圆方程的各种形式
圆方程的各种形式
圆方程的各种形式练习
课前自测：B
即时反馈1：10)5()4(22=-+-y x ；解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，
即4
,23
x y x =??
=-?得圆心为(4,5)，r == 22(4)(5)10x y ∴-+-=
即时反馈2：10)1(22=-+y x 课堂练习
巩固提高：1．C ； 2． -∞(， )010(，)∞+
3．22(2)(3)5x y -++=；解析： 圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在270x y --=上，
即圆心为(2,3)-，r =2
2
(2)(3)5x y -++= 能力提升：4．D ；解析：设圆心为2234
(,0),(0),
2,2,(2)45
a a a a x y +>==-+=，故选D 5．B 6．C ； 7．22(2)4x y -+=；
8． 224x y +=；解析：由于2OP =，所以方程为224x y +=
9．20)6()3(22=-+-y x 或80)6()7(2
2=-++y x ；解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设
圆心为(,6)a ，
半径为r ，则222)6()(r y a x =-+-，2
22)610()1(r a =-+-，而5
13-=
a r ，
5
)13(16)1(2
2
-=+-a a ，解得3=a 或7-=a ；52=r 或54=r
所以方程为：20)6()3(22=-+-y x 或80)6()7(2
2=-++y x
2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选修4-4.doc
2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选 修4-4 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取 ???==θθ sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和???+=+=0 0245 sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为 ，最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为 最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2 +y 2 -2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 （五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+? 椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。 对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1 第二课时 圆的参数方程及应用 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取 （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为 ，最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为 最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 （五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 2、已知)(sin cos 2为参数θθ θ ?? ?=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+? 椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (22022 0=-+-的参数方程是? ??α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（2 0π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π=时，22m a x b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，22max b a 4L +=，此时α存在。 二、求轨迹 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++=cos 82 11021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921sin 6211y 21y y B A +α=+?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53 4|5sin 4cos 3|d 22-??? ??+α=+-α+α=。 当5 3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 四、求解有关离心率等入手比较困难的问题 直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x 圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=?。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++?2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆2 2 4x y +=上有定点A （2，0），及 两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= 3 π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。 【解】由∠BAC=3 π ，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π ))，由重心坐标公式并化简，得： C x y O A B 图1 圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程 (x a)2 ( y b)2 R 2 来说，圆的方程还有另外一种表达 x a Rcos 形式 ( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsin 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。 【解】圆 x 2 y 2 1的参数方程为： x cos 。 y sin 则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos 3sin 2 = 1 cos2 sin 2 3 1 cos2 2 sin 2 cos2 = 2 2 sin(2 2 2 k 3 （k ∈Z ）时， x 2 2xy 3 y 2 的最大值为： 2 2 ； k 8 时， x 2 2xy 3y 2 的最小值为 2 2 。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问 y 题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的 ) ，则 4 （ k ∈Z ） 8 方法解决。 B 二、求轨迹 O A x C 例 2 在圆 x 2 y 2 4 上有定点 A （2，0），及 图 1 两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。 3 ，得∠BOC= 2 4 ），则 B(2cos θ,2sin 【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3 θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2 ))，由重心坐标公式并化简，得： 3 3 课题：圆的参数方程及应用 教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学方法：启发、诱导发现教学. 课时数：1课时 教学过程： 一、复习引入 1、曲线的参数方程的定义、求法步骤 x y O r M M0 4 2 -2 -4 -5 5 c 1 A P C 2、圆的方程. 3、（一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取 2.1.2 圆的参数方程及应用(教学设计) 教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程。 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：?? ?==) ()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：?? ?==)() (t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程? ? ?==)() (t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。 