高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录

课题：函数的单调性与导数

时间、地点2016年9月26日

主持人赵纯金

参与者张泽成黄翼

备课设想教材分析

本节的教学内容属导数的应

用，是在学生学习了导数的

概念、计算、几何意义的基

础上学习的内容，学好它既

可加深对导数的理解，又可

为后面研究函数的极值和最

值打好基础。由于学生在高

一已经掌握了单调性的定

义，并能用定义判定在给定

区间上函数的单调性。通过

本节课的学习，应使学生体

验到，用导数判断单调性要

比用定义判断简捷得多，充

分展示了导数解决问题的优

越性。

学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。

教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区

间，能由导数信息绘制函数

大致图象。2.培养学生的观

察能力、归纳能力，增强数

形结合的思维意识。3.通过

在教学过程中让学生多动

手、多观察、勤思考、善总

结，引导学生养

重点难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区

间。

难点：利用导数信息绘制函

数的大致图象。

教学方法 探究式教学，分组讨论，讲练结合等

教学策略

1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法

在处理一些单调性问题时难

度较大，这样易激发学生的

学习兴趣。2.本节课宜适当

采用多媒体课件等辅助手段

以加大课堂容量，通过数形

结合，使抽象的知识直观化，

形象化，以促进学生的理解.

二．教学过程：

（一）复习回顾，知识梳理

1． 常见函数的导数公式：

；；；．

2．法则1 ．

法则2 , ．

法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '='

2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ?????

y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f ( (x ))在点x 处也有导数，且 或f ′x ( (x ))=f ′(u ) ′(x )．

4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

5．对数函数的导数： ． 6．指数函数的导数：； ．

（二）讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函

数y=f(x)的导数．从函数的图像

可以看到： 的值随着x 的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

2．用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数f (x )的导数f ′(x )．

②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间。

③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间。

（三）、讲解范例

例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个

区间内是减函数。

解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2．

令2x －2＞0，解得x ＞1． ∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．

令2x －2＜0，解得x ＜1．

∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．

例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数

解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x

令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．

当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．

?x u x u y y '''?=??x x 1)'(ln =e x

x a a log 1)'(log =x x e e =)'(a a a x x ln )'(=342+-=x x y /y ∞+∞-/y <∞-/y /y y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0

321f x () = x 2-4?x ()+3x O y B

A 21f x () = x 2-2?x ()+4x O y f x () = 2?x 3-6?x 2()+7y

令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．

∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．

例3证明函数f (x )=在(0，+∞)上是减函数． 证法一：（用以前学的方法证）

证法二：（用导数方法证）

∵f ′(x )=( )′=(－1)·x －2=－，x ＞0，∴x 2＞0，∴－＜0． ∴f ′(x )＜0，∴f (x )=

在(0，+∞)上是减函数。 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间．

解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1)

=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )

令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜． ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞且x ≠1． ∵为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(

，+∞) 例5当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x ．

分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x ．∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明。

证明：令f (x )=e 2x －1－2x ． ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x －1)

∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x －1)＞0, 即f ′(x )＞0

∴f (x )=e 2x －1－2x 在(0，+∞)上是增函数。

x 1x 121x 21x

21x 52525

21x =5212

5

f x () = x 2?1-x ()3

x O y

∵f (0)=e 0－1－0=0．∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x －1－2x ＞0． ∴1+2x ＜e 2x

点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。

例6已知函数y =x +，试讨论出此函数的单调区间。 解：y ′=(x +)′ =1－1·x －2= 令

＞0． 解得x ＞1或x ＜－1．

∴y =x +的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． 令＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1． ∴y =x +

的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． （四）课堂练习

1．确定下列函数的单调区间

(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3

2．讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间．

3．求下列函数的单调区间(1)y = (2)y = (3)y =+x （五）小结

f (x )在某区间内可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数

（五）.课后作业 步步高P285-286

三．教学反思：本节课通过观察分析、小组讨论，加深了学生对函数单调性与导数关系的理解，但在x 1x 12

22)1)(1(1x x x x x -+=-2)1)(1(x x x -+x 12

)1)(1(x x x -+x 1x

x 2+92-x x x -22-11f x () = x+1

x

x O y

练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢，运用时不熟练且易出错，所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。