实验二快速电子的动量与动能的相对论关系

-实验目的

本实验通过对快速电子的动量值及动能的同时测定来验证动量和动能之间的相对论关

理的思想方法。

二.实验内容

当B ? 1时，式（4- 3 ）可展开为

实验

快速电子的动量与动能的相对论关系

E k m o c 2(1

空

2 c 2

m o c 2

1 2

一 m o v 2

畫(4 - 4)

系。同时实验者将从中学习到B 磁谱仪测量原理、

闪烁记数器的使用方法及一些实验数据处

1. 测量快速电子的动量。

2. 测量快速电子的动能。

3. 验证快速电子的动量与动能之间的关系符合相对论效应。

三?原理

经典力学总结了低速物理的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观：认为时间和空间

是两个独立的观念，彼此之间没有联系；同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量 （如

坐标、速度）可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利 略变换下是不变的。

19世纪末至20世纪初，人们试图将伽利略变换和力学相对性原理推广到电磁学和光学

时遇到了困难；实验证明对高速运动的物体伽利略变换是不正确的, 实验还证明在所有惯性

参照系中光在真空中的传播速度为同一常数。在此基础上，爱因斯坦于 1905年提出了狭义

相对论；并据此导出从一个惯性系到另一惯性系的变换方程即“洛伦兹变换”

洛伦兹变换下，静止质量为 rn,速度为v 的物体，狭义相对论定义的动量

P 为:

m

o

P f -------- =7 mv

P

厂

(4 — 1)

v/ c O 相对论的能量

E mc 2

（4 这就是著名的质能关系。 mC 是运动物体的总能量，

式中m m o /屮

2

-2)

当物体静止时v=0,物体的能量为E o =m,c

2

称为静止能量；两者之差为物体的动能

E<,即

E k mc 2 m o c 2

m o c 2

(丁

J 1

1) (4 — 3)

即得经典力学中的动量一能量关系。

这就是我们要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。对高速电子其关系如图所示，图中

2

pc 用MeV 作单位，电子的 me =。式(4 — 4)可化为：

彳 2 2

1 p c E k

2 m o c 以利于计算。

四.实验装置及方法

实验装置主要由以下部分组成：①真空、非真空半圆聚焦

由式(4 — 1)和(4 — 2)可得：

E 2

C 2p 2 E o 2

(4 — 5)

这就是狭义相对论的动量与能量关系。 而动能与动量的关系为:

E k E E o

r22 J c p

m o 2

c 4

m o c 2

(4 —

6)

磁谱仪；② 放射源

90

Sr —

2 o.511

2 2

P c

6.

1000

90

Y （强度~ 1毫居里），定标用丫放射源137Cs 和60

Co （强度~ 2微居里）：③200 mAI 窗Nal （TI ）

闪烁探头；④数据处理计算软件；⑤高压电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。

（V B ），粒子因受到与运动方

向垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。如果不考虑其在空气中的能量损失 小量），则粒子具有恒定的动量数值而仅仅是方向不断变化。粒子作圆周运动的方程为：

dp

— ev B （4 — 7）

dt

e 为电子电荷，v 为粒子速度，B 为磁场强度。由式（4 — 1）可知P=mv 对某一确定的动量数

数测量;

调整加到闪烁探测器上的高压和放大数值， 使测得的

60

Co 的峰位道数在一个比较合理

的位置（建议：在多道脉冲分析器总道数的

50%?70%之间，这样既可以保证测量高能B

粒子~时不越出量程范围，又充分利用多道分析器的有效探测范围）

an

127

移开探测器，关上

Co 丫定标源的盖子，然后打开

Cs 丫定标源的盖子并移动闪烁

137

探测器使其狭缝对准 Cs 源的出射孔并开始记数测量，等光电峰的峰顶记数达到

■

后对能谱进行数据分析，记录下反散射峰和 MeV 光电峰在多道能谱分析器上对应的道数

B 源射出的高速B 粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中 （一般情况下为

值P,其运动速率为一常数，所以质量

m 是不变的，故

dp dt

dv m 一 dt

dv dt

P eBR

式中R 为B 粒子轨道的半径，为源与探测器间距的一半。

所以

(4 — 8)

在磁场外距B 源 X 处放置一个B 能量探测器来接收从该处出射的B 粒子，则这些粒子

P eBR eB X/2。由

的能量（即动能）即可由探测器直接测出，而粒子的动量值即为： 于B 源3°Sr

9

9

丫 （0?射出的B 粒子具有连续的能量分布

（0?，因此探测器在不同位置（不同

X ）就可测得一系列不同的能量与对应的动量值。

这样就可以用实验方法确定测量范围内动

能与动量的对应关系，进而验证相对论给出的这一关系的理论公式的正确性。

五?实验步骤

1. 检查仪器线路连接是否正确，然后开启高压电源，开始工作;

2. 打开60 Co 丫定标源的盖子，移动闪烁探测器使其狭缝对准

60

Co 源的出射孔并开始记

3.

