七、系统误差的计算
直接与间接测量的系统误差分析
陈军灵
摘 要 本文论述了在电气工程中直接测量与间接测量的系统误差的分析，并列举系统误差计算范例。
关键词 系统误差 直接测量 间接测量
在电气测量技术中，按测量方法可分为直接测量和间接测量。测量误差可分为系统误差、偶然误差和疏失误差三大类[1]。在电气工程测量中，主要考虑的是系统误差。系统误差可按下面方法进行计算。
1．直接测量
在仪表的正常工作条件下，测量结果中的误差即是所使用仪表本身的基本误差，可以根据仪表的准确度等级计算。例如仪表测量时的读数为Ax ，仪表量程为A m ，准确度等级为K ，则测量结果可能出现的最大相对误差为
100%A K%A γx m max ?±= （1）
例如；用量限为30A ，准确度为1.5级的安培表，测得电流为10A ，求可能出现的最大相对误差max γ：
4.5%100%10300.015γm ax ±=??±= 即最大相对误差为±4.5%
2．间接测量
设y 为可直接测量的局部量x 1、x 2、x 3的测量结果。y γ为y 的相对误差（合成相对误差）。x1γ、x2γ、x3γ为对应于x 1、x 2、x 3的相对误差（局部量的相对误差）。因此
当 y=x 1+x 2+x 3
则 x33x22x11y γy x γy x γy x γ++= （2）
当 y=x 1-x 2
则 x22x11y γy x γy x γ+= （3） 当 y=x 1x 2
则 x2x1y γγγ+= （4）
当 y ＝2
1x x 则 x2x1y γγγ-= （5）
当 y=q 3n 2m 1x x x ??
则 x3x2x1y q γn γm γγ++= （6）
由此可见，
（2）式：当被测量y 为可直接测值x 1、x 2、x 3之和时，合成相对误差y γ不会大于各局部相对误差x γ中的最大者。
例如；电流表测量得出两并联支路电流:I 1=10.0A,1γ=±2.0%,I 2=20.0A,2γ=±4.0%,求电路总电流I 以及可能产生的最大相对误差y γ。
I=I 1+I 2=10.0+20.0=30.0A
最差的情况出现在合成最大相对误差取同符号。即
3.33%
4.0%30.020.02.0%30.010.0γI I γI I γ2211y =?+?=+=
（3）式：当被测量y 为两个被测量之差时，合成的相对误差不仅与局部相对误差有关，而且与两被测量之差有关。若两被测量之差越大，合成相对误差越小，反之两被测量之差越小，则合成相对误差越大，当x 1、x 2的值很接近时，将出现非常大的间接测量相对误差，所以工程上要尽量避免这样的间接测量。
例如；电压表测得串联电路的电压U ＝1000V , U γ＝±3%；U 1
＝800V , 1γ＝±3%，求U 2最大相对误差2γ。
根据 U 2＝U ―U 1＝1000－800＝200V
2γ =%27%3*200
800%3*2001000=+
（4）式：被测量y 为几个量之积时，对y ＝x 1 x 2两边取对数得
lny=ln x 1+ln x 2
两边微分 2
211x dx x x y y +=d d 式中2
211x dx x x y y 、、d d 分别为被测量和局部量的相对误差。所以合成相对误差即为
x2x1y γγγ+=从式中可见，如果局部量的相对误差为一正一负，则合成相对误差最小，假如局部相对误差为同一符号，则合成相对误差最大。工程上应注意避免。
又如；测量得某纯电阻电路的电流I=10.0A,1γ=±3.0%,电压U=50.0V ，U γ=±4.0%。求其功率P 和可能产生的最大相对误差P γ。
P=UI=50.0×10.0=500W
1γγγ+=U P =±(4.0+3.0)%=±7.0%
(5)式：被测量为几个量之商时，其推导与(4)式类似，但合成相对误差的最大值可能出现在局部相对误差为一正一负时。
某电路的测量数据有：电阻器R=100Ω，γR =－0.10%,电阻两端的电压U R =30.0V , γI =+0.20%，求流过电阻器的电流I R 和相对误差γI
I R =0.30A 10030.0R U R ==
R U γγγ-=1=0.20-(-0.10)%=0.30%
(6)式：被测量为局部量的乘方时，合成相对误差比局部误差大一倍，如21x y =,x1y 2γγ=。被测量为局部量的开方时，合成相对误差比局部误差小一倍，如y=2
1x ，x y γ21γ=。 通过测量已知导体两端的电压U 和导体的电阻R 以及时间t 来计算消耗在导体内的能量W 。U 、R 、t 的相对误差分别为U γ=±0.01%，R γ=±0.50%，t γ=±1.5%。求间接测量电能W 的最大相对误差。
因为被测量W 与直接可测局部量U ，R ，t 之间的函数关系为：
t R U W 2
=
所以最大的相对误差为
w γ=2U γ-R γ+t γ=±(2×0.01-0.50+1.5)%= ±1.02%
3．结论
综上所述，间接测量时，需进行几次不同量或不同数值的直接测量，再根据它们共同遵循的函数关系（公式）计算出最后结果，每次测量的误差，都将对最后结果有所影响。一般说来，若函数关系是相乘或相除的关系，则先计算其相对误差再用相对误差乘以被测量本身数值即可求出绝对误差。如果函数关系是相加或相减的关系，则先计算绝对误差较为方便。对于直接测量，主要考虑所用仪表、仪器的基本误差。若测量条件不满足仪表的正常工作条件，则需要考虑附加误差。这时测量结果的最大误差应是仪表的基本误差和附加误差之和。关于附加误差的计算方法，可查阅国家标准的有关规定[2]。
参考文献
[1]张渭贤 华南理工大学出版社 1991.12
[2] 国家试行标准JJG1001-82
An Analysis About Systematic Errors In Direct And Indirect Measurement
Chen Junling
Electric Engineering Institute Of Guangxi University
