经济问题题库教师版

1. 分析找出试题中经济问题的关键量。

2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。

3. 用解方程的方法求解。

4. 利用分数应该题的方法进行解题

一、经济问题主要相关公式：

=+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本利润率利润成本成本

； 1=?+售价成本（利润率）

，1=+售价成本利润率其它常用等量关系：

售价=成本×（1+利润的百分数）；

成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；

二、经济问题的一般题型

(1)直接与利润相关的问题：

直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。

(2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题：

涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。

知识点拨

教学目标 6-2-2经济问题

三、解题主要方法

1．抓不变量(一般情况下成本是不变量)；

2．列方程解应用题．

【例 1】某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店

从这60个皮箱上共获得多少利润？

【解析】 6300-60×80=1500（元）

【例 2】李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，

卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？

【解析】经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可．

1元钱3个苹果，也就是一个苹果13元；1元钱2个苹果，也就是一个苹果12

元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个

27元．在前一半的每个苹果可以挣111236

-=(元)，而后一半的每个苹果亏1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得

27元，就会共赚取2247元钱．如果从前、后两半中各取一个苹果，合在一起销售，这样可赚得11562142

-=(元)，所以每一半苹果有2524204742

÷=个，那么苹果总数为2042408?=个．【巩固】某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱

25%，求原价是多少元？

【解析】根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以

原价为：20054254+=（元）

【例 3】 (2008年清华附中考题)王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4

后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为元/个．

【解析】降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最

后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元．

例题精讲

【例 4】（难度等级 ※※※）某人在某国用5元钱买了两块鸡腿和一瓶啤酒，当物价上涨20％后，5元

钱恰好可买一块鸡腿和一瓶啤酒，当物价又上涨20％，这5元钱能否够买一瓶啤酒？

【解析】方法一：以原来鸡腿和啤酒的价格为基准，所以可列下面的式子：两块鸡腿+一瓶啤酒=5元

(一块鸡腿+一瓶啤酒）×(1+20%)＝5元；1瓶啤酒=4块鸡腿，所以原来一瓶啤酒要20/6元。物价上涨两次20%以后，啤酒的价格为：20/6×（1+20%）(1+20%)=4.8元。所以还能买到一瓶啤酒。

方法二：物价上涨20%后，如果钱也增加20%，那么就仍然可买两块鸡腿和一瓶啤酒。两块鸡腿 + 一瓶啤酒=6元。但是现在一块鸡腿+一瓶啤酒=5元，则一块鸡腿=1元。一瓶啤酒=4元。再上涨20%以后，一瓶啤酒为：4×（1+20%）=4.8元。

【巩固】某商品按每个5元的利润卖出4个的钱数，与按每个20元的利润卖出3个的钱数一样多，这种

商品每个成本是多少元

【解析】方法一：根据题意存在下面的关系（5元＋成本）×4＝（20元＋成本）×3，经过倒退可以列式

子为：()()203544340?-?÷-=（元），所以成本为40元

方法二：成本不变，每件利润多20515-=（元），3件多15345?=（元），多与少恰好相等，少卖1个少45元，原价利润5元+成本，成本为45540-=（元）。

【巩固】（难度等级 ※※※※※）某人以每3只16分的价格购进一批桔子。随后又以每4只21分的价

格购进数量是前一批2倍的桔子，若他想赚取全部投资20%的盈利，则应以每3只多少分的标价出售？

【解析】可以设第一次购进12（是3、4的最小公倍数）子，第二次购进24子，其投资为：16×（12÷3）

＋21×（24÷4）＝190（分）若想获利20%，应该售价为()()190120%1224319?+÷+÷=????

【例 5】一千克商品随季节变化降价出售，如果按现价降价10%，仍可获利180元，如果降价20%就要亏

损240元，这种商品的进价是多少元？

【解析】根据盈亏问题可得现价为：()()18024020%10%4200+÷-=，

所以成本为：()110%42001803600-?-= (元)

【巩固】 (2008年实验中学考题)某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832

元．问：商品的购入价是________元．

【解析】该商品的定价为：(832960)(180%)8960+÷-=(元)，则购入价为：89609608000-=(元)．

【巩固】一千克商品按20%的利润定价，然后又按8折售出，结果亏损了64元，这千克商品的成本是多

少元？

【解析】 ()641120%80%1600÷-+?=????（元）

【例 6】（2008年第六届“希望杯”一试六年级）春节期间，原价100元／件的某商品按以下两种方式

促销：第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折后再减价20元．那么，能使

消费者少花钱的方式是第种。

【解析】方法一：设原价是a 元，第一种促销价为()0.8200.816a a -=-（元），第二种促销价为(0.820)

a -元，由于0.8160.820a a ->-，所以少花钱的方式是第二种.

方法二：第一种促销价格为()100200.864-?=，第二种促销价格为1000.82060?-=（元），所以选第二种。

【巩固】甲、乙两店都经营同样的某种商品，甲店先涨价10%后，又降价10%；乙店先涨价15%后，又降

价15%。此时，哪个店的售价高些？

【解析】甲店原价：()()110%110%99%+?-=；

对于乙店原价为：()()115%115%97.75%+?-= ，所以甲店售价更高些。

【巩固】 (2008年清华附中考题)某种皮衣定价是1150元，以8折售出仍可以盈利15%，某顾客再在8折

的基础上要求再让利150元，如果真是这样，商店是盈利还是亏损？

【解析】该皮衣的成本为：()11500.8115%800?÷+=元，在8折的基础上再让利150元为：

11500.8150770?-=元，所以商店会亏损30元．

【例 7】（难度等级 ※※※※）一件衣服，第一天按原价出售，没人来买，第二天降价20％出售，仍

无人问津，第三天再降价24元，终于售出。已知售出价格恰是原价的56％，这件衣服还盈利

20元，那么衣服的成本价多少钱？

【解析】我们知道从第二天起开始降价，先降价20%然后又降价24元，最终是按原价的56%出售的，所

以一共降价44%，因而第三天降价24%。24÷24%=100元。原价为100元。因为按原价的56%出售后，还盈利20元，所以100×56%-20=36元。所以成本价为：36元。

【例 8】（难度等级 ※）某公司股票当年下跌20％，第二年上涨多少才能保持原值

【解析】本题需要了解股票下跌和上涨之间的关系,因为上涨值未知,所以可设某公司股票为1,第二年上涨

x 才能保持原值,则可列方程为:（1－20%）×（1＋x ）=1，所以x ＝25%，则第二年应该上涨25%才能保持原值.

