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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1 ．根式

（ 1 ）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果 x n

a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根

n 1且 n N

当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次

n

a

零的 n 次方根是零

方根是一个负数

当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反

n

a ( a

0) 负数没有偶次方根

数

（ 2 ）．两个重要公式

a

n 为奇数

① n a n

a( a 0)

；

| a |

0) n 为偶数

a(a

② (n a ) n

a （注意 a 必须使 n a 有意义）。

2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念

m

n

a m (a

①正数的正分数指数幂 : a

n

0, m 、 n N ,且 n 1) ;

m

1

1

②正数的负分数指数幂 : a

n

0, m 、 n N , 且 n 1)

m

(a

a n

n

a m

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .

注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（ 2 ）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);

②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q);

③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

3．指数函数的图象与性质

y=a x a>10

图象

定义域R

值域（0，+ ）

性质（ 1 ）过定点（0，1）

（ 2 ）当 x>0 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 0

x<0 时 ,01

(3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数

数

注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即

c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1 ）对数的定义

如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a

叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2 ）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N

常用对数底数为 10

lg N

自然对数底数为 e ln N

2、对数的性质与运算法则

（ 1 ）对数的性质（a 0,且a 1 ）：①log a1 0 ，② log a a 1，③a log a N N ，④log a a N N 。

（2 ）对数的重要公式：

N

①换底公式：log b N log

a (a,b均为大于零且不等于 1,N 0) ； log a b

② log a b1 a

。

log b

（3 ）对数的运算法则：

如果 a 0,且a 1 ，M 0, N 0 那么

① log a (MN ) log a M log a N ；

② log a M

log a M log a N ；N

③ log a M n n log a M ( n R) ；

④ log a m b n n

log a b 。m

3、对数函数的图象与性质

a 10 a 1

图

象

性

（ 1 ）定义域：（ 0,+）

质

（2）值域： R

（3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1 ， 0 ）

（ 4）当

0 x

时，

y ( ,0)

；（ 4 ）当

x 1

时，

y ( ,0)

；1

当 x 1 时，y (0, ) 当 0 x 1时，y (0, ) （ 5）在（ 0,+ ）上为增函数（ 5 ）在（ 0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数 a ， b ， c， d 与 1 的大小关系

提示：作一直线y=1 ，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

4 、反函数

指数函数 y=a x与对数函数 y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

（三）幂函数

1 、幂函数的定义

形如 y=x α（ a ∈ R）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2 、幂函数的图象

1

注：在上图第一象限中如何确定y=x 3， y=x 2，y=x ，y x 2 ，y=x -1方法：可画出 x=x 0；

1

当 x0 >1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ，y x2， y=x -1；

1

当 0

y=x y=x 2 y=x 3 1 y=x -1

y x2

定义域R R R [0 ，）

R且 x 0

x | x

值域R [0 ，）R [0 ，）R且

y 0

y | y

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增x ∈[0 ，）时，增；增增x ∈ (0,+ )时，减；

x ∈ (- ,0) 时，减

x ∈( ,0] 时，减

定点（1，1）

三：例题诠释，举一反三 知识点 1 ：指数幂的化简与求值

例 1.(2007

育才 A)

[(33

) 2

2

1

1

3 (5 4)

0.5

(0.008)

3

( 0.02)

2

(0.32) 2 ] 0.0625 0.25

（1 ）计算：

8 9 ；

4 1

2

a 3

8a 3 b

23 b

a 3 a 2

(a 3

2

2

a )

5

a 3

a

（2 ）化简： 4b

3

23 ab a 3

变式：（ 2007 执信 A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）

:

2

1

1 1 (a 3

b 1 ) 2

a

2

b 3 ;

（1 ）

6 a

5

b

1

1

2

1

5

a 3

b 2 ( 3a 2 b 1 ) (4a 3 b 3 )2 .

（2）

6

1

7 )0

2

1.5 3

( 80.25

4

2 ( 3

2

3)

6

(2

)3 (3) 6

3

知识点 2 ：指数函数的图象及应用

例 2.(2009 广附 A)已知实数 a 、b 满足等式

( 1 ) a ( 1 ) b

，下列五个关系式：

① 0 ＜ b ＜ a; ② a ＜

2 3

b ＜ 0; ③0 ＜ a ＜ b; ④b ＜ a ＜ 0; ⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有

（ ）

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

变式：（ 2010

华附 A ）若直线 y 2a 与函数 y | a x 1 | (a

0 且 a 1) 的图象有两个公

共点，则 a 的取值范围是 _______.

知识点 3 ：指数函数的性质

例 3. （ 2010 省实 B ）已知定义域为

R 的函数 f (x)

2x b 2x

1

是奇函数。

2

（Ⅰ）求 b 的值；

（Ⅱ）判断函数

f x 的单调性 ;

（Ⅲ）若对任意的

t R ，不等式 f ( t 2

2t) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求 k 的取值范围．

变式：（ 2010 东莞 B ）设 a ＞0,f(x)= e x

a

是 R 上的偶函数 .

a

e

x

（ 1 ）求 a 的值；

（ 2 ）求证： f(x) 在（ 0 ，+∞）上是增函数 . 知识点 4 ：对数式的化简与求值

例 4. （ 2010 云浮 A ）计算：（1 ）

log

2

3

(2 3)

（2 ） 2(lg 2 )2 +lg 2 · lg5+ (lg 2 )2 lg 2 1 ;

（3 ） 1 lg 32 - 4

lg 8 +lg 245 .

