数理方程论文
数学物理方程论文
——基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究
基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究
在数学、物理、化学以及生物等领域中，人们遇到大量的非线性现象，这些现
象的表现形式虽然千差万别，但其运动规律却具有相似的数学模型。一般地，它们
可以用常微分方程和偏微分方程的数学模型来描述。许多偏微分方程通过空间离散
化可以化为常微分方程的初值问题。
传统上，人们从两个极端不同的出发点来理解和掌握常微分方程问题。纯数学
家对问题认识深刻，推导严密，并采用大范围整体化的定性知识；而数值分析家通
过构造富有技巧的算法，以获得只有很小的误差的离散解，他们一般不考虑整体的
定性性质。孰优孰劣?这要视具体问题具体分析。如果要问到：“局部误差多大?”
这个问题大可以由传统的数值分析方法来解决。事实上，真实的物理过程都不是极
端的。在数学物理问题的研究中，问题所属的物理学、力学和工程技术本身的特殊
规律，常常会在问题进行严格数学处理之前，提示求解问题定性的思想和方法，并
促使具体问题的解决。本文强调应将微分方程的几何性质等定性信息与数值计算有
机地结合起来，进而处理实际问题。
大部分在物理学中显示巨大威力的新的数学思想均来自于几何与分析的交叉。
我们可以简单地回顾微分方程与几何学不可分割的历史渊源。18世纪以前的物理学
家和自然哲学家，如Copemies，Galileo，Kepler,Newton等都对几何学非常熟悉，他们常用几何概念来表达其物理思想。在19世纪，Descartes对Euclid几何引入坐标后，将几何学的研究看成是代数和分析的应用，这引起了几何学的革命，促进了在
几何学中各种分析工具的应用。与此同时，在物理学中利用坐标概念将自然定律表
示成微分方程，促进了物理学的发展。在此阶段，多数物理学家主要注意对物理体
系局域运动性质的探讨，对运动实体的内部对称性及大范围整体性质往往注意不
足。拓扑学与微分几何在物理学的重要性常被忽视。19世纪中叶，Maxwell从实验
观察总结出电磁现象的运动方程，注意到Maxwell方程组的共性不变性。Lorentz。Minkowski之后，直到20世纪初，Einstein提出了狭义相对论，人们才进一步深入
认识到了时空的基本几何特性的重要性。这时主要应用的数学工具是微分方程及群
论分析等。长期以来，微分方程在自然现象的数学研究中起到了决定性的作用，人
们充分认识到，通过研究微分方程的几何性质，可以获知它的真解的关键性的定性
特征。其中最重要例子是Alexander Rowan Hamilton提出的力学定理，它使人们可
以用更复杂的几何工具来理解和研究刚体体系及复杂体系的力学性质，可以用相应
的Hamilton函数的对称性的概念来理解研究诸如能量、线性动量和角动量等Hamilton系统的守恒性质。用以研究微分方程另一个同样重要的几何方法是应用有Sophus Lie开创的基于对称性的方法。20世纪80年代以来，随着非线性微分方程
研究的需要，通过微分方程的对称性来研究非线性方程的性质，特别是用于简化或
完全求解微分方程，已成为一个十分重要的课题。
在实际生活中，许多微分方程是在一个李群或流形上通过李群作用而展开的，
流形提供了动力学微分方程发展的抽象定义域，李代数给出了动力学方程所定义的
结构。人们日益重视流形上微分方程的数值解问题，其主要目的在于数值方法的设
计要足以保证数值解在解析解发展的流形之上。为此很多学者进行了研究‘4叫，尽
管早在19世纪末、20世纪初这些数值方法赖以发展的基本结果已经存在，然而直
到近几年人们才研究了实用的数值计算法。数值离散这种微分方程时，保持其李群
结构是最基本的。本文介绍保持近似解落在原流形上的李群方法，即RKMK方法
【lo】，RKMK方法是求解构形空间在一个微分流形(或李群)上的一种推广的
Runge．Kutta方法【ll。”。其主要思想是把李群上展开的微分方程变换为与之相应的
李代数上展开的等价的微分方程后，所的指数映射回李群便可得到原微分方程的数
值解。，它能保证所得的数值解在正确的微分流形上进行迭代。李代数是矢量空间
(线性空间)，因此，经典的Runge—Kutta法等数值方法就可以用于近似求解变换后
的微分方程。在李代数上求解等价的微分方程后，所得的数值解由指数映射拉回到
李群便可得到原微分方程的数值解。特别地，Munthe．Kaas通过引入校正函数【141，
给出了显式的积分方法，它能保证所得的数值解在正确的微分流形上进行迭代。
非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的工作。其中，大多数能够描述实
际物理问题的非线性方程是变系数的，所以要得到实际非线性方程的精确解是十分
困难的工作。含时Schrodinger方程的解的时间演化保持辛积与波函数模方守恒，
将含时Schrodinger方程离散成波函数模方为守恒量的有限维正则方程是数值求含