Abstract ：The paper illustrates an analysis about systematic errors in direct &
indirect measurement in electric engineering and the algorithm.
Key words ：systematic errors, direct measurement, indirect measurement
七、系统误差的计算
直接与间接测量的系统误差分析 陈军灵 摘 要 本文论述了在电气工程中直接测量与间接测量的系统误差的分析，并列举系统误差计算范例。 关键词 系统误差 直接测量 间接测量 在电气测量技术中，按测量方法可分为直接测量和间接测量。测量误差可分为系统误差、偶然误差和疏失误差三大类[1]。在电气工程测量中，主要考虑的是系统误差。系统误差可按下面方法进行计算。 1．直接测量 在仪表的正常工作条件下，测量结果中的误差即是所使用仪表本身的基本误差，可以根据仪表的准确度等级计算。例如仪表测量时的读数为Ax ，仪表量程为A m ，准确度等级为K ，则测量结果可能出现的最大相对误差为 100%A K%A γx m max ?±= （1） 例如；用量限为30A ，准确度为1.5级的安培表，测得电流为10A ，求可能出现的最大相对误差max γ： 4.5%100%10300.015γm ax ±=??±= 即最大相对误差为±4.5% 2．间接测量 设y 为可直接测量的局部量x 1、x 2、x 3的测量结果。y γ为y 的相对误差（合成相对误差）。x1γ、x2γ、x3γ为对应于x 1、x 2、x 3的相对误差（局部量的相对误差）。因此 当 y=x 1+x 2+x 3 则 x33x22x11y γy x γy x γy x γ++= （2）
当 y=x 1-x 2 则 x22x11y γy x γy x γ+= （3） 当 y=x 1x 2 则 x2x1y γγγ+= （4） 当 y ＝2 1x x 则 x2x1y γγγ-= （5） 当 y=q 3n 2m 1x x x ?? 则 x3x2x1y q γn γm γγ++= （6） 由此可见， （2）式：当被测量y 为可直接测值x 1、x 2、x 3之和时，合成相对误差y γ不会大于各局部相对误差x γ中的最大者。 例如；电流表测量得出两并联支路电流:I 1=10.0A,1γ=±2.0%,I 2=20.0A,2γ=±4.0%,求电路总电流I 以及可能产生的最大相对误差y γ。 I=I 1+I 2=10.0+20.0=30.0A 最差的情况出现在合成最大相对误差取同符号。即 3.33% 4.0%30.020.02.0%30.010.0γI I γI I γ2211y =?+?=+= （3）式：当被测量y 为两个被测量之差时，合成的相对误差不仅与局部相对误差有关，而且与两被测量之差有关。若两被测量之差越大，合成相对误差越小，反之两被测量之差越小，则合成相对误差越大，当x 1、x 2的值很接近时，将出现非常大的间接测量相对误差，所以工程上要尽量避免这样的间接测量。 例如；电压表测得串联电路的电压U ＝1000V , U γ＝±3%；U 1 ＝800V , 1γ＝±3%，求U 2最大相对误差2γ。 根据 U 2＝U ―U 1＝1000－800＝200V 2γ =%27%3*200 800%3*2001000=+
计算机控制系统的稳态误差
计算机控制系统报告 --计算机控制系统的稳态误差 在计算机控制系统中存在稳态误差。怎样计算稳态误差呢？ 在连续系统中，稳态误差的计算可以通过两种方法计算：一是建立在拉氏变换中值定理基础上的计算方法，可以求出系统的终值误差；另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。 在离散系统中，根据连续系统稳态误差的两种计算方法,在一定的条件下可以推广到离散系统。又由于离散系统没有唯一的典型结构形式，离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。 书上主要介绍了利用z 变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。 设单位反馈误差采样系统如图4.12所示。 图4.12 单位反馈误差采样反馈系统 系统误差脉冲传递函数为 （4.1） 若离散系统是稳定的，则可用z 变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差 （4.2） Φ==+e ()1()()1()E z z R z G z )](1[)()1(lim )()1(lim )(lim )(1111*z G z R z z E z t e e z z t +-=-==∞-→-→∞ →
（4.2）式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。除此之外，离散系统的稳态误差与采样系统的周期的选取也有关。上式只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数G(z)比较复杂时，计算e(∞)仍然有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。 在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v 作为划分离散系统型别的标准，与连续系统类似地把G(z)中 v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等。下面讨论不同类别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。 1．单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，其z 变换函数为 （4.3） 得单位阶跃输入响应的稳态误差 （4.4） 上式代表离散系统在采样瞬时的终值位置误差。式中 （4.5） 称为静态位置误差系数。若G(z)没有z=1的极点，则Kp ≠∞，从而e(∞)≠0；若G(z)有一个或一个以上z=1的极点，则Kp= ∞，从1 11)(--=z z R →∞==+1p 11()lim 1()z e G z K →=+p 1lim[1()]z K G z