【巩固】（难度等级 ※※※）某商按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利

润百分数是多少？

【解析】设定价时“1”，卖价是定价的80%，就是0.8.因为获得20%的利润，卖价是成本乘以（1+20%），

即1.2倍，所以成本是定价的28 1.23÷=，定价的期望利润的百分数是22150%33

??-÷= ???

【例 9】有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜10%．甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利

润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元．甲店的进货价是多少元？

【解析】因为甲店进货价比乙店进货价便宜10%，所以甲店进货价是乙店的90%．设乙店的进货价为x 元，

则甲店的进货价为90%x 元．由题意可知，甲店的定价为()90%120%x ?+元，乙店的定价为()115%x ?+元，而最终甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，由此可列方程：()()115%90%120%11.2x x ?+-?+=．解得160x =(元)，那么甲店的进货价为16090%144?=(元)．

【巩固】某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价．当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商

店把这批笔记本按定价的一半出售．问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

【解析】设这批笔记本的成本是“1”．因此定价是()1130% 1.3?+=．其中80%的卖价是1.380%?，20%的

卖价是1.3220%÷?．

因此全部卖价是1.380% 1.3220% 1.17?+÷?=．

实际获得利润的百分数是1.1710.1717%-==．

【例 10】 (2008年清华附中考题)某书店购回甲、乙两种定价相同的书，其中甲种书占35

，需按定价的78%付款给批发商，乙种书按定价的82%付款给批发商，请算算，书店按定价销售完这两种书后获

利的百分率是多少？

【解析】设甲、乙两种书的定价为a ，甲、乙两种书的总量为b ，则甲种书数量为35b ，乙种书数量为25

b ，则书店购买甲、乙两种书的成本为：3278%82%0.79655

a b a b ab ??+??=，而销售所得为ab ，所以获利的百分率为：()0.7960.796100%26%ab ab ab -÷?=．

【例 11】某家商店决定将一批苹果的价格降到原价的70%卖出，这样所得利润就只有原计划的13

．已知这批苹果的进价是每千克6元6角，原计划可获利润2700元，那么这批苹果共有多少千克？

【解析】原价的30%相当于原利润的23，所以原利润相当于原价的230%45%3

÷=，则原价与原利润的比值为20:9，因此原利润为每千克96.6 5.4209?

=-元；又原计划获利2700元，则这批苹果共有2700 5.4500÷=千克．

【巩固】某商家决定将一批苹果的价格提高20%，这时所得的利润就是原来的两倍．已知这批苹果的进

价是每千克6元，按原计划可获利润1200元，那么这批苹果共有多少千克？

【解析】根据题意可知，原价的20%就等于原来的利润，所以原价和原利润的比值为1:20%5:1=，利润

为每千克16 1.551

?=-元，所以这批苹果一共有1200 1.5800÷=千克．【巩固】 (2008年实验中学考题)2008年1月，我国南方普降大雪，受灾严重．李先生拿出积蓄捐给两个

受灾严重的地区，随着事态的发展，李先生决定追加捐赠资金．如果两地捐赠资金分别增加10%和5%，则总捐资额增加8%；如果两地捐赠资金分别增加15%和10%，则总捐资额增加13万元．李先生第一次捐赠了多少万元？

【解析】两地捐赠资金分别增加10%和5%，则总捐资额增加8%，如果再在这个基础上两地各增加第一

次捐资的5%，那么两地捐赠资金分别增加到15%和10%，总捐资额增加了8%5%13%+=，恰好对应13万，所以第一次李先生捐资1313%100÷=万.

【例 12】（2008年湖北省“创新杯”六年级二试）甲、乙两种商品成本共200元。商品甲按30%的利润定

价，商品乙按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的九折销售，结果仍获得利润27.7元。问

甲种商品的成本是多少元？

【详解】假设把两种商品都按20%的利润来定价，那么可以获得的利润是

200(120%)90%20016?+?-=元，

由于在计算甲商品获得的利润时，它成本所乘的百分数少了[](130%)(120%)90%+-+?，所以甲商品的成本是[](27.716)(30%20%)90%130-÷-?=元。

【巩固】甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价．后来

都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元．甲种商品的成本是元．

【解析】甲种商品的实际售价为成本的()120%90%108%+?=，所以甲种商品的利润率为8%；乙种商品

的实际售价为成本的()115%90%103.5%+?=，所以乙种商品的利润率为3.5%．根据“鸡兔同笼”的思想，甲种商品的成本为：()()1312200 3.5%8% 3.5%1200-?÷-=(元)．

【巩固】某商场将一套儿童服装按进价的50%加价后，再写上“大酬宾，八折优惠”，结果每套服装仍获

利20元．这套服装的进价是元．

【解析】如果儿童服装的成本为a 元，那么原来的售价为150% 1.5a a ?=元，优惠后的价格为

1.50.8 1.2a a ?=元，每套服装能获利1.20.2a a a -=元，所以0.220a =，可得100a =，即每套服装进价为100元．

【巩固】体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球．零售时足球加价9%，篮球加价11%，全部

卖出后获利润298元．问：每个足球和篮球的进价是多少元？

【解析】如果零售时都是加价9%，那么全部卖出后可获利润30009%270?=元，比实际上少了

29827028-=元，可见所有篮球的总成本为28(11%9%)1400÷-=元，那么足球的总成本为

300014001600-=元，

故每个足球的进价为16005032÷=元，每个篮球的进价为14004035÷=元。【例 13】某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品．二级品的进价比一级品便宜20%．按优质

优价的原则，一级品按20%的利润率定价，二级品按15%的利润率定价，一级品篮球比二级品

篮球每个贵14元．一级品篮球的进价是每个多少元？

【解析】设一级品的进价每个x 元，则二级品的进价每个0.8x 元．由一、二级品的定价可列方程：

()()120%0.8115%14x x ?+-?+=，解得50x =，所以一级品篮球的进价是每个50元.

