2021-2022年高二期末考试数学(理科)
2021年高二期末考试数学(理科)
注意事项:
1.本试卷分为必答部分与选答部分.考试时间120分钟.
2.必答部分分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共4页,满分120分. 3.请将必答部分中的第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上,第Ⅱ卷的解答写在答题卷上.在本试卷上答题无效.
4.选答部分在四个模块中选两个模块作答.共2页,满分40分.
必答部分
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是 A . B . C . D .
2. 下面是一个算法的伪代码.如果输入的x 的值是20,则输出的y 的值是
A .200
B .150
C .20
D .15 3. 已知向量a = (2,-1,3),b = (-4,2,x ),且,则实数x 的值为
A .-2
B .2
C .
D . 4. 已知m ,n ∈R ,则“”是“方程表示双曲线”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分又不必要条件 5. 用0,1,2,3,4五个数字,可组成无重复数字的三位偶数的个数是
A .48
B . 30
C .18
D .
12
6.已知,,若向区域内随机投一点,则点落入区域的概率为
A.B.C.D.
7.设则等于
A.B.C.D.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC的距离等于点P到直线C1D1的距离,则动点P的轨迹
是
A.线段B.圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
第Ⅱ卷(非选择题,共80分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答卷相应位置上.
9.命题“R,”的否定是
▲.
10.在的展开式中,项的系数是▲.(用数字作答)11.观察下列等式:
1 = 12,
2 +
3 +
4 = 32,
3 +
4 +
5 +
6 +
7 = 52,
4 +
5 +
6 +
7 +
8 +
9 + 10 = 72,
……
由此归纳,可得到一般性的结论是▲.12.在如下程序框图中,输入,则输出的是▲.
D1
P
C1
B1
A1
D
C A
三、解答题:本大题共4小题,共60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.(本小题满分15分,第一小问满分7分,第二小问满分4分,第三小问满分4分)
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数.(Ⅰ)求的分布列;(Ⅱ)求的数学期望;(Ⅲ)求“所选3人中女生人数”的概率.
14.(本小题满分15分,第一小问满分6分,第二小问满分9分)
如图,在三棱锥中,侧面底面,且,,.
(Ⅰ)求证SA⊥SC;
(Ⅱ)在平面几何中,推导三角形内切圆的半径公式(其
中l是三角形的周长,S是三角形的面积),常用如下方法(如
右图):
①以内切圆的圆心O为顶点,将三角形ABC分割成三
个小三角形:△OAB,△OAC,△OBC.
②设△ABC三边长分别为a,b,c.由,
得,则.
类比上述方法,请给出四面体内切球半径的计算公式(不要求说明类比过程),并利用该公式求出三棱锥内切球的半径.
C B
A
S
O
C B
A
15.(本小题满分15分,第一小问满分6分,第二小问满分9分)
设椭圆C:的左焦点为F1(-2,0),左准线l1与x轴交于N(-3,0),过点N 作倾斜角为30°的直线l 交椭圆于两个不同的点A,B.
(Ⅰ)求直线l 及椭圆C的方程;
(Ⅱ)求证:点F1在以线段AB为直径的圆上.
16.(本小题满分15分,第一小问满分7分,第二小问满分8分)
已知函数,.
(Ⅰ)若,求证:;
(Ⅱ)求实数k的取值范围,使得方程有四个不同的的实数根.
选答部分(共40分)
从下面4组问题中任意选择2组作答,3组或4组都答的只计算前2组的得分.每小题5分.
请在答题卷上答题.在本试卷上答题无效.
1. 如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,E 是BD 的中点, AE 交BC 于F ,则的值等于 A . B . C . D .
2. 等边△DEF 内接于△ABC ,且DE ∥BC ,已知AH ⊥BC 于点H ,BC = 4,AH =,则△DEF 的边长为 A .2 B . C . D .
3. 如图,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切
于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则∠AQP 的大小为___▲___. 4. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 外一点,且AC =AB ,BC 交⊙O 于点D .已
知BC =4,AD =6,则四边形ABDE 的周长为___▲___.
5. 矩阵A =的逆矩阵为 A . B . C . D .
6. 圆在矩阵A =对应的变换下,得到的曲线的方程是 A . B . C . D .
7. 已知矩阵M 有特征值及对应的一个特征向量e 1=,并有特征值及对应的一个特征向量
e 2=,则矩阵M = ▲ .