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值），n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。§3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m 1、m 2 、…m n ，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error） m ，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
实验四 线性定常系统的稳态误差
实验四 线性定常系统的稳态误差 一、实验目的 1．通过本实验，理解系统的跟踪误差与其结构、参数与输入信号的形式、幅值大小之间的关系； 2．研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。 二、实验原理 控制系统的方框图如图4-1所示。其中G(S)为系统前向通道的传递函数，H(S)为其反馈通道的传递函数。 图4-1 控制系统的方框图 由图4-1求得 )() ()(11 )(S R S H S G S E += （4-1） 由上式可知，系统的误差E(S)不仅与其结构和参数有关，而且也与输入信号R(S)的形式和大小有关。如果系统稳定，且误差的终值存在，则可用下列的终值定理求取系统的稳态误差： )(lim 0 S SE e s ss →= （4-2） 本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。下面叙述0型、I 型、II 型系统对三种不同输入信号所产生的稳态误差ss e 。 1．0型二阶系统 设0型二阶系统的方框图如图4-2所示。根据式（4-2），可以计算出该系统对阶跃和斜坡输入时的稳态误差： 图4-2 0型二阶系统的方框图 ● 单位阶跃输入（s S R 1 )(= ） 3 1 12)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=?+++++? =→S S S S S S e S ss （4-3） 输入输出响应曲线如图4-1所示，仿真图如图4-2所示。
图4-3 0型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-4 Matlab 仿真曲线 由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为，符合 4-3式计算的理论值。 ● 单位斜坡输入（2 1)(s S R = ） ∞=?+++++?=→201 2)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim S S S S S S e S ss （4-4） 输入输出响应曲线如图4-3所示，仿真图如图4-4所示。 图4-5 0型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-6 Matlab 仿真曲线 由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差趋于无穷大，符合4-5式理论计算值。 上述结果表明0型系统只能跟踪阶跃信号， 0型系统跟踪阶跃输入有稳态误差，计算公式为： P ss K R e += 10 （4-5） 其中)()(lim 0 S S H S G K p →?，R 0为阶跃信号的幅值。 2．I 型二阶系统 设图4-4为I 型二阶系统的方框图。
3.8系统误差分析与计算
第三章 系统的时间响应分析 3.8系统的误差分析与计算 对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。 系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差的计算方法。 本节内容分五点进行讲解： 一、系统的误差e(t)及偏差)(t ε 二、系统的稳态误差与稳态偏差 三、与输入有关的稳态偏差 四、系统结构对稳态偏差的影响 五、与干扰有关的稳态偏差 一、系统的误差e(t)及偏差)(t ε 1、定义 系统的误差e(t) （输出端定义）：设()or x t 是控制系统的希望输出，()o x t 是其实际输出，则误差()e t 定义为： 值希望输出值－实际输出=-=)()()(t x t x t e o or Laplace 变换记为)(1s E ，为避免与系统的偏差()E s 混淆，用下标1区别。 )()()(1s X s X s E o or -= 系统的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中 有时无法测量，因而，一般只有数学意义。 系统的偏差()t ε（输入端定义）：为输入信号与反馈信号的差值 ()()()i t x t b t ε=-，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。 系统偏差的Laplace 变换记为()E s ，()()()()()()i i o E s X s B s X s H s X s =-=- 2、误差与偏差)(t ε的关系 输出为希望值时，即)()(s X s X or o =，不起调节作用）（＝应该有)(0)(s E s E 0)()()()()()()(===s H s X s X s H s X s X s E or i o i －－ ) () ()()()()(s H s X s X s H s X s X i or or i = ?=从而有， 输出偏离希望值时（一般情况）
