大核心素养。他提出“教思考，教体验，教表达”（以下简称“三教”）的教育理念

来培育学生的核心素养。“教思考”重在让学生学会辩证思考；“教体验”重在引导学生在“做中学”中获得学习体验和科研方法体验；“教表达”重在培养学生“表达、倾听、交际”的能力。

结合本节课，吕教授主要从这三个方面来点评了这节课。首先，教思考，重点是老师的引导。这有很多方面，包括板书，PPT 和教师的语言，手势等。现在教学更提倡粉笔+黑板+PPT 的形式，关键的定义和公式通过板书能更好的让学生去总结，思考问题。其次，教体验，主要是教师的指点+学生体验。本节课中重点是让学生体验幂函数画图的过程，复习描点法，在这个过程中有复习旧知识体验新知识的过程，但这个过程一定是在老师教的基础上，让学生去体验，不能直接让学生自己画图，没有老师的引导，学生学起来也很困难。再次，教表达，体验的过程中有学生在黑板上展示答案，那么老师就顺势让学生表达自己的做题思路，与学生交流互动，这样比老师教能达到更好的效果。教表达的同时，要注意信息的利用和挖掘。这节课学生回答了1=y 这个函数不能写成0x y =，那么就顺势问他0x y =是不是幂函数，做一个对比，深层次挖掘学生对知识的掌握情况，显得知识更自然，学生学起来更灵活。最后，本节课留1-2个问题给学生讨论，不用每一个问题都讨论，一节课老师是主导，学生是主体，但也要有老师的引导学生才能更明确自己的讨论目标。

易中建教授提出新课程下教学的四个基本原则：目标原则、结构原则、自然原则和情感原则。目标原则，即目标不应颠倒，应层层递进，应重在学生未来的发展上。目标包括：

1、知识技能思想方法目标；

2、潜能目标（数学素养，未来发展）。结构原则是指教学的全过程中始终有把教学材料组织成有序，有内在逻辑，联系紧密甚至深刻的体系，从而内化为学生头脑中的认知结构的意向。自然原则即知识的引入要自然， 知识过渡要自然，知识的发生发展要自然，解题的方法也要自然。情感原则即注重师生之间的情感沟通，这是调动学生学习内驱力的很重要的一方面。

基于这四个原则，易教授给出了关于本节课的几点说明。1、本节课的目标不易过多，两个即可，一个是知识目标，一个是能力素养的目标，这节课主要是培养学生的数学抽象、逻辑推理能力。所以，每一个教学环节都要针对这个素养去设计，从细节中培养学生的核心素养。2、自然原则方面，从定义到性质没有很自然的过渡，在学生分析完例1的四个函数特别是1=y 这个函数之后，马上很自然的分析幂函数的特征，系数都是，自变量位置相同，只有指数位置的常数不同，那么很自然的指出常数α不同，幂函数的图象和性质也不相同，所以自然而然的根据常数α去分类，分0,00=<>ααα，三类，而不是讲完定义马上去研究性质，这样学生不了解为什么去研究性质，也不容易发现常数α对幂函数性质的影响。

3、结构原则 ，本节课的结构还是很清晰，但引入上要选择典型的例题，如正方形的例子学生已经很熟悉，建议不用引出，书上5个例子过多，直接引出立方体的例子就可以了，学生也会很快发现结构特征，节省时间的同时也很自然。

4、情感方面，老师与学生的互动还是有所欠缺，没有调动学生的积极性。

3.2同伴点评

同伴1：对于这节课，我的感受是思路清晰，但是有一个疑问就是小组讨论的问题，我们都提倡小组讨论，但是讨论就真的有效么？4人一组还是6人一组效果好呢？值得我们去思考。学生积极程度感觉不高，回答问题的都集中在几个学生身上，没有让全班同学都参与其中。

同伴2：这节课收获很多，值得学习的地方就是引导学生用描点法画图象，让学生体验

画图的过程从而总结性质，但是我有一个疑问就是我们要怎样提高学生学习的积极性，怎样能增强他们学习数学的兴趣，这是我一直思考的问题。

3.3学生反馈

本节课结束后，我让每一名同学写了对这节课的想法，学生给了我很多宝贵的意见，下面是几名学生的原话。

学生1：课上大部分能听懂，但做题却不会，有些跟不上老师的思路，似懂非懂。

学生2：对于这节课，印象很深刻，上课方式思考方式大抵都是我们自己完成，而老师则是一个领导作用。而且我也喜欢那种自己由例题得出的结论，而不是用结论去解答例题。

学生3：这节课老师讲得不错，但在例题的讲解上，题眼判断部分可以着重讲一下。

学生4：那节课，学了幂函数，但对于幂函数，我感觉拿来不知道干什么，拿来有什么用，我觉得我们总在学习别人研究的成果，我都不知道那东西到底怎么来的。听到能懂，就是做题还是不会做的感觉，希望老师以后讲课注意：1、注重培养学生的抽象思维能力；2、不仅要向学生讲公式定理的运用与形式，也讲一下来源；3、从教学一开始就注重方法的传授。

学生5：幂函数的课状态很好，课堂内容也比较简单，课堂氛围积极、活跃，这是一种美好的课堂，如果师生都会更好的融入这堂课，那么这堂课的效率会提高。

学生6：今天的课，对幂函数的定义基本了解，幂函数的图象特点也掌握了，我感觉这节课老师讲的很清楚，数字与图象相互映证，让人感觉很直观。

学生7：有时遇到题真的不会做，上课懂了，一做题就懵了，不懂它的由来，往深处想越想越不懂，去懂得它的来源，它在生活中的作用，被用在什么地方上知己知彼，百战百胜，了解了它自然就会解决它。

3.4自我反思

听了各位专家以及同行的点评，结合学生反馈，我对我自己本节课做了以下反思：

1、在教学过程中，我引用指数函数，二次函数做对比，引出幂函数，结合生活中的五个例子让学生通过观察，归纳总结出幂函数定义，在这个教学过程中，学生容易把幂函数和指数函数混淆，五个例子用的过多，我的改进办法是直接引用立方体的两个例子即可，又快又明确，学生很熟悉的例子就可以省略掉。

2、在研究幂函数性质的时候，对α进行分类来研究性质显得不够自然。根据吕教授和易教授的点评以及学生反馈来看，学生更希望知道我们为什么这样来研究这个知识，而不是仅仅告诉学生这个知识本身，所以我的改进办法是在定义后的例1之后分析幂函数的区别与联系，发现α同，幂函数不同，从而根据α的取值去研究性质，这样我们对α去分类就会显得很自然。

3、新课改要求我们培养学生的核心素养，那么我们就要通过让学生思考，分析然后表达这样的过程去培养学生的分析问题能力，概括能力，总结能力。而我的这节课在让学生分析表达方面做的不够，没有让学生充分的去思考问题，讨论的时候还不够长，学生学习的热情不够高，对此问题，我认为我今后要从自身的语言，表达，板书各个方面去探索如何通过教学过程培养学生的多方面素养。

总之，本次活动有一点让我有很深刻的感受就是：一定要饯行“三教”加“四原则”，运用情景教学的模式，把课堂交给学生，把时间交给学生，把知识教给学生，只有这样，才能真正上好数学课，成为一名优秀的数学教师。