2、参数方程的求法： （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ； （2）选取适当的参数； （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。 二、师生互动，新课讲解: （一）、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程） 圆2 22r y x =+参数方程? ??==θθsin cos r y r x （θ为参数） 说明： （1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。 （2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 （2）圆2 2020)()(r y y x x =-+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 例1：已知圆方程x 2+y 2+2x -6y +9=0，将它化为参数方程。 x y O r M M 0 圆、椭圆的参数方程的应用 1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质． 2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题． [基础·初探] 1．圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a ＋r cos α， y ＝b ＋r sin α(α为参数)．其中，参数α的几何 意义是以圆心A (a ，b )为顶点，且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角． 2．椭圆的参数方程 椭圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a cos θ， y ＝b sin θ(θ为参数)． [思考·探究] 1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？ 【提示】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2 普通方程都是平方和等于1的形式， 故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同． 2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？ 【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令????? x ′＝1a x ，y ′＝1 b y ， 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2 ＝1. 利用圆x ′2＋y ′2 ＝1的参数方程 ????? x ′＝cos φ，y ′＝sin φ (φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程??? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 圆的参数方程的应用 在圆x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5＝0的距离最大． 【自主解答】 圆的方程x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0可化为(x ＋1)2 ＋y 2 ＝1，所以设圆的参数方程为 ? ?? ?? x ＝－1＋cos θ， y ＝sin θ. 设P (－1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线2x ＋3y －5＝0的距离为 d ＝ |2 －1＋cos θ＋3sin θ－5| 22＋3 2 ＝ |2cos θ＋3sin θ－7| 13 ＝ |13sin θ＋α－7|13 (其中sin α＝213 13， cos α＝313 13 )． 当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝3π 2 ， 圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程（x a ）2 3 （y b ）2 R 2来说，圆的方程还有另外一种表达 形式 （为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsi n 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 、求最值 2 【解】由 /BAC=—，得/BOC= ，设 Z ABO= 9（ 0 3 3 2 2 9），C （2cos （9+一），2sin （9+ ）），由重心坐标公式并化简，得: 3 3 ■? 例1已知点（x ， y )在圆x 2 y 2 1 上, 求 x 2 2xy 3y 2的最大值和最小值。 【解】圆x 1的参数方程为: cos 。 sin 则 x 2 2xy 3y 2 = cos' i 2 2sin cos 3sin 2 =1 cos2 =2 3 k — (k ?)时, 8 1 cos 2 sin2 3 2 sin2 cos2 2 x 2 2xy 3y 2的最大值为： =2 2sin(2 2，则 时，x2 2xy 3y2的最小值为2近。 —)，则B(2cosB,2sin 3 2 x - 3 y 2si n() 3 3 2 消去0得：(x m2 y2 【点评】用圆的几何性质，/ BOC=2ZBAC=120 °，再以A BO= B为参数，求 出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。 三、求范围 例3已知点P (x，y)是圆X2 (y 1)2 1上任意一点，欲使不等式x+y+c> 0恒成立，求c的取值范围。 0=1+、、2sin( —)，— ( x+y) =—1 —、、2sin( —)，— ( x+y)的最大值为：一1+、、2，由于x+y+c为，所以，c>—(x+y)恒成立，即c>-1^, 2。 【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算 四、求斜率 1)所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求 得最大值为：4 4，最小值为：0。 2 cos( ) 3 3,由3 5 亍§，知X V 1, 【解】圆x2 (y 1)21的参数方程为: x cos 口「亠 ，贝9有：x+y=1+sin 0+cos 例4求函数f() 值。【解】函数f() 为圆心的 单位圆上的点 椭圆的参数方程及其应用 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： ① 椭圆22 221x y a b +=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=?≤>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ =?≤ 2019-2020年高中数学4.4.8圆的参数方程及应用教案新人教版选修4 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 3、若如图取 4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。 （二）、应用举例 例1、已知两条曲线的参数方程 05cos 4cos 125sin 3sin 45 :(:(45x x t y y t t c c θ θθ==+==+??为参数）和为参数） （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆012462 2=+--+y x y x 上动点，求（1）的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆012462 2=+--+y x y x 即，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1）)sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2 222?θθθθθ++=++=+++=+y x (其中tan =) ∴的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ=5+ sin （ θ + ）∴ x+y 的最大值为5+ ，最小值为5 - 。 显然当sin （ θ+ ）= 1时，d 取最大值，最小值，分别为， . 2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________； 3、若实数x,y 满足x 2 +y 2 -2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 (3) d = =椭圆的参数方程及其应用
圆的参数方程及应用
北师大版高三数学选修4-4教案：2.2圆的参数方程及应用
椭圆的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用举例
(完整版)圆的参数方程及应用
(完整版)圆的参数方程及应用.docx
圆的参数方程及应用教案.doc.doc
..圆的参数方程及应用(教学设计)
2016_2017学年高中数学第二章参数方程2_3参数方程的应用第2课时圆椭圆的参数方程的应用学案苏
圆的参数方程及应用
椭圆的参数方程及其应用
2019-2020年高中数学4.4.8圆的参数方程及应用教案新人教版选修4