定位误差计算方法
定位误差的计算方法： （1）合成法 为基准不重合误差和基准位移误差之和； （2）极限位置法 工序基准相对于刀具（机床）的两个极限位置间的距离就是定位误差； （3）微分法 先用几何方法找出工序基准到定位元件上某一固定点的距离，然后对其全微分，用微小增量代替微分，将尺寸误差视为微小增量代入，就可以得到某一加工尺寸的定位误差。 注：基准不重合误差和基准位移误差它们在工序尺寸方向上的投影之和即为定位误差。 例如：用V 型块定位铣键槽，键槽尺寸标注是轴的中心到键槽底面的尺寸H 。T D 为工件定位外圆的公差；α为V 型块夹角。 1. 工序基准为圆柱体的中心线。 表示一批工件依次放到V 型块上定位时所处的两个极端位置情形，当工件外圆直径尺寸为极大和极小时，其工件外圆中心线分别出于点 O '和点O ''。 因此工序基准的最大位置变动量O O '''，便是对加工尺寸 H 1所产生的定位误差： 故得： O E O E H H O O 11DH 1 ''-'='-''='''=ε O A E Rt 1''?中： max 1 D 2 1A O ='' 2 sin A O O E 1α''= ' O A E Rt 1''''?中：min 1 D 2 1 A O ='''' 2 sin A O O E 1α''''= '' 2 sin 2T 2sin 2T 2sin A O A O O E O E D D 11DH 1 α=α=α''''-''=''-'=ε 2. 工序基准为圆柱体的下母线：
工件加工表面以下母线C 为其工序基准时，工序基准的极限位置变动量 C C '''就是加工尺寸H2所产生的定位误差。 C S C S C O O O H H 22DH 2 '-''=''-'''='-''=ε C O C O O O ) C O O S ()C O O S (' '-''''+'''=''+'-'''+'= 而 2 sin 2T O O D α= ''' min D 2 1C O ='''' max D 2 1C O ='' 所以： C O C O O O 2 DH ''-''''+'''=ε ) 12 sin 1(2T 2T 2sin 2T 2D D 2 sin 2T )D (21 )D (212sin 2T D D D max min D max min D DH 2 -α=-α=-+ α=-+α=ε 3. 工序基准为上母线 如果键槽的位置尺寸采用上母线标注时，上母线K 的极限位置变动量为 K K '''，就是对加工尺寸H 3 所产生的定位误差。
误差基本知识及中误差计算公式
测量中误差 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即： 。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差 （unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
控制系统的稳态误差
3.5 控制系统的稳态误差 3.5 控制系统的稳态误差 描述控制系统的微分方程 (3.73 ) 式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为 (3.74) 式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。随时间的增大，方程 的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。当时，方程的通 解趋于零 这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要 求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。 3.5.1 稳态误差 控制系统的误差可以表示为 (3.75) 式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的 输出。 稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差
图3.23 单位反馈和非单位反馈系统 （a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统 在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图 3.23（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即 (3.76) 式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。单位反馈系统的稳态误差为: (3.77) 对图3.23（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上的误差。但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈 量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出 量，于是，定义非单位反馈系统的误差为 (3.78) 式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得 (3.79)
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i?X σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有
