(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数

高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）

?

?

?

?

?

正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,

k k k

αα

?<

第二象限角的集合为{}

36090360180,

k k k

αα

?+<

第三象限角的集合为{}

360180360270,

k k k

αα

?+<

第四象限角的集合为{}

360270360360,

k k k

αα

?+<

终边在x轴上的角的集合为{}

180,

k k

αα=?∈Z

终边在y轴上的角的集合为{}

18090,

k k

αα=?+∈Z

终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,

k k

αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}

360,

k k

ββα

=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定()*

n

n

α

∈N所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来

是第几象限对应的标号即为

n

α

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是

l

r

α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360

π=，1

180

π

=，

180

157.3

π

??

=≈

?

??

．8、若扇形的圆心角为()

αα为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，

则l r α=，2C r l =+，211

22

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点

的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

12、同角三角函数的基本关系：()2

2

1sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数

()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），

得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

?

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ω?=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=

T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得

最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． sin y x

=cos y x

=tan y x

=

图象

定

义域

R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ??

??值

域

[]1,1-[]1,1-R

最值

当22

x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-

()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周

2π2ππ函

数

性

质

问题1

问题：已知α角是第三象限角，则2α，2

各是第几象限角

问题2

1．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T .

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT

AT x OM OA α====

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

（注）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

问题： .1cos sin 2

0>+<<ααπ

α，证明若

1

.[02]si )2(.2

2n x x 在，上满足的的取值范问围是题：

????????????????????????πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A

问题： 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

;21sin )1(-

1

cos )2(>x

问题3

问题：求下列三角函数的值：（1）

9

cos

4

π

，（2）

11

tan()

6

π

-，

问题：已知角α的终边过点(,2)(0)

a a a≠，求α的四个三角函数值。问题4

问题：（1）已知

12

sin

13

α=，并且α是第二象限角，求cos,tan,cot

ααα．

（2）已知

4

cos

5

α=-，求sin,tan

αα．

．

问题：已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．

问题：已知α=αcos 2sin ，求

ααα

αcos 2sin 5cos 4sin +-

问题5

问题：化简：.)

2

9sin()sin()3sin()cos()

211cos()2cos()cos()2sin(απ

πααπαπαπ

απαπαπ+-----++-

tan()3,

2cos()53sin()

4cos()sin(22).已知求：问题：的值。

问题6

问题： 21

7

sin ,cos 03

.2

2

x x ax 已知是关于的方程的两根，且 tan(6)sin(2)cos(6).cos(180)sin(900)

求的值

问题：

问题7

在三角形ABC 中有：

cos()cos()cos A B C C tan()

tan(

)

tan A

B C C

问题：在三角形ABC 中， 判断三角

形ABC 的形状。

sin()sin()sin A B C C

（一）

1．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥2

1

2? tan α>33

2． 若4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

3．求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=的值域

4.已知α角是第一象限角，则-α，2α，

3

各是第几象限角

5． 1cos 1cos

3 (

)cos 1cos 2

6． ．

7．已知1

sin cos

(0)5

，求的值。

及θ-θθ33cos sin tan

8．已知是第四象限角，

α+-=α+-=

α,5

3

cos ,524sin m m m m 求的值。αtan

（二）

1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 2．集合M ＝{x |x ＝kπ2 ±π4 ，k ∈Z }与N ＝{x |x ＝kπ

4

，k ∈Z }之间的关系是 （ ）

＝N ∩N ＝

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）

° B.－60° ° D.－30° 4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的

角是 ( ) A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4） 5．设a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），那么sin α＋2cos α的值等于 （ ）

A. 2

5

B.－25

C. 15

D.－1

5

6．若cos(π＋α)＝－12 ，3

2

π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ）

A.－

32

B.

32 C. 12

D.±

3

2

7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角 8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

B.

2

sin1

9．如果sin x ＋cos x ＝1

5

，且0＜x ＜π，那么cot x 的值是 （ ）

A.－43

B.－43 或－34

C.－34

D. 43 或－3

4

10．若实数x 满足log 2x ＝2＋sin θ，则|x ＋1|＋|x －10|的值等于 （ ）

－9 －2x

11．tan300°＋cot765°的值是_____________. 12．若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，则sin αcos α的值是_____________.

13．不等式（lg20)2cos x ＞1，(x ∈(0，π))的解集为_____________. 14．若θ满足cos θ＞－1

2 ，则角θ的取值集合是_____________.

15．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________. － 16．已知f (x )＝

1－x 1＋x

，若α∈(π

2 ，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为___________.

17．设一扇形的周长为C (C ＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积最大面积是多少

18．设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ， 5 )，且cos α＝

2

4x ，求sin α与tan α的值.

19．已知π

2 ≤θ≤π，sin θ＝m －3m ＋5 ，cos θ＝4－2m m ＋5 ，求m 的值.

20．已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sin α)＝lg(cos α)－lg(cot α)＋2lg3－3

2 lg2，求cos 3α－sin 3α

的值.

21．已知sin(5π－α)＝ 2 cos(7

2 π＋β)和

3 cos(－α)＝－ 2 cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β

＜π，求α和β的值.

1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C C ．A C D ．A=B=C

2.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα

-=-+那么的值为

（ ）

A ．－2

B ．2

C ．

2316

D ．－

2316

3

若角0600的终边上有一点

()

a ,4-，则a 的值是

（ ）A 34 B 34- C 34± D 3

4．若2

1

cos sin =

?θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）

A.2

2sin =θ B ．2

2sin -

=θ

C ．1cos sin =+θθ

D ．0cos sin =-θθ

5.函数2cos 1y x =+的定义域是 （ ）

A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈??????

B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈?

????

?

C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈??????

D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈?

????

?

6. 已知,2

4,81cos sin π

απαα<<=?且则=-ααsin cos .

7 若集合|,3A x k x k k Z ππππ??

=+≤≤+∈????

，{}|22B x x =-≤≤，

则B A =_______________________________________

8．已知5

1

cos sin =

+x x ，且π<

9 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 4

1

sin 32+的值

（2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值

10. 已知α是第三角限的角，化简α

α

ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+

11 已知3tan =α，2

3π

απ<

<，那么ααsin cos -的值是 （ ）

A 231+-

B 231+-

C 231-

D 2

3

1+

12．函数y =的定义域是

13 已知1

tan tan αα

，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且

παπ2

7

3<

<，求ααsin cos +的值