江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学2017届高三下期初四校联考理科数学试卷

南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考数学理科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

. 1．已知全集,6}{1,2,3,4,5=I ，集合{1,3,5}=A ，{2,3,6}=B ，则(?I A )=B ▲ ．

2．复数21i +1

+的实部为 ▲ ． 3．下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．

4．某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到 样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110,140)之间的人数为 ▲ ．

5．若双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线过点()2,1，则双曲线的离心率为 ▲ ． 6．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位 数，则两位数为偶数的概率为 ▲ ．

7．已知点P (y x ，)满足??

???≥≥≤+14x x y y x ，则x y z =的最大值为 ▲ ． 8．设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=．若存在两项a n 、a m ，使得m n a a a ?=41，则n m +的值为 ▲ ．

9．在正方体1111ABCD A BC D -中，

P 为1AA 中点，Q 为1CC 中点，AB = 2，则三棱锥B-PQD 的体积为 ▲ ． 10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＜0时，f (x )＝x 2－2x ＋1．不等式2(3)(2)f x f x ->的解集用区 间表示为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，设直线0(0)x y m m -+=>与圆228x y +=交于不同的两点A ，B ，若圆上存在 点C ，使得△ABC 为等边三角形，则正数m 的值为 ▲ ．

12．已知P 是曲线x x y ln 21412-=上的动点，Q 是直线14

3-=x y 上的动点，则PQ 的最小值为 ▲ ． 13．矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足P A = 3，PC = 4．矩形对角线AC = 6，则 ?= ▲ ．

14．在△ABC 中，若

tan tan 3tan tan A A B C

+=，则sin A 的最大值为 ▲ ．

（第4题图）

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

已知1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f ．

（1）求()f x 的最大值，以及该函数取最大值时x 的取值集合；

（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，且,2,1=

=b a 2)(=A f ,

求角C ．

16．（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，每条棱长均相等，D 为棱AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点．

（1）求证：CD ∥平面1A BE ；

（2）求证：1AB ⊥平面1A BE ．

17．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点)1,0(和)2

2,1(，圆O ：222b y x =+． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l 与圆O 相切，切点在第一象限内，且直线

l 与椭圆C 交于A 、B 两点，△OAB 的面积为

4

6 时，求直线l 的方程．

18．（本小题满分16分）

如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角3π

、半径3km 的扇形．现

规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、, 要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、 上．

（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a

范围；

（2）设α=∠AOT ,试用α 最短．

19．（本小题满分16分）

设0a >且1a ≠，函数2()ln x f x a x x a a =+--．

（1）当a = e 时，求函数()f x 的单调区间；（其中e 为自然对数的底数）

（2）求函数()f x 的最小值；

（3）指出函数()f x 的零点个数，并说明理由．