【优等生】专题05++万有引力定律—高考物理备考优生百日闯关系列

专题05 万有引力定律

优生-百日闯关

第一部分 名师综述

万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析卫星运动轨道等相关问题。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际生活、新科技等结合的应用性题型考查较多。 第二部分 精选试题 一、选择题

1．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为L 的单摆做小振幅振动的周期为T ，将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，则月球的密度为 （ ） A.

2

3L

GrT π B.

2

3L

GrT

π C. 2163L GrT π D. 2316L GrT π 【答案】 B

【解析】据题意，已知月球上单摆的周期为T ，据单摆周期公式有： 2l

T g

=加速度为： 224l g T π=；据月球表面物体重力有月球万有引力提供，有： 2

Mm

G mg R

=，月球平均密度设为ρ，据343M V R ρπρ==，联立以上关系可以求得： 2

3L

GrT

πρ=，故选项A 正确。 【结束】

2．由于太阳不断向外辐射电磁能，其自身质量不断减小．根据这一理论，在宇宙演变过程中，地球公转的情况是 （ ） A ．公转周期变大 B ．公转半径减小 C ．公转速率变大

D ．公转角速度变大

【答案】 A

【解析】如果太阳质量不变，线速度V 正好能够满足万有引力提供需要的向心力．可是太阳质量变小了，万有引力就变小了，这个时候需要的向心力就比万有引力大了．地球就做离心运动了，也就离太阳越来越远了．所以运动半径变大;

B 、地球跑远了，同时是在背离太阳做负功的，这个时候动能转化为势能，所以速率变小了．同时半径又变大了，根据r

ν

ω=

，所以角速度就变小了，根据2r

T πν

=

所以周期就变长了．

本题考查了万有引力在天体中的应用，这个题目有所不同的是中心体的质量也在发生改变，所以要考虑全面． 【结束】

3．一宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在可称体重的台秤上．用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g ′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N F 表示人对秤的压力，下面说法中正确的是 （ ） A ．g R

r g 22

=

' B ．g r

R g 22

=

' C ．N F =g R

r

m

D ．N F =g r

R m

【答案】 B 【解析】

做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故N F =0，C 、D 错误；对地球表面的物体，mg R Mm G =2，宇宙飞船所在处，g m r

Mm

G '=2，可得：g r R g 22='，A 错误、B 正确． 【结束】

4．因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”。假设高锟星为均匀的球体，其质量为地球质量的1/k 倍，半径为地球半径的1/q 倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 （ ） A ．q /k 倍 B ．k /q 倍

C ．q 2/k 倍

D ．k 2/q 倍

【答案】 C 【解析】

考点：万有引力定律及其应用．

分析：在行星表面的物体受到的重力等于行星对物体的万有引力，根据万有引力公式求出重力加速度的表达式，然后根据根据“高锟星”质量、半径与地球质量、半径的关系求出“高锟星”表面的重力加速度． 解：设行星质量是M ，半径是R ，物体质量是m ， 行星表面的物体受到的重力等于行星对它的万有引力， 则G

2

Mm

R

=mg ，重力加速度g=2GM R ， g g 高锟星地球

=22GM GM R R 地球高锟星

高锟星地球=22M R M R 高锟星地球地球高锟星=2

2

1()M R k R M q

地球地球地球地球

=2q k ； 故选C ． 【结束】

5．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星。建立在北纬40°北京某观测站的一位观测员，要在每天晚上相同时刻在天空正上方同一位置观察到该卫星。卫星的轨道必须满足下列那些条件（已知地球质量为M ，地球自

转的周期为T ，地球半径为R ） （ ） A ．该卫星一定在同步卫星轨道上

B ．卫星轨道平面与地球北纬40°线所确定的平面共面

C ．满足轨道半径3222

4n GMT

r π= （n=1，2，3，……）的全部轨道都可

D ．满足轨道半径32

22

4n GMT

r π= （n=1，2，3，……）的部分轨道

【答案】 D

【解析】同步卫星定轨在赤道的正上方，不可能在北纬40°正上方观察到，A 错误；卫星轨道平面绕地心做圆周运动，经过北纬40°C 错误；因为是每天晚上的相同时刻能观察到，故T

T 'n

=

（124n ,......=），根据公式2224Mm G m r T r ()n

π=解得3222

4n GMT

r π=124n ,......=，故C 错误，D 正确； 【结束】

6．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统。2010年1月17日凌晨在西昌成功发射了第三颗北斗导航卫星，这是一颗地球同步卫星。若第一颗北斗导航卫星绕地球做圆周运动的周期为12小时，则两颗卫星相比较 （ ） A ．第三颗北斗卫星的高度一定比第一颗北斗卫星的高 B ．第三颗北斗卫星的速度一定比第一颗北斗卫星的大 C ．第三颗北斗卫星的加速度一定比第一颗北斗卫星的大 D ．第三颗北斗卫星的向心力一定比第一颗北斗卫星的大 【答案】 A 【解析】

本题考查万有引力定律；人造卫星的加速度、线速度和轨道的关系及同步卫星特征。解答本题的关键是抓住同步卫星特征及万有引力提供向心力，列式求解出线速度、高度、加速度和向心力的表达式，再进行讨论。因为第三颗北斗导航卫星是一颗地球同步卫星，所以其周期与地球自转周期相同为24小时。人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m 、轨道半径为r 、地球质量为M ，则有

