天津市河西区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

天津市河西区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）

A ．(4,1,0)-

B ．(4,1,4)--

C ．(4,1,0)-

D ．(4,1,4)--

2．设P 是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>上的一动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）

A ．2b

B ．2a

C ．b

D ．a 3．抛物线214x y =

的准线方程是（ ） A ．116x = B ．116x =- C ．2x =- D ．1x =- 4．中心在坐标原心、焦点在x 轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为( )

A ．22

x y 18172+= B ．22x y 1819+= C ．22x y 18145+= D ．22x y 18136+= 5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a AA c BC b ===，则BM 可表示为（ ）

A ．1122a b c -++

B ．1122

a b c ++

C ．1122a b c --+

D ．1122

a b c -+ 6．已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为

A ．23x y =

B ．23x y =

C ．28x y =

D ．216x y = 7．若两个向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==,则平面ABC 的一个法向量为（ ） A ．()1,2,1-- B ．()1,2,1 C ．()1,2,1- D ．()1,2,1- 8．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．设12F F 、分别为双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，12F F 、为直径的圆交双曲线某条渐近线于M N 、两点，且满足120MAN ?∠=，

则双曲线的离心率为（ ）

A B C ．23 D ．3

二、双空题

10．若向量(,1,3)a x =-，向量(2,,6)b y =，且//a b ，则x =_____，y =_____. 11．在空间直角坐标系O xyz -中，(2,2,2)a x y =--，(3,2,3)b x y x =-，

且12a b ?=，则22

2m x y x =++的最小值是________，最大值是__________.

三、填空题 12．若双曲线22

1916

x y -=上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右焦点的距离是 .

13．若方程22

151

x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是_____.

14．在空间直角坐标系O xyz -中，(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为______.

15．已知过点M （1，0）的直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 方程为______．

四、解答题

16．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142

-=y x 有相同的渐近线，且经

过点M .

（1）求双曲线C 的方程；

（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点.

（1）证明：//PA 平面BDE ；

（2）求二面角B DE C --的余弦值；

（3）若点F 在线段PB （不包含端点）上，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长.

18．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的

右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

由111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =，则122

212(,,)m n x x x y z z -=---，代入运算即可得解.

【详解】

解:因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，

则2(4,0,2)a =-,

则2a b -=(4,1,0)-,

故选:C.

【点睛】

本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.

2．B

【分析】 由椭圆的定义122PF PF a +=即可得解.

【详解】

解：设椭圆的两个焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的点， 由椭圆的定义有：122PF PF a +=，

故选：B.

【点睛】

本题考查了椭圆的定义，属基础题.

3．D

【分析】

先将抛物线方程化为标准方程，再求抛物线的准线方程即可.

【详解】 解：由抛物线的方程为214

x y =，

化为标准式可得2

4y x =，

即抛物线24y x =的准线方程是：1x =-，

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的准线方程，属基础题.

4．A

【分析】

根据条件，求得a 、b 、c 的值，进而可得椭圆的标准方程．

【详解】

由题可得218a =，26c =，故281a =，272b =，

又焦点在x 轴上，所以所求椭圆的标准方程为2218172x y +=， 故选A ．

【点睛】

本题考查了椭圆标准方程的求法，注意焦点的位置，属于基础题．

5．A

【解析】

111111()()2222

BM BB B M c BA BC c a b a b c =+=++=+-+=-++,故本题正确答案为.A

6．D 【解析】

由e=c a =2得4=22c a =1+2

2b a

, ∴2

2b a

=3.

∴双曲线的渐近线方程为抛物线x 2=2py 的焦点是（0,2

p ）,

它到直线

x 的距离d=2=22p ±=4p , ∴p=8.

∴抛物线方程为x 2=16y.

故选D.

7．A

【分析】

设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.

【详解】

设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，

则00

n AB n AC ??=??=?，即230320x y z x y z ++=??++=?，令1x =-，则2,1y z ==-， 即平面ABC 的一个法向量为(1,2,1)n =--，故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于,,x y z 的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

8．B

【分析】

求出A 点坐标，作O 关于准线的对称点M ，利用连点之间相对最短得出||AM 为||||PA PO +的最小值．

【详解】

解：抛物线的准线方程为2y =-，

∵||4AF =，∴A 到准线的距离为4，故A 点纵坐标为2，

把2y =代入抛物线方程可得4x =±．

不妨设A 在第一象限，则(4,2)A ，

点O 关于准线2y =-的对称点为4(0,)M -，连接AM ，

则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+≥

故||||PA PO +

的最小值为||AM ==

故选：B ．

【点睛】

本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．

9．B

【分析】

先求出双曲线的渐近线方程，然后求出(,),(,)M a b N a b --，再利用向量数量积运算即可得解.

【详解】 解：由双曲线方程为22

221x y a b

-=， 则其渐近线方程为b y x a

=±， 联立222

222x y c b y x a c a b

?+=??=??=+??，解得x a y b =??=?或x a y b =-??=-?， 即(,),(,)M a b N a b --，

又(,0)A a -，

则(2,)AM a b =，(0,)AN b =-，

则21()2AM AN b ?=-=

-， 解得2234b a =，

即2223()4c a a -=，

即2237c a =，

即3

c e a ==， 故选：B.