时Schroditiger方程的合理途径。
变系数的非线性Schrodinger方程存在众多物理领域，如等离子体物理、流体动
力学，非线性光学、固体物理，尤其是纤维光学中有着重要的应用。变系数的非线
性Schrodinger方程是光孤子散射中非常重要的方程l”1，光孤子通讯系统中孤子脉
冲的传输满足变系数的非线性Schrodinger方程。光孤子的形成是光脉冲线性的时
间域色散被非线性的自位相调制过程平衡。
本文利用李群方法构造了一种平方守恒格式——RJ@Ⅸ型积分方法。构造平方
守恒格式是稳定地求解非线性发展方程的重要方法之一。
关于非线性双曲型系统的Godunov格式的收敛性
A. Bressan H. K. Jenssen
考虑系统ut+A(u)ux=0, u∈n, 其中矩阵A(u)假设为严格双曲型的, 并具有特征向量域中的积分曲线为直线的性质. 对于这一类系统可以定义一自然
Riemann解法, 并从而定义一个Godunov格式, 其推广了守恒系统的标准Riemann解法和Godunov格式.该文证明了当运用小的全变差的初始数据时, 这格式
的收敛性和L1稳定性. 证明的主要步骤是估计由格式的二次耦合项产生的全变差的增量. 利用Duhamel原理,这问题化为表示离散随机游动的概率密度的
两个Green核积的估计, 那么总耦合量由两个具有严格不同平均速度的游动之间交叉的期望数所决定.
Bessel 函数商的零点
A. Friedman
B. Hu J. J. L. Velazquez
证明了2mIm(x)/Im-1(x)-(m+1)I1(x)/I0(x)=0存在唯一的正解x=xm,其中m2, Im(x) 为Bessel 函数, 且当2l 引入分块估计的技巧, 避开通常使用的 Lyapunov-Schmidt分解, 直接使用牛顿迭代法,构造扰动 Klein-Gordon 方程满足周期边界条件的时间周期解. 该文提出的方法简化了 W. Craig,C. E. Wayne 和 J. Bourgain 提出的构造非线性偏微分方程周期解的框架. 随机系数的随机线性最优控制问题 讨论随机线性二次最优控制问题(简称LQ问题), 其中, 系数允许是随机的, 代价泛函中控制函数的平方项可有负的权重. 引入LQ问题的随机Riccati方 程. 它是一个具有复杂非线性和奇性的倒向随机微分方程. 建立了它的局部可解性. 对于确定性系数情形, 对Riccati方程作了进一步的讨论. 最后, 给 出了一个说明性的例子. 一类Teichm"uller映照的极值判别法及其Hamilton序列的构造 证明了其伴随全纯二次微分φ满足增长条件: 对任给的s>1,m(φ,r)=(1)/(2π)∫02π|φ(reiθ|) dθ=o((1-r)-s), r1的单位圆到自身的Teichm"uller映照 f 是极值的;同时存在一列tn, 0 研究了四元数单位圆盘上齐次向量丛的Fourier变换, 建立了相应的反演公式和Plancherel 讨论一维倒向随机微分方程在变量(Y,Z)受限制条件下的最小g-上解,其漂移系数是连续的,且满足线性增长条件, 而终值为一平方可积随机变量. 设G为一离散群, (G,G+)为一序群. 令(G, GF)为包含(G, G+)的最小的拟序群.记相应的Toeplitz算子代数分别为 TG+(G) 和 TGF(G),GF,G+为 TG+(G) 到 TGF(G)的自然的C*-代数同态映射. 该文讨论Toeplitz算子代数 TG+(G)的极小理想与自然同态映射GF,G+的核空间Ker GF,G+之间的关系. 证明了当 G为顺从且GF≠G+时, Ker GF,G+为 TG+(G)的极小的非平凡理想. 作为应用, 还得到了序群上Toeplitz算子代数K-群方面的一个特征. 引进了Hilbert双模的乘子双模. 如同C*代数情形, 得到了其在双对偶空间上的实现与Tietze扩张定理. 作为应用, 得到了此定义的乘子双模仍时 Hilbert双模. 北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成 2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy 第四章 调和方程 §1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子 例1. 稳定的温度分布 温度分布满足),(2t x f u a u t =?- 稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关 边界绝热(即边界条件也与t 无关) 则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u = 此时有)(1x f u =?, (2 1a f f - =)称为Poission 方程 当01=f 时,0=?u ,称为Laplace 方程或调和方程. 例2.