2 49 3

变式：（ 2010 惠州 A ） 化简求值 . （1 ） log 2

7 +log 2 12- 1

log 2 42-1;

48

2

（ 2 ） (lg2) 2 +lg2 · lg50+lg25;

（ 3 ） (log 3 2+log 9 2) · (log 4 3+log 8 3).

知识点 5 ：对数函数的性质

例 5. （ 2011 深圳 A ）对于 0 a 1，给出下列四个不等式：

① log a (1 a)

log a (a

1

); ② log a (1 a) log a (1 1

) ；

a

a

③ a 1 a

1 1

④ a 1 a

1 1

a a ;

a a ; 其中成立的是（ ）

（A ）①与③（ B ）①与④（ C ）②与③（ D ）②与④

变式：（ 2011 韶关 A ）已知 0 ＜ a ＜ 1,b ＞ 1,ab ＞1 ，则 log a 1 ,log a b, log b 1 的大小关系是

b b

（ ） A.log a 1 log a b log b 1

B. log a

b log a 1 log b 1

b b

b

b

C. log a

b log b 1 log a 1

D. log b 1 log a 1 log a b

b b

b

b

例 6. （ 2010 广州 B ）已知函数 f(x)=log

a

x(a ＞0,a ≠ 1) ，如果对于任意x ∈［ 3 ， +∞）都有

|f(x)| ≥1 成立，试求 a 的取值范围 .

变式：（ 2010 广雅 B ）已知函数 f （x ） =log 2 (x 2 -ax-a) 在区间（ -∞ , 1- 3 ］上是单调递

减函数 .求实数 a 的取值范围 . 知识点 6 ：幂函数的图象及应用

例 7.(2009

佛山 B) 已知点 ( 2，2) 在幂函数 f (x) 的图象上，点

1 ，在幂函数 g (x) 的图 ，2

4

象上．问当 x 为何值时有： （１） f (x) g ( x) ；（２） f (x) g( x) ；（３） f (x)

g ( x) ． 变式：（ 2009 揭阳 B ）已知幂函数 f(x)=x

m

2

2m 3

（ m ∈ Z ）为偶函数，且在区间（

0，+∞）

b

上是单调减函数 . （ 1 ）求函数 f(x);

（ 2 ）讨论 F （ x ） =a

f （ x ） 的奇偶性 .

xf （ x

）

四：方向预测、胜利在望

1 x

的定义域为（

）

1 ．（ A ）函数 f ( x) lg

4

x

A ． (1，4)

B ．[1 ，4)

C ． (－∞， 1) ∪(4 ，＋∞ )

D ．(－∞， 1] ∪ (4，＋∞ )

2. （ A ）以下四个数中的最大者是（）

(A) (ln2)

2

(B) ln(ln2)

(C) ln

2

(D) ln2

3 （ B ）设 a>1 ，函数 f(x)=log a x 在区间［ a,2a ］上的最大值与最小值之差为

1

, 则 a=(

)

2

(A) 2

（B ）2

（C ）2 2

（D ）4

4. （ A ）已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当

0 x

1 时， f (x) lg x. 设

a

f (6 ), b f ( 3 ), c f ( 5

), 则（ ）

5 2 2

（ A ） a b c （ B ） b a c （C ） c b a （ D ） c a b

5. （ B ）设 f (x )=

2e x 1, x

2,

则不等式 f (x )>2 的解集为（

）

log 3 (x 2 1), x

2,

(A)（ 1 ，2 ） （ 3， +∞）

(B) （ 10 ， +∞）

(C)（ 1 ，2 ）

（ 10 ， +∞）

(D) （1， 2）

6．（A ）设 P log 2 3， Q log 3 2 ， R log 2 (log 3 2) ，则（

）

Ａ．RQP

Ｂ．PRQ

Ｃ．QRP

Ｄ．RPQ

7 ． (A) 已知 log 1 b

log 1 a log 1 c ，则 (

)

2

2

2

A ． 2b 2a 2c

B ． 2a 2b 2c

C ． 2 c 2b 2a

D ． 2c 2a 2b

8 ．（ B ）下列函数中既是奇函数，又是区间

1,1 上单调递减的是（

）

（ A ） f ( x)

sin x

(B)

f ( x)

x

1

(C) f ( x)

1 (a x a x

)

(D) f ( x) ln 2

x

2 2 x

9. （ A ）函数 y

log 1 (3x 2) 的定义域是：（ ）

2

A [1, )

B

(32, )

C

[ 32 ,1]

D ( 32

,1]

10.(A) 已知函数 y

log 1 x 与y kx 的图象有公共点 A ，且点 A 的横坐标为 2 ，则 k （ ）

4

A ．

1 1

1

1

4

B ．

C ．

D ．

4 2 2

11 ．（ B ）若函数 f (x) a x b 1(a 0且 a 1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定

有（

）

A ． 0 a 1且

b 0 B ． a 1且

b 0

C ． 0 a 1且 b 0

D ． a 1且b 0

12 ．(B) 若函数 f ( x) log a x(0 a

1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=

（ ）

A.