(2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义S2为样本方差
定位误差计算方法
定位误差计算方法 皇甫彦卿 (杭州电子科技大学信息工程学院，浙江杭州310018) 摘要：分析了定位误差产生的原因和定位误差的本质,并结合具体的实例，对定位误差的计算提出了三种方法：几何法、微分法、组合法，并且为正确选择计算方法提供了依据。 关键词：定位误差；几何法；微分法；组合法 Position error calculation method Abstract：To analyze the causes of the positioning error and the nature of the positioning error, and combined with concrete examples, three methods are put forward for the calculation of position error: geometric method, differential method, group legal, and provide the basis for correct selection of calculation method. Key words: positioning error; Geometry method; Differentiation; Set of legal 1 引言 定位误差分析与计算，是机床夹具设计课程中的重点和难点。在机械加工中，能否保证工件的加工要求，取决于工件与刀具间的相互位置。而引起相互位置产生误差的因素有四个，定位误差就是重要因素之一（定位误差一般允许占工序公差的三分之一至五分之一）。定位误差分析与计算目的是为了对定位方案进行论证，发现问题并及时解决。 2 工件定位误差 2.1定位误差计算的概念 按照六点定位原理，可以设计和检查工件在夹具上的正确位置，但能否满足工件对工序加工精度的要求，则取决于刀具与工件之间正确的相互位置，而影响这个正确位置关系的因素很多，如夹具在机床上的装夹误差、工件在夹具中的定位误差和夹紧误差、机床的调整误差、工艺系统的弹性变形和热变形误差、机床和刀具的制造误差及磨损误差等。 因此，为保证工件的加工质量，应满足如下关系式： δ ?式中：?--各种因素产生的误差总和；δ--工件被加工尺寸的公差。 ≤ 2.2定位误差及其产生原因 所谓定位误差，是指由于工件定位造成的加工面相对工序基准的位置误差。因为对一批
有效数字及误差计算
有效数字及误差计算 一、测量 所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行 比较，确定出它是标准量的多少倍。如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m 。 测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。同样一个量，测量时选择 的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如 273.15K ，3.0×108m/s 等等。 二、测量分类 根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。 1．直接测量 直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。 相应测得量称为直接测量量。如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。 2．间接测量 间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物 理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。如：物质的密度3/a m ＝ρ、物体运动的速度t S v /=、物体的体积等等。 三、有效数字 测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该 测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。 图1用毫米尺测量工件的长度
如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。此工件的长度介于13mm 和14mm 之间，其右端点超过13mm 刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为13.6mm 。从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位0.6mm 则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是有一定根据，是有意义的）。 定义： 由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。 如上读数13.6mm 共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出 来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。 注： 1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量 工具有关。 2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定 了。 3、仪器的读数规则 测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字 和能够估读出来的数字。