弹性膜的平衡状态: u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有 f x u x u =??+ ??2 2 22 1 2 例3.静电场的电势u Maxwell 方程组??? ? ? ? ??? ==??-=??+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0 E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度 物质方程?? ? ??===E J H B E D σμε :μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ== ∵静电场是有势场:u grad E -= ερ-=?u grad div , 即ε ρ -=u ? 若静电场是无源的,即0=ρ,则0=?u 例4.解析函数 )(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+= 则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止， ?????===?0,10 `),,(),,(21 1C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以 易知,0,0=?=?v u 2.定解问题 (1)内问题:n R ?Ω,有界,Γ=Ω?,u 在Ω内满足f u =? 边界条件: 第一类(Dirichlet):g u =Γ| 第二类(Neumann): g n u =??Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+??Γσσg u n u n 为Γ的单位外法线方向. (2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =? 同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向). 但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子: 例1.2=n ?????=>+=?=+0|) 1(,01 2 222y x u y x u 221 ln 1ln ,0y x r u u +===均为解, 例 2. 3=n ?????=++=>==1),1(01222r u z y x r r u ? r u u 1 ,1==均为解. 因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常, :2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞ →有界 :3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞ →z y x u r (3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=?u 边界条件:?? ? ??=??=?ΓΓ)()(|已知待定A dS n u C u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题: 设???==?Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C , s.t.:A dS n U C =???Γ 则CU u = §2.分离变量法 1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题 内问题?????=<+=?=+)(|)(02 222 22θf u a y x u a y x 引入极坐标θθsin ,cos r y r x == 2 22 222 221)(111θ θ??+????=??+??+??≡u r r u r r r u r r u r r u u ? 则原问题化为: 2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞< 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为 分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-? 浅谈在数学基础学科中如何提升学习兴趣 摘要:数学分析与高等代数是大学数学专业学生所要学习的最基本也是最重要的 课程，很多学生在学习这两门课程时会遇到困难，本文中讲述利用多媒体教学， 数学史引入等方法帮助学生解决问题，提升学习兴趣. 关键词:高等代数；数学分析；学习兴趣 1 引言 1.1数学分析与高等代数的地位与内容 数学分析是高等师范院校基础数学专业和应用数学专业的必修课.