高中数学选修21《空间向量与立体几何》知识点讲义

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

()()

111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ()()()()121212121212111121212,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???r r r r r r r 则

二、共线向量定理

(),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?r r r r r r r r P 充要对于使

三、共面向量定理

,,.a b p a b x y p xa yb ←??

→?=+r r u r r r u r r r 充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=u u u r u u u r u u u r 充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=u u u r u u u r u u u r u u u r 充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

()()()11,1.P A B C AP x AB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 证明：①必要性

、、、四点共面，，，，令()()()

1,1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

{}

,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?r r r u r u r r r r r r r r r r 若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，

,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.n n l l v v αβu r u u r u r u u r 设平面和的法向量为和直线和的方向向量为 11121111121212121212n v l l l n v l l l v v l l v v n n n n αααβαβ⊥???⊥?⊥?⊥?⊥?⊥u r u r P u r u r P u r u u r P P u r u u r u r u u r P P u r u u r ①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

()1θ异面直线的夹角，

cos cos ,AB CD AB

CD AB CD θ?==?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则

()2,θ线与面的夹角

sin cos a n a n θα?==?r r r r 则

()3,θ二面角

1212cos cos n n n n θα?==?u r u u r u r u u r 则

θ说明：只能由已知图观察锐钝.

()4,d 点到平面的距离

cos PA n d PA n θ?=?=u u u r r u u u r r 则

cos cos d PA n PA n PA n d PA n θ

θ?=???∴=?=u u u r r u u u r r Q u u u r r u u u r r 说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，