8. 设a ,b ∈R ,若M =所定义的线性变换把直线l :2x +y -7=0变换成另一直线l ′:x +y
-3=0,则a +b = ▲ .
9. 参数方程(θ为参数)表示的曲线为 A .圆的一部分 B .椭圆的一部分 C .双曲线的一部分 D .抛物线的一部分
10.在x 轴正向到y 轴正向的角为60°的斜坐标系中,点A ,B 的坐标分别为A ,B ,则线段AB
的长度为 A . B . C .6 D . 3
11.若直线 x + y = m 与圆 (φ为参数,m >0)相切,则m 为 ▲ . 12.在极坐标系中,已知曲线C 的方程是,过极点作直线l 与极轴成60°角,设直线l 交曲线C
于P ,Q 两点,则线段PQ 的长等于 ▲ .
F
E
D
C B A
H F E
D C
B A
O Q
P
C B A
E
O D
C B A
13.利用数学归纳法证明不等式(n>1,n N*)的过程中,用n = k+1时左边的代数式减去n = k时左边的代数式的结果为
A.B.C.D.
14.已知,设,,,则下列不等式正确的是
A.B.C.D.
15.已知x,y均为正实数,且,则的最小值等于▲.
16.已知(其中k > 0)且的最大值是7,则k = ▲.
苏州市xx -xx 学年度第二学期高二期末考试(理科)参考答案
一、选择题
二、填空题
9.,
10.21
11.2(1)(2)(32)(21)n n n n n +++++
+-=-
12.. 三、解答题:本大题共4小题,共60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(本小题满分15分,第一小问满分7分,第二小问满分4分,第三小问满分4分) 解:(Ⅰ)可能取的值为0,1,2.
由题意:, .
所以,的分布列为:
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),的数学期望为. (Ⅲ)解:由(Ⅰ),“所选3人中女生人数”的概率为
134
(1)(0)(1)555
P P
P ξξξ==+==+=≤.
14.(本小题满分15分,第一小问满分6分,第二小问满分9分) (Ⅰ)过S 作SO ⊥AB ,垂足为O , ∵侧面底面,∴底面. ∵SA = SB ,∴O 为AB 中点. 以O 为坐标原点,OA 为x 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示. ∵,,, ∴,,
∴A ,C ,S . ∴,. 则.
∴SA ⊥SC .
(Ⅱ)三棱锥内切球的半径公式为
(其中V 为三棱锥的体积,S 为三棱锥的表面积). 在Rt △SAB 中,SA = SB = 2,∴. 在Rt △ABC 中,AB = 2,AC =,∴BC = 2.∴.
在Rt △SAC 中,SA = 2,AC =,∴SC =.∴. ,,,
C
∴,则BC ⊥SB .
在Rt △SBC 中,SB = 2,BC = 2.∴.
又. ∴.
15.(本小题满分15分,第一小问满分6分,第二小问满分9分)
(Ⅰ)由题意,22222,
3,
,c a
c a b c =???=???=+?
∴
则椭圆C 的方程为.
直线l 的方程为.
(Ⅱ)椭圆C 的方程即为, 由得. 设A ,B , 则 ∵,, ∴=. ∵,, ∴= ==.
∴.∴点F 1在以线段AB 为直径的圆上.
16.(本小题满分15分,第一小问满分7分,第二小问满分8分) (Ⅰ)令=, . 当时,> 0 恒成立,∴在(1,+∞)上是增函数. ∵在x = 1 处连续,∴>. ∵= 0,∴当x ∈(1,+∞)时,> 0 恒成立. ∴. (Ⅱ)原方程化为, 令,则. ∵,∴是偶函数. 当x ≥0时,(x ≥0), 则. ∵x ≥0,∴令,得. 当x ∈[0,1),,G (x )单调递减; 当x ∈(1,+∞),,G (x )单调递增. ∴x ≥0时,在x = 1处G (x )取得极小值为G (1) =. 又G (0) = 0,∴当k ∈(,0)时函数(x ≥0)与y = k 有两个不同的交点. ∵是偶函数, ∴=k 在k ∈(,0)时有四个不同的实数根. 选答部分
从下面4组问题中任意选择2组作答,3组或4组都答的只计算前2组的得分.每小题5分.
2.C3.135°4.
6.C.7.8.
9.D10.C11.2 12.
13.C14.D.15.3 16.9