它是学生进 一步学习常微分方程,微分几何概率论,数理方程,实变函数论和复变函数论等一些 课程的基础必备知识，也是学生更深层次理解中学数学相关内容的升华.高等代数 是高等师范院校数学与应用数学专业的必修课，它是中学代数的后续和提高，并 且数学的各个领域都已经渗透它的思想和方法.高等代数的全部内容分两大部分， 分别是多项式理论和线性代数理论，这些后续课程不仅在自然科学的各分支有着 重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用. 1.2培养提升学习兴趣的重要性 兴趣是一个人的心理特征，它是可以激发学生学习.并且兴趣对传授数学知识，增强学生学习数学的能力，提升学习质量都具有十分重要的意义.所以要想达到有 效教学效果，激发学生的学习兴趣十分重要.因此学生对数学分析与高等代数有兴趣，就会持之以恒并且专心致志地钻研它，从而提高学习效果.对学生的学习起着 巨大的发展作用.不单如此，兴趣对开发学生的智慧也有着十分重要的意义，如果 教师利用恰当的教学方法，使得学生对数学分析与高等代数的内容产生兴趣，那 么他们的思想就会活跃起来，思维记忆的效果也会大大提高；近些年来，由于各 种原因使得学生的厌学情绪日愈严重，而数学分析与高等代数本身又具有抽象性 并且逻辑思维较高，因此提高中学生的数学兴趣，使得学生轻松快乐并且高效地 学习，从而促进学生学习素养的发展,显得尤为重要. 2 提升学习兴趣常用策略 2.1运用不同方法解决问题、发散思维 反证法是一种间接证明的方法，它的精髓就在于采取逆向思维，核心就是否 定原命题，把结论当成假设，验证是否与之前矛盾.反证法尽管是在平面几何中产 生的，但是它对于数学代数、分析等其他方面都有着十分广泛的应用.然而，大多 数学生日常习惯于正向思维，利用反证法的时候对于他们来说十分吃力，因此教 师应该掌握要领，对学生进行加强逆向思维的教育，并且增加学生的灵活性与创 造性，进而产生对数学学习的兴趣. 例1 证明在内是一致连续的，而在内非一致连续. 所以在（0,1）内连续但不一致连续. 数学是逻辑思维的体现，学生学习数学的目的是解决问题，因而如何通过解 题活动来培养学生良好的思维能力，应该是数学教学的核心问题.只有“举一反三” 题解，才能激发学生浓厚的学习兴趣，并且促进他们思维逻辑水平的发展，而一 题多解不论是对于激发学生兴趣，开拓思路还是培养思维品质和应变能力的都是 一种十分重要的方法. 浅谈信息与计算科学专业高效学习方法 摘要：信息与计算科学专业以理为主，理工结合，虽然有着广 泛应用性，也有运用的复杂性。这要求我们必须具备扎实的数学基 础及计算机科学的基本理论、基本知识和基本技能，充分发挥交叉 学科优势，把所掌握的两方面理论、方法和技能应用到教育、科研、工程和经济部门的实际课题 中，搭起理工相通的桥梁，最终成为从事教育、科研、工程技术和 管理方面的具有创新能力与创业意识的高级科学技术人才。但是， 如何才能使我们既能掌握计算数学、计算机软件科学及信息科学的 基本理论、基本方法，又能具备较强的建模、编程、实际操作能力，并能从事工程数值计算、计算机软件的设计、开发及应用呢？这要 求我们在本专业的学习中必须要有科学、高校的学习方法。 关键词：信息与计算科学；学习方法 信息与计算科学专业涉及科目较多，交叉课程也比较多，如何 高效学习笔者认为应从两方面做起：一是对课内专业知识的积累； 二是对课外创新项目实践。学好课内专业基础理论知识是搞好课外 创新实验项目的基础和前提；反之，创新实验项目是对课内所学专 业知识的具体实践和运用。 一、学好课内专业知识的方法 对于课内专业知识的积累来说，比如数学分析、高等代数、概 率论与数理统计、常微分方程、数理方程、信息论、数据库、计算 机图形学、计算机程序设计等，要想最大限度地提高效益和收获知识，在课堂上必须培养卓有成效地听课和记笔记这一基本习惯，并 且在课后及时认真复习。 （一）高效率听课。听课是整个理学学科学习过程链条上的中 心环节，是获取书本知识的主要阵地。竭尽全力地听好教师的课堂 讲授，是赢得优异学习成绩的重要基础和必要条件。要想听课效率 较高，就必须在听课前要有充分的准备。首先，充分复习前一节课 的内容。课程内容前后章节具有连贯性，衔接性和穿插性。只有对 前一节课的基本概念、定理、方法深刻理解和牢固掌握，才能在听 后一节课时具有坚实的基础，从而从容不迫、左右逢源。其次，预 习好本节课即将讲授的内容。听课前认真预习本节课即将讲授的内容，标记出自己的疑难点，使自己在听课时一目了然，心中有数， 胸有成竹，从而更加清醒主动，全面周到，富有成效。 竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程 不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条 波动方程的边界条件: (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等 分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ 非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等… 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式： 浅谈麦克斯韦方程组中的科学美 孙锴 （西安建筑科技大学机电工程学院电工教研室，陕西西安710055） 摘要：麦克斯韦方程组，亦即麦克斯韦光电磁统一理论，是对经典电磁学研究高度的总结和理论概括，是经典电磁学研究的顶峰。本文从科学美学的角度探讨麦克斯韦方程组中所蕴含的物理内容和数学形式的和谐性；光、电、磁三种物理现象物理规律的统一对称性，以及麦克斯韦矢量微分方程在数学形式上的简洁性。具体阐述了麦克斯韦方程组所形成的电磁场理论严密的逻辑体系在科学美学上的体现：光、电、磁的统一；时间和空间上的对称性和统一性。 关键词：麦克斯韦方程组；科学美；物理美 中图分类号：O4-0； 科学美是一种与真、善相联系的，人的本质力量以宜人的形式在科学理论上的显现[1]。自然界中物质深层的固有结构既然具有和谐、简洁、对称的美学特征，那么在揭示与描述其奥秘的科学理论中就应当得到充分的反映。正如德国著名物理学家海森堡所说:“自然美也反映在自然科学的美之中[2]。”自然美以物质形态和运动过程的感性特征引发人的审美感受，表现为自然界的和谐统一。而自然科学是由建立在经验和逻辑基础之上的关于自然界各种现象及其相互关系的普遍性和精确性陈述构成的有组织的知识[3]。自然科学的一个最核心的假设就是“一种广泛传播，出自本能的信念，相信存在着一种事物的秩序，特别是一种自然界的秩序”[4]。这种秩序感与人的审美心理相契合。海森堡曾在他的一篇文章中引用了一句拉丁格言:“美是真理的光辉”。 物理学中的科学美是理性的美、内在的美、本质的美。虽然物理学的研究范围极为广泛,物理规律极为复杂,但物理学的美却都具有对称、简洁、和谐、多样统一等特点。麦克斯韦的光电磁统一理论是麦克斯韦等人总结法拉第等人的研究成果进一步探索物理世界美的结晶，是经典物理学科学美的典范之一。 1. 麦克斯韦方程组的物理内容和数学形式的和谐性 在19世纪70年代，库仑定律、安培定律、毕奥一萨伐尔定律、法拉第定律已被发现，“力线”的思想已经被法拉第引入来描述电场和磁场的许多性质，电磁学已经从牛顿力学的框架中解放出来，但是这些成果只是从不同角度总结和描述了电场和磁场的一些基本性质，直觉地抓住了它们的联系，并没有定量的从理论的高度以数学的形式来描述电磁场的基本规律。 麦克斯韦为了把法拉第论文中对电和磁之间相互关系的定性描述表达出来，并赋予他们优美的数学形式，引入了一种新的矢量函数。他利用流体的流线概念，把电力线比作不可压缩流体的流管，把电场强度比作流速，并且提出了一个新的物理概念—场，揭示了法拉第的定性描述中所蕴涵的数学思想的精髓。经过严密的数学推导，他导出了电流和磁力线的一些物理量之间定量关系的矢量微分方程，以及电流元间作用力和电磁感应定律的定量公式。当麦克斯韦公布了他三篇著名的论文：《论法拉第的力线》、《论物理的力线》和《电磁场的动力学理论》时，便宣告了电磁统一的时代到来了。他在论文引言中写道:“我提出的理论可以称为电磁场理论，因为这种理论关系到带电体或磁体周围的空间，它也可以称为一种动力学理论，因为它假定在这个空间存在着运动的物质，由此而产生了我们可观察到的电磁现象。”1865年麦克斯韦最终建立了包括电荷守恒定律、介质方程以及电磁场方程在内的完备 长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一．判断题：（本题总分25分，每小题5分） 1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ） 2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ） 3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ； （ ） 5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数． 3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解． 第 1 页（共 2 页） 数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。 矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题 矢量和矢性函数 1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） k j i A 32++= k j i B 654++= 2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） ()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t 2++= 3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C -+=3，求() C B A ?? 