在测量中，有一些仪器读数是需要估读的， 如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。估读时，首先根据最小分格 大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常 读到格值的1/10，1/5或1/2。 4、有效位数的认定 （1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效 数。如：56.14mm ，50.007mm 有效位数分别为四位、五位。 （2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数 字。如：50.140mm ，2.204500的有效位数分别为五位、七位。 （3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无 效位零。如：0.05mm ，0.00155m 有效位数分别为一位、三位。 （4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应 改变数值的有效位。因此，在变换单位时，为了正确表达出有效位 数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。如： km 1030.4m 1030.4m 1030.4cm 30.4542--?=μ?=?= 注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。
自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
实验三 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就 是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下： Transfer function: 0.2 s + 0.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5
s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i
如何进行误差计算
误差 一、直接测量和间接测量 在物化实验中需对某些物理量进行测量，以便寻找出化学反应中的某些规律，测量又可分为直接测量和间接测量。直接测量是指实验结果可直接用实验数据表示。如用温度计测量温度，用米尺测量长度，用压力计测量压力等。另一类间接测量是指实验结果不能直接用实验数据表示，而必须由若干个直接测量的数据通过某种公式进行数学运算方可表示的实验结果。如用凝固点降低法测溶质的分子量，就必须通过测量质量、体积和温差这些直接测量的数据，再用冰点降低公式进行数学运算后，方可得到溶质的分子量。 在直接测量过程中由于所使用的测量工具不准确，测量方法的不完善，都使得测量结果不准确，以致于偏离真实值，这就是误差。在间接测量中由于直接测量的结果有误差，此误差可传递到最后的结果中，也可使其偏离真实值。 由上所述，可知误差存在于一切测量之中，所以讨论误差，了解其规律、性质、来源和大小就非常有必要。实验误差的分析，对人们改进实验，提高其精密度和准确度（精密度和准确度的意义在以后讨论），甚至新的发现都具有重要的意义。 二、真值 真值是一个实际上不存在的值，它只是一个理论上的数值。例如，我们可取光在真空中的速度作为速度的计量标准，又如，可用理论安培作为电流的计量标准，其定义为：若在真空中有两根截面无限小的相距2米的无限长平行导体，在其上流过一安的电流时，则在二导体间产生10-7牛顿／米的相互作用力。这样的参考标准实际上是不存在的，它只存在于理论之中，因此这样的真值是不可知的。但人类的认识总是在发展的，能够无限地逐渐迫近真值。 由于真值是不可知的，所以一般国家（或国际上）都设立一个能维持不变的实物基础和标准器。指定以它的数值作为参考标准。例如，以国家计量局的铯射束原子频率标准中，铯原子的基态超精细能级跃迁频率的平均值作为9，129，631，770赫。这样的参考标准叫做指定值。 在实际工作中，我们不可能把所使用的仪器都一一地与国家或国际上的指定值相对比，所以通常是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比。在每一级的对比中，都把上一级的标准器的量值当作近似真值，而称为实际值。 三、准确度和精密度 准确度是指测量结果的正确性，即测得值与真值的偏离程度。精（密）度是指测量结果的可重复性及测得结果的有效数字位数（有效数字在以后讨论）。我们说测量值与真值越接近，则准确度越高。测量值的重复性越好，有效数字越多，则精度越高。对准确度和精度的理解，可以用打靶的例子来说明： 图II－(1) 准确度与精密度的示意图 图II－(1)中（a）、（b）、（c）表示三个射手的成绩。（a）表示准确度和精度都很高。（b）则因能密集射中一个区域，就精度而言是很高的，但没射中靶眼，所以准确度不高。（c）则不论是准确度还精度都很不好。在实际工作中，尽管测量的精度很高但准确度并不一定高。而准确度很高的测量要求其精度必定也很高。 四、误差的种类、来源及其对测量结果的影响和消除的方法 根据误差的性质，可把测量误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三类。 、系统误差 在相同条件下多次测量同一物理量时，测量误差的绝对值（即大小）和符号保持恒定，或在条件改变时，按某一确定规律而变的测量误差，这种测量误差称为系统误差。 系统误差的主要来源有：
测量中误差计算公式(很有用哦)