【巩固】（难度等级 ※※※）某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％。妈妈第一天买

了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。如果这10个蜜瓜都在第三天买，那么能少花多少钱？

【解析】设第一天每个蜜瓜的价格是x 元。列方程：2x ＋3x ×80％＋5x ×80％×80％＝38，解得x=5（元）。

都在第三天买，要花5×10×80％×80％=32（元），少花38-32＝6（元）。

【例 14】商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件

没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180件，于是

将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利2300元．求商店一共进了多少件衬衫？

【解析】 (法1)由题目条件，一共有150件衬衫以90元或80元售出，有180件衬衫以100元或90元售

出，所以以100元售出的衬衫比以80元售出的衬衫多18015030-=件，剔除30件以100元售出的衬衫，则以100元售出的衬衫和以80元售出的衬衫的数量相等，也就是说除了这30件衬衫，剩下的衬衫的平均价格为90元，平均每件利润为10元，如果将这30件100元衬衫也以90元每件出售，那么所有的衬衫的平均价格为90元，平均利润为10元，商店获利减少3010300?=元，变成2000元，所以衬衫的总数有200010200÷=件．

(法2)按进货价售出衬衫获利为0，所以商店获利的2300元都是来自于之前售出的180件衬衫，这些衬衫中有的按利润为10元售出，有的按利润为20元售出，于是将问题转化为鸡兔同笼问题.可求得按100元价格售出的衬衫有50件，所以衬衫一共有50150200+=件衬衫．

（方法3）假设全为90元销出：()180********?-=（元），可以求按照100元售出件数为：

()()23001800201050-÷-=（件）

，所以衬衫一共有50150200+=件衬衫．【巩固】商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售

价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了多少件衬衫？

【解析】 (法1)将最后7件衬衫按原价出售的话，商店应该获利()7027010.87800+?-?=(元)，按原售价

卖每件获利705020-=元，所以一共有8002040÷=件衬衫．

(法2)除掉最后7件的利润，一共获利()702700.8507660-?-?=(元)，所以按原价售出的衬衫一共有()660705033÷-=件，所以一共购进33740+=件衬衫．

【巩固】商店以每双13元购进一批拖鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批拖鞋的全部开

销外还获利88元．问：这批拖鞋共有多少双？

【解析】 (法1)将剩余的5双拖鞋都以14.8元的价格售出时，总获利升至8814.85162+?=元，即这批拖鞋

以统一价格全部售出时总利润为162元；又知每双拖鞋的利润是14.813 1.8-=元，则这批拖鞋共有162 1.890÷=双．

(法2)当卖到还剩5双时，前面已卖出的拖鞋实际获利88135153+?=元，则可知卖出了

153(14.813)85÷-=双，所以这批拖鞋共计85590+=双.

【巩固】（难度等级 ※※※）某书店出售一种挂历，每售出1本可获得18元利润．售出一部分后每本

减价10元出售，全部售完.已知减价出售的挂历本数是原价出售挂历的2/3．书店售完这种挂历共获利润2870元．书店共售出这种挂历多少本

【解析】方法一：减价出售的本数是原价出售挂历本数的2/3，所以假设总共a 本数，则原价出售的为3/5a,

减价后的为2/5a ，所以3/5a ×18＋2/5a ×8=2870，所以a=205本。方法二：我们知道原价和减价后的比例为3：2，所以可求平均获利多少，即(3×18＋2×8)÷5=14元.所以2870÷14=205本。

【例 15】成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售．当销掉80%后，剩下的练习本打折扣

出售，结果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？

【解析】先销掉80%，可以获得利润0.2540%120080%96???=(元)．最后总共获得86%的利润，利润共

0.2540%120086%103.2???=(元)，那么出售剩下的20%，要获得利润103.2967.2-=(元)，每本需要获得利润()7.2120020%0.03÷?=(元)，所以现在售价是0.250.030.28+=(元)，而定价是()0.25140%0.35?+=(元)．售价是定价的0.28100%80%0.35

?=，故出售时是打8折．【巩固】某店原来将一批苹果按100%的利润(即利润是成本的100%)定价出售．由于定价过高，无人购

买．后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？

【解析】第二次降价的利润是：(30.2%40%38%)(140%)25%-?÷-=，价格是原定价的

(125%)(1100%)62.5%+÷+=．

【例 16】商店购进1000个十二生肖玩具，运途中破损了一些．未破损的好玩具卖完后，利润率为50%；

破损的玩具降价出售，亏损了10%．最后结算，商店总的利润率为39.2%．商店卖出的好玩具

有多少个？

【解析】设商店卖出的好玩具有x 个，则破损的玩具有()1000x -个．根据题意，有：

()50%100010%100039.2%x x ?--?=?，解得820x =．故商店卖出的好玩具有820个．

【例 17】利民商店从一家日杂公司买进了一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价40%定价出

售．但是，按这种定价卖出这批蚊香的90%时，夏季即将过去．为了加快资金的周转，利民商

店按照定价打七折的优惠价，把剩余的蚊香全部卖出．这样，实际所得的纯利润比希望获得的

纯利润少了15%．按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元(税金与

买蚊香用的钱一起作为成本)．请问利民商店买进这批蚊香时一共用了多少元？

【解析】解法一：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获得的纯利润为“0.4300x -”元，实际上比希望的少

卖的钱数为：

x ?(190%-)?(140%+)?(170%-)0.042x =(元)．

根据题意，得：

0.042x =(0.4300x -)15%?，解得2500x =．

故买进这批蚊香共用2500元．

解法二：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获纯利润“0.4300x -”元，实际所得利润为“(0.4300x -)?(115%-)0.34255x =-”元．

10%的蚊香打七折，就相当于全部蚊香打九七折卖，这样一共卖得“1.40.97x ?”元．

根据题意，有：1.40.973000.34255x x x ?--=-，解得2500x =．

所以买进这批蚊香共用2500元．

【例 18】商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同．这批钢

笔的进货价是每支多少钱？

【解析】 (法1)由于两种方式卖的钢笔的利润相同，而卖的支数不同，所卖的支数比为20:15，所以两种方

式所卖钢笔的利润比为15:20，即3:4，而单支笔的利润差为11101-=(元)，所以两种方式，每支笔的利润分别为：()14333÷-?=元和()14344÷-?=元，所以钢笔的进货价为1031147-=-=元．

(法2)由于两种卖法的利润相等，所以两种卖法的销售额之差和两种卖法的成本之差相等，所以20支钢笔的成本和15支钢笔的成本的差为1020111535?-?=元，由于单支笔的成本价格是一样的，所以每只钢笔的成本为()()1020111520157?-?÷-=(元)．

【巩固】某商品按照零售价10元卖出20件所得到的利润和按照零售价9元卖出30件所得到的利润相等，

求该商品的进货价．

【解析】该商品按照零售价10元所得利润和按照9元所得的利润之比为30:203:2=，所以按照第一种方

式得利润为()()1093233-÷-?=元，该商品的进货价为1037-=元．

【例 19】张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，

每减1元，我就多订4件．”商店经理算了一下，如果减价5%，那么由于张先生多订购，仍可

获得与原来一样多的利润．问：这种商品的成本是多少？

【解析】减价5%即减去1005%5?=元时，张先生应多定4520?=件，前后所订件数之比为

80:(8020)4:5+=；又前后所获得的总利润一样多，则每件商品的利润之比为5:4．前后售价相差5元，则利润也相差5元，所以原来的利润应为545255

-÷

=元，因此该商品的成本是1002575-=元. 【巩固】某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个减价25元