4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t 2++= 求 ()dt t A d 和 ()dt t B d 5、如果 ()j i e ???sin cos += ① 求 ()()? ??d e d e =1 ， ② 证明 ()?e ⊥()?1e . 6、如果 ()j i e ???cos sin 1+-= 证明 ()()?? ?e d e d -=1 7、求不定积分 ()? ??d e ， ()? ??d e 1 。 8、计算不定积分 () ? +???d e 122 . 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r 。 方向导数和梯度 1、求 k j i l 22++= 的方向余弦 2、写出矢径 k z j y i x r ++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r 3、求矢性函数 () k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦 4、求函数2 2 2 z y x u ++=在() 1,0,1M 处沿k j i l 22++=的方向导数 5、求数量场 z y z x u 2 322+= 在点 () 1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数 6、求下列数量场的梯度 ① 2 2 2 z y x r ++=， ② ??? ? ? ?++=2 221 1z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 3 2 z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 623322 2 2 --++++=. 2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型，指出其 类型，求出其通解. (10分) 2. 设定解问题：(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以…………… 第 1页 3． 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ?，求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??. 第2页 5．求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.（10分） 6． 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1 (())L F s -.（10分） 浅谈信息与计算科学专业高效学习技巧 ---DreamAngel 我是一名信息与计算科学专业大三学生，现结合本专业各学科特点浅谈一下高效学习技巧。 该专业以理为主，理工结合。要求我们具备扎实的数学基础及计算机科学的基本理论、基本知识和基本技能，充分发挥交叉学科优势，把所掌握的两方面理论、方法和技能应用到教育、科研、工程和经济部门的实际课题中，搭起理工相通的桥梁，最终成为从事教育、科研、工程技术和管理方面的具有创新能力与创业意识的高级科学技术人才。 如何才能使我们既能掌握计算数学、计算机软件科学及信息科学的基本理论、基本方法，又能具备较强的建模、编程、实际操作能力，并能从事工程数值计算、计算机软件的设计、开发及应用呢？ 我觉得要从一下两方面做起：一是，课内专业知识的积累；二是，课外创新项目的实践。学好课内专业基础理论知识是搞好课外创新实验项目的基础和前提；反之，创新实验项目是对课内所学专业知识的具体实践和运用。 一、如何学好课内专业知识 对于课内专业知识的积累来说，像数学分析、高等代数、概率论与数理统计、数值分析、常微分方程、数理方程、信息论、数据库、计算机图形学、计算机程序设计等，要想最大限度地提高效益和收获知识，在课堂上必须培养卓有成效地听课和记笔记这一基本 习惯，并且在课后及时认真复习。 1、高效率听课 听课是整个理学学科学习过程链条上的中心环节,是获取书本知识的主要阵地。竭尽全力地听好教师的课堂讲授,是赢得优异学习成绩的重要基础和必要条件。以《数值分析》为例，具体做到以下几点： （1）听课前要有充分的准备 首先，充分复习前一节课的内容。《数值分析》课程内容前后章节具有连贯性,衔接性和穿插性。只有对前一节课的基本概念、基本定理、基本方法深刻理解和牢固掌握,才能在听后一节课时具有坚实的基础,从而从容不迫、左右逢源。 其次，预习好本节课即将讲授的内容。