数学文科试卷·2018届内蒙古包头市高三第一次模拟考试Word版含答案
2018年包头市第一次模拟考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,2,3}A =，{1,3}B =-，则A
B =（ ）
A ．{1,1,2,3}-
B ．{3}
C ．{1,2,3}-
D ．{1,1,2}- 2. 设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ）
A ．4
B ．1
C ．2
D ．3 3.函数()cos()3
f x x π
=+图象的一条对称轴是（ ）
A ．6
x π
=
B ．x π=
C ．53
x π
=
D ．2x π= 4.已知向量(1,2)a =-，(,1)b λ=.若a b +与a 平行，则λ=（ ） A ．5- B ．
52 C ．7 D ．12
- 5.在平面直角坐标系xoy 中，直线20x y +=为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐
近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
．4
6.若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥??
-+≥??≥?
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A ．
83 B ．323 C ．163 D ．283 8.已知函数()ln(2)ln(4)f x x x =++-，则错误．．
的是（ ） A ．()f x 在(2,1)-单调递增 B ．()f x 在(1,4)单调递减
C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称
D ．()y f x =的图象关于点(1,0)对称
9.某学生食堂规定，每份午餐可以在三种热菜中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同的概率为（ ）
A ．
12 B ．13 C ．14 D ．1
6
10.执行如图所示的程序框图，如果输入的1
50
t =，则输出的n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母R 时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）
A ．翻且只翻（1）（4）
B ．翻且只翻（2）（4）
C ．翻且只翻（1）（3）
D ．翻且只翻（2）（3）
12.过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且10AB =，则原点到l 的距离为（ ）
A ．
5 B ．5 C ．5 D ．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若2cos()3
3π
α-
=
，(0,)2πα∈，则2cos(2)3
π
α-
= ． 14.已知()f x 为奇函数，当0x ≤时，2()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线方程为 ．
15.在正方体1111ABCD A BC D -中，
E 为棱CD 的中点，有下列四个结论：①1A E DC ⊥；②1A E AC ⊥；③1A E BD ⊥；④11A E BC ⊥.其中正确的结论序号是 （写出所有正确结论的序号）．
16.在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=，
则
a
c
= ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且235a a a =，4210S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.如图，四棱锥H ABCD -中，HA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，6AB AD AC ===，
8HA BC ==，E 为线段AD 上一点，2AE ED =，F 为HC 的中点.
（1）证明：//EF 平面HAB ； （2）求四面体H AFE -的体积.
19.从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种面包质量指标值的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定？”
20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右两个焦点，124FF =，长轴长为
6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足122AF BF =.
（1）求椭圆C 的方程； （2）求四边形21ABF F 的面积. 21.已知函数2
()(1)x
f x e mx x =-++. （1）若0m =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求m 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第
一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x a t
y t
=+??
=-?（t 为参数）.以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ=. （1）若2a =-时，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为a . 23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()12f x x x =+--，2()g x x x a =--. （1）当5a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: ABCDC 6-10: DCDBB 11、12：AC
二、填空题
13. 19-
14. 10y x ++= 15. ④ 16. 12
三、解答题
17.解：（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则414S a =，212S a =， 不符合题意，所以1q ≠.
所以421114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ?=??
?--=??--?
.
又0n a >，解得13a q ==，所以3n n a =.
（2）23133353n T =?+?+?(21)3n
n +??????+-?. ①
2343133353n T =?+?+?1(21)3n n ++??????+-?. ②
①-②，得
232132(33n T -=?+?+3)n +??????+1(21)3n n +--?.
333213
n -?=?-13(21)3n n +---?
1(22)36n n +=--?-，
所以1(1)33n n T n +=-?+. 18.解：（1）由已知得2
43
AE AD =
=， 取BH 的中点G ，连接AG ，GF ， 由F 为HC 的中点知//GF BC ，1
42
GF BC ==， 又//AD BC ，故//GF AE ，
所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，
AG ?平面HAB ，EF ?平面HAB ，
所以//EF 平面HAB .
（2）四面体H AFE -的体积H AFE F AEH V V --=. 取BC 的中点T ，连接AT .
由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，且AT ==
所以点C 到平面AEH 的距离为
而F 为HC 的中点，所以F 到平面AEH 又12AEH S AE AH ?=
??1
48162
=??=.
所以1163F AEH V -=
?=. 19.解：（1）画图.
（2）质量指标值的样本平均数为
800.08900.22x =?+?1000.371100.28+?+?1200.05100+?=.
所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为100.
（3）质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值为
0.220.370.280.050.92+++=，
由于该估计值大于0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定.”
20.解：（1）由题意知26a =，24c =，所以3a =，2c =.
所以2
2
2
5b a c =-=，椭圆C 的方程为22
195
x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以111(2,)AF x y =---，222(2,)BF x y =--， 由122AF BF =，得1222(2)x x +=-，122y y =. 延长AB 交椭圆于H ，
因为122AF BF =，所以12//AF BF ，且122AF BF =. 所以线段2BF 为1AF H ?的中位线，即2F 为线段1F H 的中点， 所以(6,0)H .
设直线AB 的方程为6x my =+，
代入椭圆方程得，225(6)945my y ++=，即22
(59)601350m y my +++=. 所以122260359m y y y m +=-
=+，2
1222
135259
y y y m ?==+，
消去2y ，得22
9325m ?=，依题意取5
m =-.
1221AF H BF H ABF F S S S ??=-四边形112211
22
F H y F H y =
-
1222242826y y y y y =-=-=2120594
m m =-
=+.
21.解：（1）若0m =，()1x
f x e x =--，'()1x
f x e =-. 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.
（2）'()21x f x e mx =--.
由（1）知1x
e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故'()2(12)
f x x mx m x ≥-=-， 从而当120m -≥，即1
2
m ≤
时，'()0(0)f x x ≥≥. 所以()f x 在[0,)+∞上单调增加. 而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠，可得1(0)x e x x ->-≠， 从而当12
m >
时，'()12x f x e mx =--12(1)x x e m e -<-+-(1)(2)x x x
e e e m -=--， 令(1)(2)0x x x e e e m ---<，得12x
e m <<，故0ln 2x m <<.
故当(0,ln 2)x m ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln 2)m 上单调减少. 而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x m ∈时，()0f x <，不符合要求. 综上可得m 的取值范围为1
(,]2
-∞.
22.解：（1）曲线的普通方程为2
2
4x y +=， 当2a =-时，直线l 的普通方程为20y x +=，
由22
204x y x y +=??+=?
，解得5x y ?=????=??
，或5x y ?=????=-??
， 从而C 与l
的交点坐标为(55-
，(,55
-. （2）直线l 的普通方程为220x y a +--=，
设C 的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ=??=?
（θ为参数），
则C 上的点(2cos ,2sin )θθ到l 的距离为
d
=
=
.
当2a ≥-时，d
=
=
8a =-， 当2a <-时，d
，
=
12a =，
综上，8a =-
12a =.
23.解：（1）当5a =时，不等式()()f x g x ≥等价于12x x +--2
5x x ≥--，①
当1x <-时，①式化为2
20x x --≤，无解；
当12x -≤≤时，①式化为2
340x x --≤，得12x -≤≤；
当2x >时，①式化为2
80x x --≤
，得122
x <≤
. 所以()()f x g x ≥
的解集为[-. （2）当[2,3]x ∈时，()3f x =，
所以()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，等价于[2,3]x ∈时()3g x ≤. 又2
()g x x x a =--在[2,3]上的最大值为(3)6g a =-. 所以(3)3g ≤，即63a -≤，得3a ≥. 所以a 的取值范围为[3,)+∞.