【点睛】

本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线的离心率，属中档题.

10．1 -2

【分析】 由题意可得

1326x y -==，再求解即可. 【详解】

解：由向量(,1,3)a x =-，向量(2,,6)b y =，且//a b ， 则1326

x y -==， 解得：x 1,y 2==-，

故答案为：1，-2.

【点睛】

本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.

11．0 8

【分析】 先利用空间向量数量积运算可得22

143

x y +=，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解.

【详解】

解：因为(2,2,2)a x y =--，(3,2,3)b x y x =-，且12a b ?=，

所以2223(2)(2)(2)(3)3412x x y x x y -++-?-=+=， 即22

143

x y +=，

设2cos ,x

y θθ==，

则22222224cos 3sin 4cos cos 4cos 3(cos 2)1m x y x θθθθθθ=++=++=++=+- ，

又[]cos 1,1θ∈-，

则min 0m =，max 8m =

故答案为：0，8.

【点睛】

本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.

12．10

【解析】

试题分析：由双曲线方程可知293,26a a a =∴==，由定义122PF PF a -=得

210PF =

考点：双曲线定义

点评：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于2a

13．(3,5)

【分析】

由椭圆的几何性质可得501015m m m m ->??->??->-?

，再解不等式组即可得解.

【详解】

解：由方程22

151

x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆， 则501015m m m m ->??->??->-?

，解得：513m m m ??>?，即35m <<，

故答案为：(3,5).

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，属基础题.

14

【分析】

先求出向量OA 与BC 所成角的余弦值，再求异面直线OA 与BC 所成角的余弦值即可.

【详解】

解：由(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，

则(1,2,1)OA =-,(1,0,1)BC =-,

则向量OA 与BC

所成角的余弦值为36OA BC

OA BC

?==

-, 则异面直线OA 与

BC 【点睛】 本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了空间向量的应用，属基础题.

15．2x +y -2=0

【分析】

设直线AB 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式，可得t 的值，进而得到直线的方程．

【详解】

依题意可设直线AB 的方程为：x=ty+1，代入y 2=2x 得2220y ty --=，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=-2，y 1+y 2=2t ， 所以12121212122()22422OA OB y y y y t k k t x x y y y y ++=+=+===--，∴21t -=，解得12t =-， ∴直线AB 的方程为：x=12

y -

+1，即2x+y-2=0． 故答案为2x+y-2=0．

【点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．

16．（1）2

2

12y x -=；（2）实轴长2

【分析】

（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；

（2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可.

【详解】

解：（1）解：在双曲线22

142

-=y x 中，2a '=

，b '=，

则渐近线方程为a y x b

'

'=±=， ∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22

142

-=y x 有相同的渐近线，

b a

∴=， ∴方程可化为22

2212x y a a

-=， 又双曲线C

经过点M ，代入方程，

222212a a

∴-=，解得1a =

，b =

∴双曲线C 的方程为2

2

12y x -=. （2）解；由（1）知双曲线2

2

:12y C x -=中，

1a =，b =c =

∴实轴长22a =，离心率为==c e a

设双曲线C 的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，

d ∴==，

.

【点睛】

本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.

17．（1）证明见解析（23）3

【分析】

（1）建立以D 为坐标原点，分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；

（2）求出平面BDE 的一个法向量，平面DEC 的一个法向量，再利用数量积公式求解即可； （3）假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，由0PB DF ?=求解即可.

【详解】

证明：（1）以D 为坐标原点，分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,2,0)B ，

则(2,0,2)PA =-，(0,1,1)DE =，(2,2,0)DB =，

设1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，

则由11

00n DE n DB ??=???=??，得0220y z x y +=??+=?，取1y =-，得1(1,1,1)n =-. 1220PA n ?=-=，1PA n ∴⊥，

又PA ?平面BDE ，

//PA ∴平面BDE .

（2）解：由（1）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，

又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量.

设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>，1122

123cos cos ,n n n n n

n θ?∴=<>==?, 故二面角B DE C -- （3）假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，

设(01)PF PB λ

λ=<<，(,,)F x y z

则(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-，

(2,2,22)F λλλ∴-，(2,2,22)DF λλλ=-，(2,2,2)PB =-，

由0PB DF ?=得442(22)0λλλ+--=， 解得13

λ=， 224,,333F ??∴ ???

，

则2||3DF ?==

【点睛】

本题考查了空间向量的综合应用，重点考查了运算能力，属中档题.

18．（1）2214x y += （2）2y x =- 【解析】

试题分析：设出F ，由直线AF 的斜率为3

求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF 的斜率为3

，()0,2A -

所以2c =c =

又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，

所以椭圆E 的方程为2

214

x y +=.

（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y

由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-， 联立2

21{42,

x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，

当()216430k ?=->，所以234k >

，即2k <-

或2

k >时 1212221612,1414k x x x x k k

+==++. 所以

PQ =

=

=点O 到直线

l 的距离d =

所以21214OPQ S d PQ k

?==+

， 0t =>，则2243k t =+，

244144OPQ t S t t t

?==≤=++， 当且仅当2

t =2=，

解得k =时取等号， 满足234

k > 所以OPQ ?的面积最大时直线l

的方程为：2y x =

-

或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的

有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.