测量中误差计算公式(很有用哦) 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一、系统误差（system error） 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二、偶然误差（accident error） 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特点： （1） 具有一定的范围。 （2） 绝对值小的误差出现概率大。 （3） 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4） 数学期限望等于零。即：
误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一、中误差 方差 某量的真误差，[]求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1、用真误差（true error）来确定中误差适用于观测量真值已知时。 真误差Δ观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2、用改正数来确定中误差（白塞尔公式）适用于观测量真值未知时。 V最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二、相对误差 1、相对中误差=
2、往返测较差率K= 三、极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 3误差传播定律 一、误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二、权（weight）的概念 1、定义：设非等精度观测值的中误差分别为m 1、m 2、…mn，则有： 权 其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。 2、规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
系统稳态误差分析
苏州市职业大学实训报告 院系 电子信息工程学院 班级 姓名 学号 实训名称 系统稳态误差分析 实训日期 一、实训目的 1、掌握终值定理求稳态误差的方法； 2、在不同输入信号作用下,观察稳态误差与系统结构参数、型别的关系； 3、比较干扰在不同的作用点所引起的稳态误差。 二、实训内容 1、给定信号输入作用下，系统的稳态误差分析。 已知控制系统的动态结构图如下所示，其中112()21G s K s =?+，24()0.41 G s s =+，反馈通道传递函数()1H s =。 （1)建立上述控制系统的仿真动态结构图；令开环增益为K1=1,分别对系统输入阶跃信号和斜坡信号，用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线；并分别计算不同输入信号下的稳态误差值 ； （2)改变系统增益K1（自行选取增益值，如K1=10），用示波器观察系统的稳态误差曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。 如果前向通道中再串联一个积分环节，（增益值K1值同第三步），用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。 建立如下图1所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图2）： 图1 单位阶跃信号作用下，K1=1的系统结构图 第 1 页 共 8 页 指导教师签名
苏州市职业大学实训报告 院系电子信息工程学院班级姓名学号 实训名称系统稳态误差分析实训日期 图2 单位阶跃信号作用下，K1=1的仿真曲线 建立如下图3所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线和单位斜坡误差响应曲线（图4）： 图3 单位斜坡信号作用下，K1=1的系统结构图 图4 单位斜坡信号作用下，K1=1的仿真曲线
标准误计算公式
标准误 标准误差，也称标准误，是描述对应的样本统计量抽样分布的离散程度及衡量对应样本统计量抽样误差大小的尺度。对一个总体多次抽样，每次样本大小都为n，那么每个样本都有自己的平均值，这些平均值的标准差叫做标准误差。 标准误计算公式 但由于通常σ为未知，此时可以用研究中取得样本的标准差 (s) 来估计： 标准差 在统计中，标准差是一种用于量化一组数据值的变化或分散程度的度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
在Excel中计算方差的公式为STDEV.P和STDEV.S（或STDEV）其中，STDEV.P 计算时，认为你给出的数据是总体，因此它的分母为N，而STDEV.S计算时，认为你给出的数据是样本，因此它的分母为N-1。在R中，用到的函数为sd，默认的就是样本，因此分母为N-1。 标准误与标准差的区别 从上面的描述我们就知道了，标准差与标准误的区别在于：
1.标准差是对一次抽样的原始数据进行计算的，而标准误则是对多次抽样的 样本统计量进行计算的（这个统计量可以是均值）； 2.标准差只是一个描述性指标，只是描述原始数据的波动情况，而标准误是 跟统计推断有关的指标，大多数的统计量计算都需要用到标准误。 最后举个简单的例子： 例如我们要调查地区A中10岁男孩的身高。如果全部都统计下来，直接测是最准确的数据。但是成本高，不现实。因此需要进行采样，一次测量100个男孩的身高，求这一次的均值M1与标准差S1，如果采样10次，每次都取100人，我们会得到10个均值，分别记为M1，M2，M3...M10，对这10个均值再求一个均值M以及标准差S，其中这个标准差S就是标准误(standard error)，即均值的标准误差(standard error of mean)。 文章参考： https://https://www.360docs.net/doc/21931685.html,/p/b6b87da11c82 https://https://www.360docs.net/doc/21931685.html,/wiki/Standard_error https://https://www.360docs.net/doc/21931685.html,/wiki/Standard_deviation