出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价元．

【解析】每个减价25元也就是说每个利润变为20元，则12件获利润240元．按定价的70%出售10件也

获利润240元，所以每个获利润24元，比按定价出售少了21元．说明这21元是定价的30%，所以定价是2130%70÷=元．

【例 20】一家商店的总店和分店相距500千米，现在要召开一次由总店12人和分店8人参加的重要会议。

假定每人每1千米的旅费为1元，那么请问，将开会地点安排在什么地点可以做到最节省旅费？

【解析】当将会场安排在总店时，所有总店的人不需要移动，而分店的人需要走500千米，这时将取得最

少的旅费。最少旅费为50084000?=（元）。

【例 21】某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10%，

买三件降价20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售．那么买三件的顾客有多少人？

【解析】如果对于浓度倒三角比较熟悉，容易想到3(120%)1100%340%485%?-+?==?，所以1个买一

件的与1个买三件的合起来看，正好每件是原定价的85%．由于买2件的，每件价格是原定价的110%90%-=，高于85%，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，

由于3(290%)2(380%)1285%??+??=?，所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件，共买76件，所以后

一种有4124763325252????-?÷-= ? ??

???(人)．其中买二件的有：325155?=(人)．前一种有33258-=(人)，其中买一件的有824÷=(人)．于是买三件的有3315414--=(人)．

【例 22】某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元．从产地到商店的距离是400千米，运费

为每吨货物每运1千米收1.5元．如果在运输及销售过程中的损耗是10%，那么商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？

【解析】以1千克苹果为例，收购价为1.2元，运费为1.540010000.6?÷=元，则成本为1.20.6 1.8+=元，

要想实现25%的利润率，应收入1.8(125%) 2.25?+=元；由于损耗，实际的销售重量为1(110%)0.9?-=千克，所以实际零售价为每千克2.250.9 2.5÷=元．

【巩固】果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是0.98元，付运费等开支1840元，预计损耗为1%，

如果希望全部进货销售后能获利17%，每千克苹果零售价应当定为________元．

【解析】成本是0.98 5.210000184052800??+=(元)，损耗后的总量是5.210000(11%)51480??-=(千克)，

所以，最后定价为52800(117%)51480 1.2?+÷=(元)．

【巩固】（难度等级 ※※※）某公司要到外地去推销产品,产品成本为3000元。从公司到的外地距离是

400千米，运费为每件产品每运1千米收1.5元。如果在运输及销售过程中产品的损耗是10%，那么公司要想实现25%的利润率，零售价应是每件多少元？

【解析】以1件商品为例,成本为3000元，运费为1.5×400=600元，则成本为3000+600=3600元，要想实

现25%的利润率，应收入3600×(1＋25%)=4500元；由于损耗，实际的销售产品数量为1×(1－10%)=90% ，所以实际零售价为每千克4500÷90%=5000元。

【例 23】（2008年武汉明心奥数挑战赛）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元。后来由于

该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最多可以打折。

【解析】利润率不低于5%，即售价最低为800(15%)840?+=元，由于84012000.7÷=，最多可以打7折。

【例 24】某汽车工厂生产汽车，由于钢铁价格上升，汽车的成本也上升了10%，于是工厂以原售价提高

5% 的价格出售汽车，虽然如此，工厂每出售一辆汽车所得的利润还是减少了20%，求钢铁价格上升之前的利润率.

【解析】由题目的条件可知，原来出售一辆汽车的利润的20%等于汽车成本的10%减去汽车原售价的

5%，设每辆原来的利润为a ，汽车的成本为b ，那么可列出方程：()20%10%5%a b a b =-+?，解得5a b =，所以0.2a b

=，即利润率为20%. 【巩固】某种商品的利润率为25%，如果现在进货价提高了20%，商店也随之将零售价提高8%，那么

此时该商品的利润率是多少？

【解析】设原来该商品的进货价为a 元，则原来的零售价为1.25a 元，现在该商品的进货价为1.2a 元，零

售价为1.25 1.08 1.35a a ?=元，所以现在该商品的利润率为()1.35 1.21100%12.5%a a ÷-?=.

【巩固】（难度等级 ※）某种商品的利润率是20％。如果进货价降低20％，售出价保持不变，那么利

润率将是多少？

【解析】设原来成本为100元，则相应的利润为20元，定价为120元；成本降低20%，变成80元，而售价不变，在现在的利润率为12080100%50%80

-?=. 【例 25】电器厂销售一批电冰箱，每台售价2400元，预计获利7.2万元，但实际上由于制作成本提高了

16，所以利润减少了25%．求这批电冰箱的台数．

【解析】电冰箱的售价不变，因此减少的利润相当于增加的成本，也就是说原成本的

16等于原利润的25%，从而原先成本与利润的比是125%:

3:26=，而售价为2400元，所以原来每台电冰箱的利润是2240096023

?=+元，那么这批电冰箱共有7.21000096075?÷=台．【例 26】 “新新”商贸服务公司，为客户出售货物收取销售额的3%作为服务费，代客户购买物品收取

商品定价的2%作为服务费．今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共扣取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡．问所购置的新设备花费了多少元？

【解析】 “该客户恰好收支平衡”，这表明该客户出售物品的销售额的13%97%-=，恰好用来支付了设备

与代为购买设备的服务费，即等于所购置新设备费用的()12%102%+=.从而求得出售商品所得与新设备价格之比；再以新设备价格为“1”，可求出两次服务费相当于新设备的多少，从而可解得新设备价格.出售商品所得的13%97%-=等于新设备价格的12%102%+=.设新设备价格为“1”，则出售商品所得相当于102102%97%97÷=

.该公司的服务费为10253%12%9797?+?=，故而新设备花费了52645121.697

÷=(元). 【例 27】（难度等级 ※※※）银行整存整取的年利率是：二年期为11．7％，三年期为12．24％，五年

期为13．86％．如果甲、乙二人同时各存人一万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙存五年期．五年后，二人同时取出，那么谁的收益多，多多少元？