2

2 C.

1

1

4

B.

4

D.

2

2

13.(A) 已知 0 ＜ x ＜ y ＜ a ＜ 1 ，则有（

）

（ A ） log a ( xy) 0 （B ）0 log a ( xy) 1

（ C ） 1 log a ( xy) 2 （ D ） log a ( xy) 2

14. （ A ）已知 f (x 6 )

log 2 x ，那么 f (8) 等于（

）

4 （B ）8

（C ）18

1 （ A ）

（ D ）

3

2

15 ．（ B ）函数 y ＝ lg|x| A ．是偶函数，在区间 C ．是奇函数，在区间

（ ）

(－∞， 0) 上单调递增

B ．是偶函数，在区间 (－∞， 0) 上单调递减

(0 ，＋∞ ) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间 (0 ，＋∞ ) 上单调递减

16. （ A ）函数 y lg( 4 x) 的定义域是

____________________________.

x 3

17 ．（ B ）函数 y

a 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线

mx ny 1 0(mn 0) 上，则 1 1 ．

m 的最小值为

n

18 ．（ A ）设 g(x) e x , x 0. 则 g( g( 1

lnx, x 0. )) __________

2

19 ．（ B ）若函数 f(x) =

2x 2

2ax a

1 的定义域为 R ，则 a 的取值范围为 ___________. 20 ． (B) 若函数 f ( ) log

a ( x

x 2

2 a 2 ) 是奇函数，则 a = ．

x

21.(B) 已知函数

f ( x) 1

log

1 x

，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调

x 2

1 x

性.

参考答案：

三：例题诠释，举一反三

例 1. 解：（1 ） 2

，（ 2 ） a 2

9

1

1

3 5 1 3

5

1

5 ab 6

b 3

3

b 2

) a 2 b 2

(a

） 1,

（23）

2

.

(3)110

变式：解：（ 1

4ab

4

4 ab

例2. 解：B

变式：解： (0, 1

) ；

2

例 3. 解：（Ⅰ） b

1 （Ⅱ）减函数。

1

（Ⅲ） k

3

变式：解：（ 1 ） a=1. （ 2 ）略

例 4. 解：（1 ） -1. （2）1.

（3）1

.

2

7 12

1

3 3

5

2

(1)

（2）2.

log 变式：解：

. （ 3 ）

48

42 2

2 log 2 2

4

2 2

2

例5. 解：选D 。 变式：解： C

例 6. 解： (1，3］∪［ 1

，1）

3 变式：解： {a|2-2 3 ≤ a ＜2}

例 7. 解：（1 ）当 x 1 或 x 1时， f (x) g ( x) ；

（ 2 ）当 x 1 时， f ( x) g( x) ；

（ 3）当

1 x 且 x 0 时， f ( x) g ( x) ．

1

变式：解：（ 1 ） f(x)=x -4 . （ 2 ） F （ x ） = a

bx 3

， ∴F （ -x ） = a +bx 3 .

x

2

x 2

①当 a ≠0 ，且 b ≠ 0 时， F （ x ）为非奇非偶函数； ②当 a=0,b ≠0 时， F （ x ）为奇函数； ③当 a ≠0,b=0 时， F （ x ）为偶函数；

④当 a=0,b=0 时， F （x ）既是奇函数，又是偶函数 .

四：方向预测、胜利在望

1 —5 ADDDC ；

6 —10 AADDA ；

11 — 15 CADDB.

16. (- , 3)

(3,4)

17. 4

18. 1 19.[-1,0]

20.

2

2

2

x 0

,由 1

x

21 ． [解 ]x 须满足 1 x

0得 1 x 1,

1

x

1 x

所以函数 f ( x) 的定义域为（－ 1，0）∪（ 0，1）.

因为函数 f ( x) 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意

x ，有

1

1 x

1

1

x

f ( x) x log

2 1 x ( x

log

2 1 x )

f (x) ，所以 f ( x) 是奇函数 . 研究 f ( x) 在（ 0 ，1 ）内的单调性，任取 x 1 、 x 2 ∈（ 0 ，1 ），且设 x 1 < x 2 ，则

f (x 1 )

f (x 2 ) 1

log 2

1 x 1 1

1 x 2

x 1

1 x 1

x 2

log 2

x 2

1

(

1

1 ) [log

2 ( 2

1) log 2 ( 2 1)],

由

1

x 1

x 2 1 x 2

1 x 1

1

0, log 2 ( 2 1) log 2 (

2 1) 0,

x 1

x 2

1 x

2 1 x 1

得 f ( x 1 ) f ( x 2 ) >0 ，即 f ( x) 在（ 0 ， 1 ）内单调递减， 由于 f ( x) 是奇函数，所以 f ( x) 在（－ 1 ， 0 ）内单调递减 .