二次根式 知识点总结
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个
非负数时，
才有意义．
【例2】若式子
3
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：
1、使代数式2
21x x
-
+-有意义的x 的取值范围是
2、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
解题思路：式子a （a ≥0），50
,50
x x -≥??
-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014
举一反三： 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
已知a 5b 是
51
2
a b +
+的值。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y
x 1
2
+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
a a a a a a 200==≥-
||()
() 注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 2
00==≥-
与()()a a a 20=≥的区别与联系
（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例4】若()2
240a c -+-=，
则=+-c b a ．
举一反三：
1、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为
＿＿＿＿＿＿.
2、若1a b -+()
2005
_____________a b -=。
（公式)0((2≥=a a a 的运用）
【例5】
化简：2
1a -+的结果为（ ）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三：
3
，则斜边长为
（公式???<-≥==)
0a (a )0a (a a a 2
的应用）
【例6】已知2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三：
2
2
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x - 3、已知0a <
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │
的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简
：
1______a -=．
【例8】
化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1
举一反三：
若代数式2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥
Ｂ．2a ≤
Ｃ．24a ≤≤
Ｄ．2a =或4a =
0 o
b
a
【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1
举一反三：
1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11)1(＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A B C D 2、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：a =来确定，b a -与 b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a +a ， 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 （1） （2 举一反三： 1、已知x =，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 知识点七：根式比较大小 【知识要点】 1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <，则 < 2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则 a b <。 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b - 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：① 1a a b b >?>； ② 1a a b b 【典型例题】 【例22】 比较与 【例23】比较 31 -与 21 - 的大小。 【例24】比较76 -与65 -的大小。 【例26】比较73 +与873 -的大小。 已知：，求的值．