【解析】甲存二年期，则两年后获得利息为：1×11.7%×2=0.234（万），再存三年期则为：（1+23.4%）×

12.24%×3=0.453（万元），乙存五年期，则五年后获得1×13.86%×5=0.693（万元），所以乙比甲多，0.693-0.453=0.24（万元）。

【巩固】王明把3000元钱存入银行，年利率2.1%，每年取出后在次存入，这样三年后一共能取出多少元

钱？

【解析】 ()()()30001 2.1%1 2.1%1 2.1%3193?+?+?+=

课后练习

小学数学走停问题.教师版

1、学会化线段图解决行程中的走停问题 2、能够运用等式或比例解决较难的行程题 3、学会如何用枚举法解行程题本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理。解题办法比较驳杂。模块一、停一次的走停问题【例 1】甲、乙两车分别同时从A ，B 两城相向行驶，6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故障抛描，修理2.5时后才继续行驶，因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A 城到B 城共用多长时间？【考点】行程问题之走停问题【难度】3星【题型】填空【解析】 12.5时。由题意推知，两车相遇时，甲车实际行驶5时，乙车实际行驶7.5时。与计划的6时相遇比较，甲车少行1时，乙车多行1.5时。也就是说甲车行1时的路程，乙车需行1.5时。进一步推知，乙车行7.5时的路程，甲车需行5时。所以，甲车从A 城到B 城共用7.5＋5＝12.5（时）。【答案】12.5时【例 2】龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？【考点】行程问题之走停问题【难度】3星【题型】填空【解析】先算出兔子跑了330103300?=（米），乌龟跑了30215106750?+=（）（米），此时乌龟只余下69906750240-=（米），乌龟还需要240308÷=（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了83302640?=（米），所以兔子一共跑330026405940+=（米）．所以乌龟先到，快了699059401050-=（米）．【答案】1050米【例 3】快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间？【考点】行程问题之走停问题【难度】3星【题型】填空【解析】 11时36分。快车5时行的路程慢车需行12.5－5＝7.5（时），所以快车与慢车的速度比为7.5∶5 ＝3∶2。因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单程，所以若两车都不停留，则第一次相遇到第二次相遇需10时。现在慢车停留1时，快车停留2时，所以第一次相遇后11时，两车间的距离快车还需行60分，这段距离两车共行需3603632 ?=+（分）。第一次相遇到第二次相遇共需11时36分。【答案】11时36分例题精讲知识点拨教学目标走停问题

列方程解行程问题教师版

列方程解行程问题一、概念一元一次方程三要素：1.含有未知数的代数式必须是整式（即分母不含有未知数） 2.只含有一个未知数 3.经整理后未知数的最高次数为1 2、解一元二次方程三、行程问题中三个量之间的关系：路程=时间×速度，时间=，速度=（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）行程问题解决方法：画图分析法 4、常见的行程问题中的类型直线型的行程问题（1）相遇问题 1、同时相遇甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x=480 x=2 答：2小时后相遇 2、先后相遇甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，1小时之后，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里，快车开出几个小时后两车相遇？

慢车的速度×慢车的时间1+慢车的速度×慢车的时间2+快车的速度×快车的时间=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100*1+100x+140x=480 答：小时后两车相遇。 3、同时不相遇（相距）甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相距60公里？情况一：相遇前相距慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间+相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x+60=480 答：小时后相距60公里情况二：相遇后相距慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间-相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x-60=480 答：小时后相距60公里慢车速×时间1 +慢车速×时间2 +快车速×时间2 =总路程总结：慢车速×时间+快车速×时间= 总路程

小学奥数年龄问题练习题(含答案)

小学奥数《年龄问题》练习题一、填空题 1.甲、乙两人的年龄和是33岁,甲比乙大3岁,那么甲岁,乙岁. 2.父亲今年47岁,儿子21岁, 年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍. 3.今年叔叔21岁,小强5岁, 年后叔叔的年龄是小强的3倍. 4.小明今年9岁,妈妈今年39岁,再过年妈妈年龄正好是小明年龄的3倍. 5.明明比爸爸小28岁,爸爸今年的年龄是明明年龄的5倍,明明今年岁,爸爸今年岁. 6.爸爸比小强大30岁,明年爸爸的年龄是小强的3倍,今年小强岁. 7.父亲比儿子大27岁,4年后父亲的年龄是儿子的4倍,那么儿子今年岁. 8.现在母女年龄和是48岁,3年后母亲年龄是女儿年龄的5倍,那么母亲今年岁,女儿今年岁. 9.叔叔比红红大19岁,叔叔的年龄比红红的年龄的3倍多1岁,叔叔岁,红红岁. 10.弟弟今年8岁,哥哥今年14岁,当二人年龄之和是50岁时,弟弟岁,哥哥岁. 二、解答题 11．小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁,小刚5年后的年龄等于小明3前的年龄,求小刚、小明今年的年龄是多少? 12.哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄? 13.10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,15年后父亲的年龄是他儿子的2倍,问今年父子二人各多少岁? 14.今年小刚的年龄是明明年龄的5倍,25年后, 小刚的年龄比明明的年龄的2倍少16岁,今年小刚、明明各多少岁?

———————————————答案—————————————————————— 一、填空题 1. 从年龄和中减去3岁就是2个乙的年龄. 乙的年龄:(33-3)÷2=15(岁) 甲的年龄:15+3=18(岁) 2. 父亲与儿子的年龄差是(47-21)岁,几年前两人的倍数差为(3-1)倍,可求出儿子几年前的年龄. 儿子几年前年龄:(47-21)÷2=13(岁) 几年前:21-13=8(年) 3. 先求出叔叔与小强年龄差,几年后的倍数差,算出几年后小强的年龄. 小强几年后的年龄:(21-5)÷(3-1)=8(岁) 几年后:8-5=3(年) 4. 可先计算出二人的年龄差,再过几年折倍数差,由此可算出几年后小明的年龄. 小明几年后的年龄:(39-9)÷(3-1)=15(岁) 再过几年:15-9=6(年) 5. 由题意可知爸爸与明明的倍数差是(5-1)倍,而二人年龄差是28岁,由此可算出明明与爸爸的年龄. 明明年龄:28÷(5-1)=7(岁) 爸爸年龄:28+7=35(岁) 6. 可知两人年龄差是30岁,明年二人的倍数差是(3-1)倍,可得明年小强的年龄,由此算出今年小强的年龄. 小强明年年龄:30÷(3-1)=15(岁) 小强今年年龄:15-1=14(岁) 7. 由题可知二人的年龄差,4年后的倍数差,那么4年后儿子年龄可求,今年儿子的年龄也可求. 4年后儿子年龄:27÷(4-1)=9(岁) 儿子今年年龄:9-4=5(岁) 8. 现在母女年龄和是48岁,3年后年龄和增加(3×2)岁,可得母女的3年后年龄和,又知母亲3年后年龄是女儿年龄5倍,可得出女儿3年后的年龄,由此可得今年母女的年龄. 3年后母女年龄和:48+(3×2)=54(岁)