听课前认真预习本节课《数值分析》即将讲授的内容,标记出自己的疑难点，使自己在听课时一目了然,心中有数,胸有成竹,从而更加清醒主动,全面周到,富有成效。 （2）听课时要高度集中注意力 首先，对学习具有高度的责任感和自觉性。要充分认识到:只有通过勤奋、刻苦的学习,才能获得丰富、深厚的知识,才能富于广阔、强大的创造力。以此鞭策和激励自己专心致志地听课,最大限度地获取知识。 其次，对听课的重要性具有足够的认识。教师在讲课中综合多篇文献和多本参考书之大成,加以创造性的归纳、整理和总结,并渗 一． 判断题（每题2分）. 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二． 填空题（每题2分）. 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分） 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-==== 四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分） （1） 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分） 浅谈数理方程在岩土工程中的应用 一、由于广义函数的出现，它提供了处理偏微分方程的又一种新方法，其中许多经典的方法（突出的如Fourier分析）进一步发挥了重大的作用。在此基础上，以后还陆续出现了拟微分算子、Fourier积分算子、微局部分析、超函数等新的强有力的数学理论工具同计算机系统的完美结合，堪称为时代的发展的加速器，它不仅极大地改变了线性偏微分方程的发展，并应用于处理非线性偏微分方程的问题，数理方程在工程性学科中的应用，更深刻的给变了岩土工程的发展进程。 二、偏微分方程在科技发展与国民经济中的巨大作用在我国的经济建设中很多重要的科研问题都要求偏微分方程的解，为相应的工程设计提供必要的数据，保证安全可靠且高效地完成任务。例如：岩土工程却是以实践和试验为基础的工程性学科，但近年来正在发展中的计算土力学，为岩土工程的发展和应用工程实践提供了便捷通道。现实中的工程问题是不能或很难用工程试验的方法来究的，怎样在试验前作较准确的预测，由于理论的发展远滞后于工程实践的应用需要，人们必须寻求新的路径：既能满足实践的定量需要，又尽可能的符合理论的定性要求。因此，发展出多种偏微分问题的处理方法，《数学物理方程遇特殊函数》作为一门工具性的基础学科在计算土力学中显得尤为重要，在处理一些实际课题时，电子计算机已越来越成为一个 重要的工具，要能有效地将数学物理方程遇特殊函数同电子计算机来解决实际工程问题，其先决条件是：(1)建立合理的数学物理模型。对决定岩土性质的重要变量及参数，通过大量偏微分方程及数学模型来描述；比较及优化各种模型，选定能符合实际工程的模型。(2)确定合理的数学物理方程的边界条件与初始条件。实际中的边界条件往往是复杂多变的，初始条件更是无法精确地确定，所以就存在“抓主忽次”的问题（即能真实地反映问题，又能简化方程，更能方便计算）。 (3)对相应的偏微分方程进行定性的研究。许多偏微分方程的非级数解的存在与否仍然备受争议，我们只要确定存在性、稳定性、适应性才能进行下一步的研究分析。(4)寻求或选择有效的求解方法，特别是数值的求解方法（即设幂级数为微分方程的解，确定系数即可，取满足精度要求的有限项进行计算）。(5)编制高效率的程序或建立相应的应用软件。这些解决的好坏直接影响到使用计算机所得结果的精确度及耗资的大小。目前MATLAB在处理偏微分方程与特殊函数方面取得成功的例子已充分说明了这一点。 数值求解微分方程的数值解在岩土工程中的意义。基于数理方程遇特殊函数的理念，借助新兴学科的发展成果，成就了许多数值软件和数值模拟方法在岩土工程中的应用，例如：ABAQUS、FLAC 2/3D、FEM、CEM等计算软件的。 三、现代数值方法的作用与功能可归纳为: 1 强有力的分析计算器作用 输入某一工程的基本几何参数、力学参数与施工条件, 通过数值分析 开题报告 信息与计算科学 浅谈欧拉积分 一、综述本课题的研究综述，说明选题的依据和意义 微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念. 极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限. 到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献. 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之一, 它是以广义积分定研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案
数理方程(调和方程)
数理方程期末考试试题
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