稳定匹配难题

算法是为了解决“稳定匹配难题（Stable Matching Problem）”而提出的，所谓稳定匹配难题，是指：有n个男人，还有n个女人，男人心目中有自己的心上人列表，从最喜欢的女神，一直到最不心仪的恐龙，而女人心中也有相同的列表，从最喜欢的高富帅，到最不喜欢的猥琐男。很明显的，某男喜欢的女人，她可能根本看不上他。而多个女人喜欢的男人，也不可能同时娶这些女人。所以要找出一个让所有人都能结婚，且大家都满意的方案是很难的。

为了解决以上这个难题，数学家Shapley和Gale两人在1962年提出了一种特殊的算法，后来被称为Gale & Shapley算法，他们证明了，按照这套算法，他们能够找到一个让大家都满意，且稳定的组合，前提是男女数量相等。

算法的第一步，是由男人们一轮一轮的去找他最喜欢的女人表白，女人可以选择接受，也可以选择拒绝。女人会遇到三种情况，第一是没人来表白；第二是有一个人来表白；第三是有多个人来表白。女人的策略是，如果没人来表白就再等一轮，如果有一个人来表白就暂时同他交往着，如果有多个人来表白，就同最喜欢的那个交往。

一轮过后，有些男人有女友了，有些还打着光棍，没关系，继续开始第二轮。那些光棍们重复上一轮的行为，找自己最心仪的女人表白。女人会遇到一个特殊情况，自己有男友了，但是又有一个男人来表白。如果新来的男人比现在的差，她就忽略，如果比现在的好，那就劈腿换新人。

第三轮再重复第二轮的行为。如此循环往复，一直到最后每个人都成功匹配为止。Shapley和Gale两人从数学上证明了，这种策略的结果是最稳固的。因为男人是从自己最喜欢的人开始追求，当他配对成功的时候，意味着所有他更喜欢的女孩都拒绝了他。而女人如果有机会就可以换自己更喜欢的男人，因此当她配对成功的时候，意味着再没有更好的男人来找她了。所以双方达到了稳定（Stable）的状态。

我们发现，该算法对男人（主动出击的一方）有利，对女人（被动等待的一方）不利。因为男人都是从自己最心仪的女孩开始表白，这个策略首先考虑了男人的偏好。相关的数学证明从略。

你可能会发现，当n很大的时候，一轮轮的表白游戏会进行无数次，事实也正是如此。常识告诉我们，农村的人结婚通常都很早，而城市，特别是巨大城市的人，结婚都很晚。那是因为农村里你能够接触到的人都很少，即n很小（可能小于20），通过简单的几轮匹配，大家就能达到稳定匹配状态。而大城市如北上广，n巨大（接近无限），你可

能会经历无数次匹配都达不到稳定状态。所以并非像广告里说的那样：更多选择更多欢笑。有时候选择更多反而结果更差了。

前面我们提到，该算法对男人有利，对女人不利，它优先满足了男人的偏好，因此在北上广这样的特大型城市才会有那么多的剩女存在，她们终生在等待更靠谱的白马王子出现，但其实这位白马王子早就已经和别的女人配对成功（结婚）了，于是其中的不少女人选择了做小三。