小学奥数教程之-年龄问题(三)计算题.教师版

2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问题．知识精讲知识点说明：一、年龄问题变化关系的三个基本规律：两人年龄的倍数关系是变化的量 1. 2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； 3. 、年龄问题的解题要点是：两个人之间的年龄差不变分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．抓住 “年龄差 ”不变．应用 “差倍”、“和倍”或“和差 ”问题数量关系式．求过去、现在、将来。 1．入手 2．关键 3．解法 4．陷阱年龄问题变化关系的三个基本规律： 1．两人年龄的差是不变的量； 2.两个人的年龄增加量是不变的； 3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！例题精讲年龄与和差倍分问题综合【例 1】王刚、李强和小莉、小芳是两对夫妻，四人的年龄和为岁．小莉（）岁．【考点】年龄问题【难度】 3 星【题型】填空【关键词】走美杯， 3 年级，初赛【解析】通过丈夫都比妻子大 5 岁，李强比小芳大 6 岁．知道李强和小莉才是夫妻，那么小莉比李强小 5岁，王刚和小芳是夫妻，小芳比李强小 6岁，小芳又比王刚小 5 岁，可见王刚比李强小 1岁，画图如下： 132，丈夫都比妻子大 5 岁，李强比小芳大 6 我们可以先求出李强的年龄：（132+1+6+5）÷ 4=36（岁），那么小莉的年龄是： 36-5=31 （岁）。答案】小莉 31岁。例 2 】一家三口人，三人年龄之和是 72 岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的 4 倍，三人各是多少岁？

考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】妈妈的年龄是孩子的4 倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4 倍，把孩子的年龄作为 1 倍数，已知三口人年龄和是7 2 岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4 ）=8（岁），妈妈的年龄是： 8×4=32 （岁），爸爸和妈妈同岁为32 岁. 【答案】孩子 8 岁，爸爸妈妈 32岁例3】父子年龄之和是 45岁，再过 5 年，父亲的年龄正好是儿子的 4 倍，父子今年各多少岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】再过 5 年，父子俩一共长了 10岁，那时他们的年龄之和是 45 10=55（岁），由于父亲的年龄是儿子的 4 倍，因而 55岁相当于儿子年龄的 4 1=5倍，可以先求出儿子 5 年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄． 5 年后的年龄和为： 45 5 2 55（岁）； 5 年后儿子的年龄： 55 （4 1）11（岁）儿子今年的年龄： 11 5 6 （岁），父亲今年的年龄： 45 6 39 （岁）【答案】儿子 6 岁，父亲 39岁巩固】父子年龄之和是 60岁， 8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，问父子今年各多少岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】由已知条件可以得出， 8 年前父子年龄之和是 60 8 2 44（岁），又知道 8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，由此可得：儿子：（60 8 2）（3 1）8 19 （岁）；父亲： 60 19 41（岁）【答案】父亲 41 岁，儿子 19 岁 18 岁．王老师今年 32岁，李老师今年多少岁? 考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】王老师比李老师大 20 3 18 3 6（岁）．故李老师今年的年龄为 32 6 26（岁）．【答案】 26岁例5 】小明与爸爸的年龄和是53 岁，小明年龄的4 倍比爸爸的年龄多2 岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答解析】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁），爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．答案】 31岁例6 】我们每次过生日都要吃蛋糕，一般蛋糕上面都要插蜡烛，而且蜡烛数目恰好等于他生日那天的年龄小明每年过生日都要吃蛋糕，今天又是小明的生日，从出生到今天，他的生日蛋糕共有24 根蜡烛，则小明今天过的是 _____________________________________ 岁生日．考点】年龄问题【难度】3 星【题型】填空关键词】学而思杯，4 年级，第2 题解析】 1 2 3 4 5 6 21， 1 2 3 4 5 6 7 28，无法达到 24。所以小明不是每年都能过生日，只有二月29 日会使得他每四年过一次生日。 24 4 6，6 1 2 3，小明过得是 4岁、 8岁、12岁生日。所以小明今天过的是 12岁生日。答案】 12 岁。例7】甲、乙、丙三人平均年龄为 42岁，若将甲的岁数增加 7 ，乙的岁数扩大 2倍，丙的岁数缩小 2 倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？考点】年龄问题【难度】4 星【题型】解答关键词】迎春杯，决赛解析】当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。甲增加 7 岁后，三人总年龄是 42 3 7 133岁，并且这时丙是甲的 2倍，甲是乙的 2 倍，丙是乙的 4 倍，所

(完整版)最全的走停行程问题总结

走走停停的行程问题 1、骑车人沿公共汽车路线前进，他每分行300米，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，公共汽车每分行700米，并且每行3分到达一站停车1分。问：公共汽车多长时间追上骑车人？方法一：11分。提示：列表计算：方法二： 3*(700-300)=1200（米）即当人车的距离小于或等于1200米时，汽车与人的速度差是700-300=400（米/分）;当人车的距离大于1200米时，汽车的平均速度是700×3/4=525（米/分）这时汽车与人的速度差是 525-300=225（米/分）因为：3000>1200 3000-225*4=2100>1200; 3000-225*8=1200（米）; 1200/400=3（分钟） 8+3=11（分钟）公共汽车11分钟追上骑车人。方法三：假设汽车不停, 那么汽车追上骑车人至少需要: 3000/(700-300)=7.5(分钟) 所以可以知道在此时间内汽车至少要停两次,花费8分钟. 汽车8分钟行驶距离: 700*(8-2)=4200(米)，骑车人8分钟行驶距离: 300*8=2400(米) ， 8分钟后人车相距: 3000+2400-4200=1200(米)，1200米小于汽车三分钟行驶距离, 因此, 汽车追上骑车人还需要: 1200/(700-300)=3(分钟) 结论: 汽车追上骑车人需要: 8+3=11(分钟) 方法四： 700-300=400（m） (400+400+400-300)+（400+400+400-300）+（400+400+400）=3000(m)

4 + 4 + 3 =11(分)答：公共汽车11分追上骑车人。

典型应用题(年龄问题)

学生姓名：年级：小升初科目：数学授课教师：贺琴授课时间：学生签字：年龄问题年龄问题是一类与计算有关倍数的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现，有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要加以解决。解答年龄问题，要灵活运用一下三个规律： 1. 无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的； 2. 随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量； 3. 随着时间的变化，两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。 1、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？ 2、妈妈今年的年龄是小红的4倍，3年前妈妈和小红的年龄和是39岁。妈妈和小红今年各几岁？ 3、今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍，二人今年各几岁？

4、甜甜的爸爸今年28岁，妈妈26岁，再过几年她的爸爸和妈妈的年龄和是 80岁？ 5、小雨一家由小雨和她的爸妈组成。爸爸比妈妈大3岁，今年全家年龄总和是 71岁，8年前年龄总和是49岁，今年3人各几岁？ 6、小刚说：“去年爸爸比妈妈大4岁，我比妈妈小26岁。”请你算一算，今年小刚的爸爸比小刚大几岁？ 7、老张、阿明和小红三人共91岁，已知阿明22岁，是小红年龄的2倍，问老张几岁？ 8、儿子的年龄是爸爸的1 4 ，三年前父子年龄之和是49岁。求父子现在的年龄各多少岁？ 9、妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍。多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？

