(完整版)高一函数单调性完整版

函数的单调性

1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应

用函数的基本性质解决一些问题。

（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和

单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

（1）判断或证明函数的单调性；

（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念;

2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;

3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.

自学评价

观察函数x x f =)(，2

)(x x f =的图象

从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的，

2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2

)(x x f =在]0,(-∞ 上，

f （x ）随着x 的增大而_______;2

)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.

一、 函数的单调性

1．单调函数的定义

（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

x

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

※ 增函数、减函数的定义 ;

2、单调性的判定方法 （1）定义法：

判断下列函数的单调区间：21x

y =

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在]

,[b a 上也是单调函数。

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间

为 ．

（2）5

412

+-=

x x y 的单调递增区间为 ．

3、函数单调性应注意的问题：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在

上

增函数: )()(2121x f x f x x ?<

x y 0 x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x y 0

x 1 x 2 f(x 1)

f(x 2)

是增（或减）函数

例题精讲;

二函数单调性的证明

．例题分析

例1，证明：函数1

()f x x

=

在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，

则21

121212

11()()x x f x f x x x x x --=-=，

由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >

所以，1

()f x x

=在(0,)+∞上是减函数。

说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x

y 1

=不能说

)0,(-∞Y ),0(+∞是原函数的单调递减区间；

练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3

()1f x x =+的单调性。

2

．根据单调函数的定义，判断函数()f x =

例2，,下图是定义在区间[-5，5]上的函数

f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？

思维点拔: ,

例3， 物理学中的玻意耳定律V

k

p =

（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积

V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数V

k

p =在区间()+∞,0上是减函数即可.

三，函数单调性的应用

例4．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y

x

) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．

（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (

x

1

) ＜2 ． .解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()6

36

(

==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f x

f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，

故不等式等价于：.23153036

)3(00103-<

???<+<>>+x x x x

x

例5．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是

减函数？试证明你的结论．

.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1． f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋2

2x )2＋43x 22

］．

∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋

2

2x )2＋43x 22

＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．

∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

例6．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．

.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．

f (x 1)－f (x 2)=2

11x -－2

21x -=

2

2

2

12

22111)1()1(x x x x -+----=

2

2

2

1121211))((x x x x x x -+-+-

∵x 2－x 1＞0，2

22111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．

故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．

例7．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)

上为单调函数．

.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则

f (x 1)－f (x 2)=12

1+x －12

2+x －a (x 1－x 2)=

1

12

22

122

21+++-x x x x －a (x 1－x 2)

=(x 1－x 2)(

1

12

22

12

1++++x x x x －a )

(1)当a ≥1时，∵

1

12

22

12

1++++x x x x ＜1，

又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=2

12a

a

-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中

1

12

22

12

1++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;12

2+x ＞x 2；

③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．

例8．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值

范围．

解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数

∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )

∴??

??

??

???

<<<-<<-?????-<-<-<-<-<-32232

1

3

1211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)

例9．已知函数f (x )=x

a

x x ++22，x ∈［1，＋∞］

（1）当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值；

（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． .解析： (1)当a =

21时，f (x )=x ＋x

21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋

1122121x x x -

-=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121

x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－

2

121

x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=

2

7

． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=x

a

x x ++22＞0恒成立?x 2＋2x ＋a ＞0恒成立

设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，

当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．

【拓展训练】

1.下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )

A.y=3x

B.y=-x 2

C.y=︱x ︱

D.y=2x+1 2.函数3)1()(-+=x k x f 在),(+∞-∞上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1 3.函数1062

+-=x x y 在区间（1，4）上为（ ）函数.

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增 4．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）

A.f(-1)

B.f(0)

C.f(1)

D.f(-1)

x x f 2

3)(-=在区间)0,(-∞上是增函数.

课后作业：

函数单调性练习

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（ ）

A ．y =2x ＋1

B ．y =3x 2＋1

C ．y =

x

2

D ．y =2x 2＋x ＋1

2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，

则f (1)等于 （ ）

A ．－7

B ．1

C ．17

D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）

A ．(3，8)

B ．(－7，－2)

C ．(－2，3)

D ．(0，5)

4．函数f (x )=21

++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．(0，21)

B ．( 2

1

，＋∞)

C ．(－2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）

A ．至少有一实根

B ．至多有一实根

C ．没有实根

D ．必有唯一的实根

6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）

A ．在区间(－1，0)上是减函数

B ．在区间(0，1)上是减函数

C ．在区间(－2，0)上是增函数

D ．在区间(0，2)上是增函数

7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式

|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是

（ ）

A ．(－1，2)

B ．(1，4)

C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）

D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）

8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5

－t )，那么下列式子一定成立的是

（ ）

A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)

B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)

C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)

D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)

9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是

（ ）

A ．]1,(],0,(-∞-∞

B ．),1[],0,(+∞-∞

C ．]1,(),,0[-∞+∞

D ),1[),,0[+∞+∞

10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）

A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］

B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )

C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］

D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )

12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）

A ．f (－1)＜f (3)

B ．f (0)＞f (3)

C ．f (－1)=f (－3)

D ．f (2)＜f (3)

二、填空题：

13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f

x =-的单调递减区间为 .

16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．

参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ??

? ?

?-∞-2

1,

。