自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
实验三 自动控制系统的稳定性与稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性,验证稳定判据的正确性; 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响; 3、观察系统结构与稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性,只要求出系统的闭环极点即可,而系统的闭环极点就就是闭环传递函数的分母多项式的根,可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点,或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点,从而判断系统的稳定性。 (1)已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s +=+++,用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性,并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下: z=-2、5 p=[0,-0、5,-0、7,-3] k=0、2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下: Transfer function: 0、2 s + 0、5 --------------------------------------- s^4 + 4、2 s^3 + 3、95 s^2 + 1、25 s + 0、5 s^4 + 4、2 s^3 + 3、95 s^2 + 1、25 s + 0、5就是系统的特征多项式,接着输入如下
MATLAB程序代码: den=[1,4、2,3、95,1、25,0、5] p=roots(den) 运行结果如下: p = -3、0058 -1、0000 -0、0971 + 0、3961i -0、0971 - 0、3961i p为特征多项式dens的根,即为系统的闭环极点,所有闭环极点都就是负的实部,因此闭环系统就是稳定的。 下面绘制系统的零极点图,MATLAB程序代码如下: z=-2、5 p=[0,-0、5,-0、7,-3] k=0、2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下: z = -2、5000 p = -3、0058 -1、0000 -0、0971 + 0、3961i -0、0971 - 0、3961i k =
标准偏差计算公式
标准偏差计算公式 标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。标准偏差公式：S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))公式中∑代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。 例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。 x拨= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5 S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1) 标准偏差S = Sqr(S^2) STDEV基于样本估算标准偏差。标准偏差反映数值相对于平均值 (mean) 的离散程度。 COUNT函数 功能 计算可以在Excel办公软件中计算参数列表中的数字项的个数。 语法 COUNT(value1,value2, ...) 参数 V alue1, value2, ... 是包含或引用各种类型数据的参数（1～30个），但只有数字类型的数据才被计数。 说明 函数COUNT在计数时，将把数字、空值、逻辑值、日期或以文字代表的数计算进去；但是错误值或其他无法转化成数字的文字则被忽略。 如果参数是一个数组或引用，那么只统计数组或引用中的数字；数组中或引用的空单元格、逻辑值、文字或错误值都将忽略。如果要统计逻辑值、文字或错误值，请使用函数COUNTA（COUNTIF按EXCEL的说明也行，但常出毛病）。 示例 如果A1为1，A5为3，A7为2，其他均为空，则： COUNT(A1:A7) 等于 3 备注：计算出A1到A7中，数字的个数 COUNT(A4:A7) 等于 2 备注：计算出A4到A7中，数字的个数 COUNT(A1:A7, 2) 等于 4 备注：计算A1到A7单元格和数字2一起，一共是多少个数字（A1到A7中有3个，加上数字2，一共4个） DEVSQ 返回数据点与各自样本平均值偏差的平方和。 语法 DEVSQ(number1,number2,...) Number1, number2, ...为1 到30 个需要计算偏差平方和的参数，也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 说明 参数可以是数字，或者是包含数字的名称、数组或引用。 如果数组或引用参数包含文本、逻辑值或空白单元格，则这些值将被忽略；但包含零值的单元格将计算在内。