10、小明今年8岁，他与爸爸、妈妈的年龄和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时小明几岁？ 11、小冬今年12岁，五年前爷爷的年龄是小冬年龄的9倍，爷爷今年几岁？ 12、妈妈今年40岁，恰好是小红年龄的4倍，多少年后，妈妈的年龄是小红的2倍？ 13、一家三口人，三人的年龄和是72岁。妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 14、今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍？又过了几年后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍？ 15、三年前爸爸的年龄正好是儿子年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁，小刚今年多少岁？

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年龄问题【例 1】小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？【解析】这道题有两种解答方法：方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年6岁，再过6年6612 +=（岁）；妈妈今年36岁，再过6年是（366 +）岁，也就是42岁，那时，妈妈比小卉大421230 -=（岁）．列式：36666 +-+ （）（） =- 4212 =（岁） 30 方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今年妈妈比小卉大（366 -）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更简便．列式：36630 -=（岁）答：再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大30岁．【巩固】小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？【解析】经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）. 【巩固】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？【解析】五年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题．爸爸的年龄：726239 +÷= （）(岁) 妈妈的年龄：39633 -=(岁) 【巩固】今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？【解析】今年小宁比妈妈小33924 -=（岁），那么小宁永远比妈妈小24岁．几年后小宁是妈妈岁数的一半时，即妈妈年龄是小宁的2倍时，妈妈仍比小宁大24岁．这是个差倍问题．以小宁的年龄作为1倍量，妈妈年龄是2倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小宁24岁时是妈妈年龄的一半，因此再过24915 -=（年）．【巩固】6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁? 【解析】6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄．母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)，

行程问题基础题库教师版

3-1-1-行程问题基础教学目标 1.行程的基本概念，会解一些简单的行程题. 2.掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、 “设而不求法”、“设单位1法” 3.利用对比分析法解终（中）点问题知识精讲一、s、v、t探源我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t，这个字母t代表英文单词time，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity，而不是我们常用来表示速度的speed。velocity表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance，但这个单词并不是以字母s开头的。关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度。二、关于s、v、t三者的基本关系速度×时间=路程可简记为：s=vt 路程÷速度=时间可简记为：t=s÷v 路程÷时间=速度可简记为：v=s÷t

三、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度?总时间。板块一、简单行程公式解题【例 1】韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：4802024 ÷=(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为241640 +=(米/分)，那么现在上学所用的时间为：4804012 ÷=(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．【巩固】甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？. 【解析】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？【解析】北京到某地的距离为：6015900 ?=（千米），客车到达某地需要的时间为： -=（小时），所以客车要比货车提前开出3小9005018 ÷=（小时），18153 时。

小学数学《年龄问题》练习题(含答案)

小学数学《年龄问题》练习题（含答案）知识要点研究与年龄有关的问题都称为年龄问题，一般有两种情况，一是告诉几个人的年龄，求他们年龄之间的数量关系；二是知道几个人年龄之间的和、差、倍的数量关系，求他们的年龄。在年龄问题中，我们要知道下面的知识，对于解决年龄问题会有很大的帮助。（1）两个人的年龄差不随年龄的变化而变化。（2）两人的年龄是同时增加的。（3）两人年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，倍数也在发生相应的变化。由于年龄之间的差始终是不变的，所以解答年龄问题实际上用的是一种差不变的算法。解题指导1 1.知道两个人的年龄和，与两个人的年龄差，可以先从年龄和中减去多的年龄，通过平均分得到相等的年龄，从而求出较小的年龄，再求较大的年龄。【例 1】张强、李玫今年的年龄和是 86 岁，5 年后，张强比李玫大 6岁。今年张强、李玫两人各多少岁？【思路点拨】“ 5 年后，张强比李玫大 6 岁” ，则今年张强比李玫也是大 6岁。根据张强、李玫今年的年龄和，先从年龄和中减去张强比李玫大的年龄，余下的年龄两人相等，也是李玫的年龄，然后再加上张强比李玫大的年龄，得出张强的年龄。解：李玫的年龄（大数）：（86-6）÷ 2=40 岁）张强的年龄： 40+6=46 （岁）答：张强今年 46 岁，李玫今年 40 岁。【变式题 1】爸爸今年比儿子大 30 岁，3 年后，爸爸的年龄是儿子的 4倍，儿子今年几岁？解题指导2 2.年龄间的倍数关系。较大的年龄是较小年龄的倍数，首先要理解大的倍数相对应的是大的年龄。【例 2】明明今年 2岁，妈妈今年 26岁，问几年后妈妈的年龄是明明的 3 倍？【思路点拨】今年妈妈和明明的年龄差是 26-2=24 岁，几年后妈妈和是明明的年龄差仍是 24 岁。几年后明明和妈妈的年龄关系用线段图可以表示为：

火车问题_题库教师版

火车问题教学目标 1、会熟练解决基本的火车过桥问题. 2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系. 3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题知识精讲火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程=速度?时间总路程=平均速度?总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和?相遇时间=相遇路程速度差?追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间； 2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）； 4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。模块一、火车过桥（隧道、树）问题【例 1】一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？

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年龄问题一、年龄问题变化关系的三个基本规律： 1.两人年龄的倍数关系是变化的量. 2.每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； 3.两个人之间的年龄差不变二、年龄问题的解题要点是： 1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系． 2．关键：抓住“年龄差”不变． 3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式． 4．陷阱：求过去、现在、将来。年龄问题变化关系的三个基本规律： 1．两人年龄的差是不变的量； 2．两人年龄的倍数关系是变化的量；【例 1】小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？【巩固】小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？【巩固】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？【巩固】今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？

【巩固】6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁? 【例 2】小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？【巩固】学而思学校张老师和刘备、张飞、关羽三个学生，现在张老师的年龄刚好是这三个学生的年龄和；9年后，张老师年龄为刘备、张飞两个学生的年龄和；又3年后，张老师年龄为刘备、关羽两个学生的年龄和；再3年后，张老师年龄为张飞、关羽两个学生的年龄和．求现在各人的年龄．【巩固】父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？【例 3】小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？【巩固】一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？

六年级奥数行程走停、变速问题

走停与变速问题六年级奥数行程走停、变速问题算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知

数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．学会画线段图解决行程中的走停问题能够运用等式或比例解决较难的行程题能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。一、走停问题【例 1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达．但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【例 2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多少千米？一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地．又知大轿车是上午10时从甲地出发．求小轿车追上大轿车的时间．