4. 选择好高压和放大数值后，稳定

10?20分钟;

5. 正式开始对Nal （TI ）闪烁探测器进行能量定标，首先测量

峰顶记数达到1000以上后（尽量减少统计涨落带来的误差） 60

Co 的丫能谱，等光电峰的

，对能谱进行数据分析，记

录下和两个光电峰在多道能谱分析器上对应的道数

CH 3、 CH ;

CH、CH;

6.

1000

关上137

Cs 丫定标源，打开机械泵抽真空（机械泵正常运转

2?3分钟即可停止工作）；

盖上有机玻璃罩，打开B 源的盖子开始测量快速电子的动量和动能, 离 X 最近要小于9cm 、最远要大于24cm,保证获得动能范围?的电子;

10?全部数据测量完毕后关闭B 源及仪器电源，进行数据处理和计算。

六?数据处理

1.真空状态下P 与 X 的关系的合理表述

由于工艺水平的限制，磁场的非均匀性（尤其是 边缘部分）无法避免，直接用

P eBR eBX/2来求动量将产生一定的系统误差；因此需要采取更为合理的方式来表

述P 与X 的关系。

投影为sin

显然有:

所以有:

把=改写成:

B

sin

B

7. 探测器与B 源的距

9. 选定探测器位置后开始逐个测量单能电子能峰,

记下峰位道数CH 和相应的位置坐标 X ;

设粒子的真实径迹为

aob ,位移 ds 与丫轴的夹角为

，如上图所示；则ds 在X 轴上的

1

sin ds

sin ds

(1 ) (4 — 9)

又因为ds 以及R P/eB ,

B 分别为ds 处的曲率半径和磁场强度），则

有:

0sin

P eB

sin B 真空中P 为定值）（4 —10）

sin

1 — -Be X 2

sin

B

d )

(4 —11)

0sin

则物理含义更为明显：即 1/B 为粒子在整个路径上的磁场强度的倒数以各自所处位置处的 位移与丫轴夹角的正弦为权重的加权平均值。显然，B 相当于均匀磁场下公式

P eBR eBX/2中的磁场强度 B ；即只要求出B ，就能更为确切地表述 P 与 X 的关 系，进而准确地确定粒子的动

量值。

实际计算操作中还需要把求积分进一步简化为求级数和；即可把画在磁场分布图上直

强度B ，再注意到:

1）以及

则最后求和可以得到:

其中d 为薄膜的厚度，E 2为出射后的动能，E 1为入射前的动能。由于实验探测到的是经

AI

膜衰减后的动能，所以经公式（4 — 9）可计算出修正后的动能（即入射前的动能）。下表列出了

径为 X 的半圆弧作

N 等分（间距取10毫米左右为宜 ），依此读出第i 段位移所在处的磁场

所以:

2. B 粒子动能的测量

分重要。

N

Sin[

N (i

1)]/B i

2N i

Ne ----------------- (4 Sin[-(i 1)] / B i N

N

Sin[—(i 1)]/ B i (4 —12) 1 N

—13)

粒子与物质相互作用是一个很复杂的问题，如何对其损失的能量进行必要的修正十

① 粒子在Al 膜中的能量损失修正

在计算粒子动能时还需要对粒子穿过 Al 膜（220 m 200 m 为Nal （TI ）晶体的铝膜密

封层厚度,

20 m 为反射层的铝膜厚度）时的动能予以修正，计算方法如下。

粒子在Al 膜中穿越

x 的动能损失为

E , dE

（4

E -—

x （4

则:

—14)

其中—（ dx dx

匹 0）是Al 对

粒子的能量吸收系数,

是AI 的密度），_^旦是关于E 的函

dx

数，不同E 情况下 匹 的取值可以通过计算得到。可设

dx

K(E)，则 E=K(E) x ;

dx

取 x 0,则 粒子穿过整个 Al 膜的能量损失为:

E 2 E 1

x d

K(E)dx (4

—

8)

；即 E

1

x

x d

E 2 K(E)dx (4

—15)

x

②粒子在有机塑料薄膜中的能量损失修正

粒子吸收近。由于塑料薄膜的厚度及物质组分难以测量, 验测量了不同能量下入射动能 E k 和出射动能E o （单位均为MeV ）的关系，采用分段插值的方法

进行计算。具体数据见下表:

3.数据处理的计算方法和步骤:

设对探测器进行能量定标（操作步骤中的第

5、6步）的数据如下:

实验测得当探测器位于

21cm 时的单能电子能峰道数为

204，求该点所得B 粒子的动能、动

量及误差，已知B 源位置坐标为

6cm 该点的等效磁场强度为

620高斯（Gs ）。

此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对

存在一定的能量吸收，尤其对小于的

可采用实验的方法进行修正。

实

1）根据能量定标数据求定标曲线

已 知

E i o.184MeV,CH i 48 ;

E 2 0.662MeV,CH 2 152

E 3 1.17MeV,CH 3

262 ；

E 4 1.33MeV,CH 4 296 ；根据最小二乘原理用线性拟合

的方法求能量E 和道数

CH 之间的关系：

E a b

CH

可以推导，其中：

a

丄［

CH i 2

E i

i

i

i

CH i

i

(CH i E i )]

b —[n (CH i E i )

i

CH i

i

E i ]

i

n

CH i 2

i

(

CH

i

i

)2

代入上述公式计算可得：

E 0.038613 0.0046 CH

2）求B 粒子动能

对于X=21cm 处的B 粒子:

膜后的出射动能，需要进行能量修正; ②在前面所给出的穿过铝膜前后的入射动能 E i 和出射动能E 2之间的对应关系数据表中取

E 2=

前后两点作线形插值，求出对应于出射动能

&=的入射动能E i =

③上一步求得的E i 为B 粒子穿过封装真空室的有机塑料薄膜后的出射动能 行能量修正求出之前的入射动能 &，同上面一步，取 E o =前后两点作线形插值，求出对应

于出射动能丘=的入射动能E k =;

&=才是最后求得的B 粒子动能。

3）根据B 粒子动能由动能和动量的相对论关系求出动量

①将其道数204代入求得的定标曲线，

得动能

E 2=,注意：此为B 粒子穿过总计 220 m 厚铝

E o ，需要再次进

PC （为与动能量纲统一，故把动量

P 乘以光速, 这样两者单位均为 MeV 的理论值

由E k

E E o J c 2 p 2 m o 2

c 4

m o C 2

得出:

将&=代入,

PC 7( E k m o c 2)2

得PCT=为动量PC 的理论值。

m o 2

c 4

所以:

七?思考题

4) 由P eBR 求PC 的实验值

3源位置坐标为6cm , 以X=21cm 处所得的3 (21 6)/2 7.5cm ；

620 Gs 0.062 T ，光速

子电量e 1.60219

2.99 108m/s ;

粒子的曲率半径为：

10 2 C ,磁场强度

PC eBRC

因为 1eV 1.60219

1.60219 10 19 J , 10 19 0.062 0.075

2.99 108 J ; 5) PC BRC(eV)

所以:

0.062 0.075 求该实验点的相对误差 DPC

DPC

|PC PCT I PCT 2.99 108eV 1390350 eV 1.39MeV

W "I 100% 1.1% 1.3747

1. 观察狭缝的定位方式, 试从半圆聚焦3磁谱仪的成象原理来论证其合理性。

2. 本实验在寻求P与X的关系时使用了一定的近似，能否用其他方法更为确切地得出

3.

4.

1.

2.

3.

4.

5. 与X的关系

用丫放射源进行能量定标时，为什么不需要对丫射线穿过220 m厚的铝膜时进行“能量损失的修正”

为什么用丫放射源进行能量定标的闪烁探测器可以直接用来测量3粒子的能量

八?实验注意事项

闪烁探测器上的高压电源、前置电源、信号线绝对不可以接错;

严禁探测器在工作状态下见光，以免光电倍增管过载烧坏（通高压电的情况下不得拆卸

探测器）；

装置的有机玻璃防护罩打开之前应先关闭3源;

应防止3源强烈震动，以免损坏它的密封薄膜;

移动真空盒时应格外小心，以防损坏密封薄膜;