563 年龄问题(讲师版)

学科培优数学年龄问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本章内容主要围绕年龄问题进行展开分析，通过本章知识的学习，要求同学们能熟练运用和差、和倍、差倍以及图示等方法计算有关年龄问题．年龄问题的解题正确率保证：验算！重点难点：1．抓住“年龄差”不变规律 2．年龄问题转化成“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式. 3．学会画年龄关系图帮助解题考点： 1. 多人之间的年龄关系问题 2. 年龄问题与简单逻辑问题的结合 3. 年龄问题与数论（倍数）问题的结合知识梳理 1．小明的爸爸去年比小明大25岁，明年爸爸比小明大多少岁？ 2．今年陈老师的年龄是王芳的2倍，明年陈老师的年龄还是王芳的2倍吗？3．前年红红和姐姐的年龄和是30岁，今年两人的年龄之和为多少岁？根据以上题目，我们得出年龄问题的三大规律： 1、两人的年龄差是不变的； 2、两人年龄的倍数关系是变化的量； 3、随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．【授课批注】只要我们掌握了关于年龄问题的几点规律，再借助线段图来处理一些较复杂的问题，那么年龄应用题就不难解决了. 年龄问题的解题要点是： 1、入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.

2、关键：抓住“年龄差”不变. 3、解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式. 本讲主要学习两种类型的年龄问题： 1、理解掌握可以转化为和差、和倍、差倍问题的年龄问题； 2、其他特殊类型的年龄问题例题精讲（一）可以转化为和差、和倍、差倍问题的年龄问题【试题来源】【题目】今年姐姐13岁，弟弟今年10岁，当姐弟年龄之和达101岁时，姐弟各是多少岁？【答案】52,49 【解析】法1：两人年龄和每年增加2岁。算出过多少年两人年龄和达101岁，就可在现在的年龄上各人增加同样多的岁数。101－(13＋10)=101－23=78(岁)，78÷2＝ 39(年)，姐：13＋39＝52(岁) ，弟：10＋39＝49(岁) 。法2：可以把本题理解为一道“和差问题”，由已知姐姐和弟弟今年分别是13岁和10岁，可求出两人今年的年龄差是：13-10=3（岁）。当两人的年龄和是101岁时，两人的年龄差还是3岁。所以，姐姐的年龄为（101+3）÷2=52（岁），弟弟的年龄为52-3=49（岁）。有关年龄问题的公式：大年龄=（两人年龄和+两人年龄差）÷2 小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）÷2 几年前的年数=小年龄-（大年龄-小年龄）÷（倍数-1）几年后的年数=（大年龄-小年龄）÷（倍数-1）- 小年龄【知识点】年龄问题【适用场合】当堂例题【难度】1 【试题来源】【题目】小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？【答案】6 【解析】经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）.

走停问题新思考总结(走走停停)

走走停停的行程问题 1.在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么，甲追上乙需要多少秒？ ----------------------------------------------------------------- 经过我认真思考后总结如下：情况1，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息1次，多5秒，用时最少。情况2，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这5～10秒之间。用时介于情况1与情况3之间情况3，如果在行进中追上，甲比乙多休息2次，多10秒。用时最多。显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。为了更好一点思考这类题目：先按情况1，计算出甲乙行走的路程，如果都是100（休息间隔距离）的整数倍，就说明本题答案满足条件1了，不用考虑情况2和情况3了。如果满足不了情况1，就按情况3计算。不管满足不满足都要考虑下面情况（情况2的情形），情况1和情况3计算出的甲行走的路程，这两个路程之间有没有是100的整数倍，如果有，情况2就是答案了。否则答案就是情况3。 ------------------------------------------------------------------- 本题答案详细解答: （1）情况1，假设在乙休息结束时被甲追上。追及时间为：（200+5*5）/（7-5）=112.5（秒），这时甲行了112.5*7=787.5（米），乙行了112.5*5+5*5=587.5（米）。由于787.5和587.5都不是100整数倍，情况1不满足条件。（2）情况3，假设在乙行进过程中被甲追上。追及时间为：（200+10*5）/（7-5）=125（秒），这时甲行了125*7=875（米），乙行了125*5+10*5=675（米）。用时（用甲计算）：875/7+8*5=165（秒）。用时（用乙计算）：675/5+6*5=165（秒）。（2）情况2，由于787.5和875之间有800是100的整数倍，所以，在乙休息过程中被甲追上。用时800/7+7*5=149又2/7（秒）。

2019奥数题库年龄问题

年龄问题： 52、学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时候刚1岁，当你像我这么大时我已经40岁了，”你知道老师多少岁吗？ 53、兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半。问：哥哥今年几岁？ 54、甲、乙、丙、丁四人今年分别是16，12，11，9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？ 55、全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前，他们全家年龄之和是58岁，现在是73岁。问：现在各人年龄分别是多少？ 56、哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年多少岁？ 57、有3个男孩和2个女孩在一起玩，他们的年龄互不相同，最大的12岁，最小的7岁。已知最大的男孩比最小的女孩大3岁，最大的女孩比最小的男孩也大3岁。问：2个女孩的年龄分别是几岁？ 58、1999年，一个青年说：“今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生年份的四个数字之和。”这个青年是哪年出生的？ 59、1999年，一个老人说：“今年我的生日记过了，40多年前的今天，我还是个20多岁的青年，那时我的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和”。老人是哪年出生的？ 60、小明2002年时的年龄是他出生年份的1/142，他1999年应是几岁？ 61、我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的1/22，1607年他完成了《原本》前6卷的翻译工作。1629年主持编写“新历法”，但未完就去世了，1634年由李天经最后完成。1607年时途光启多大多数？ 62、甲、乙丙三个的年龄和是31岁，已知年龄最大的比年龄最小的大9岁。年龄最小的最大能是几岁？ 63、哥哥现在年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30 岁。问：哥哥现在多少岁？ 64、爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三人的年龄各是多少岁？植树问题 65、某人要到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，则还需要多少秒？ 66、甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到3层，照这样计算，甲跑到16层时，乙跑到几层？ 67、用15秒可以将一根木料锯成四段，问：用同样的速度将这根木料锯成五段需要几秒钟？６８、铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第40根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？ 69、用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每张纸务长多少厘米？ 70、有一个报时钟，每敲响一下，声间可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结逼束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ 71、李大爷爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树。李大爷从第1棵树走到第15棵树用了7分，李大爷又往前走了几棵树后就往回走。当他回到第5棵树时共用了30分。李大爷散步到第几棵树的开始往回走？