22

2

4GMm r m

r

T

π= 整理得2

3

2

4GMT r π

=

第一颗北斗导航卫星绕地球做圆周运动的周期，所以第三颗北斗卫星的高度一定比第一颗北斗卫星的高，故

A 正确；由

2

2

GMm v m

r

r

=得GM v r

=

所以第三颗北斗卫星的速度一定比第一颗北斗卫星的小，

故B 错误；由

2

GMm ma r

=得2

GM a r

=

，所以第三颗北斗卫星的加速度一定比第一颗北斗卫星的小，

故C 错误；因两颗卫星的质量关系不确定，由2

GMm F r

=

知，两颗卫星的向心力大小关系无法确定，故

D 错误。所以选A 。 【结束】

7．2015年12月10日，我国成功将中星1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道。如图所示为该卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，卫星远地点P 距地心O 的距离为3R ，则 （ ）

A. 卫星在远地点的速度大于

√3gR 3

B. 卫星经过远地点时的速度最大

C. 卫星经过远地点时的加速度小于g

9

D. 卫星经过远地点时加速，卫星可能再次经过远地点 【答案】 D

【解析】若卫星以半径为3R 做匀速圆周运动，则GMm

(3R)2＝m v 2

3R ，在根据GM =R 2g ，整理可以得到v ＝√3gR 3

，

由于卫星到达远地点P 后做近心椭圆运动，故在P 点速度小于

√3gR 3

，故A 错误；根据半径与速度的关系可

以知道，半径越大则速度越小，故远地点速度最小，故B 错误；根据

GMm (3R)

＝mg ′

，

GMm (R)＝mg ，则在远地点，

g ′＝g

9，故C 错误；卫星经过远地点时加速，则可以以半径为3R 做匀速圆周运动，则可以再次经过远地点，故D 正确。

考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系

【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，以及知道变轨的原理，当万有引力小于向心力，做离心运动，当万有引力大于向心力，做近心运动。 【结束】

8．2013年12月2日晚，发射了嫦娥三号。几天后，运载火箭将嫦娥三号直接送入地月转移轨道；近月制动被月球捕获，进入距月球表面高h 环月圆轨道。作为地球天然卫星的月球，月球的质量M,已知月球直径约为r ，则月球的平均密度ρ和圆轨道的运行周期T 。（引力常量为G ） （ ）

A. ；

B. ；

C. ；

D. ；

【答案】C

【解析】由密度公式得：，做圆周运动的过程中万有引力提供向心力，所以

，解得，故C正确；

【结束】

9．（多选）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点．若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动．若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（）

A. 该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等

B. 该卫星在L2点处于平衡状态

C. 该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度

D. 该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大

【答案】CD

【解析】该卫星与地球同步绕太阳做圆周运动的周期相同，处于非平衡状态，由地球和太阳的引力的合力提

供向心力．根据公式

2

2

4

a r

T

π

=向心加速度和向心力关系．

该卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期和地球绕太阳运动周期相等，但与地球自转周期没有关系，故A 错误；该卫星所受的合力为地球和太阳对它引力的合力，这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，故B 错误；由于该卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，该卫星的轨道半

径大，根据公式2

24a r T π=分析可知，“嫦娥二号”的绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加

速度，故C 正确； 因为这些点上的周期相同，根据2

24a r T

π=可得半径越大，向心加速度越大，所以根据

F ma =可得半径越大受到的合力越大，故D 正确

【结束】

10．（多选）2017年4月22日，我国首艘货运飞船“天舟一号”与“天宫二号”空间实验室完成交会对接。若飞船绕地心做匀速圆周运动，距离地面的高度为h ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G 。下列说法正确的是 （ ）

A. 根据题中条件可以估算飞船的质量

B. 天舟一号飞船内的货物处于平衡状态

C. 飞船在圆轨道上运行的加速度为

()

2

2

gR R h +

D. 飞船在圆轨道上运行的速度大小为 g

R h

+ 【答案】 CD

【解析】飞船的质量在计算过程中抵消，所以无法计算飞船的质量，飞船内的货物跟飞船一块做匀速圆周运动，合力指向地心，不为零，不是平衡状态，AB 错误；运动过程中万有引力充当向心力，故有()

2

Mm

G

ma R h =+，

联立黄金替代公式2

gR GM =，可得()

2

2

gR a R h =

+，C 正确；根据公式2

2Mm v G m r r

=，解得GM v r =联立黄金替代公式2

gR GM =，可得g

v R h

=+D 正确． 【结束】

11．（多选）2011年7月,天文学家通过广域红外勘测器（WISE ）发现地球首个特洛伊小行星。这颗小行星位于太阳一地球4号拉格朗日点。这颗小行星叫做2010 TK7,直径接近300米,当前距离地球8000万公里。它的公转轨道与地球相同,并始终在地球前方（打转）,它陪伴着地球至少度过了几千年的时光。下面关于这

颗小行星与地球的说法正确的是 （ ） A. 绕太阳运动的向心加速度大小相等 B. 受到太阳的万有引力大小相等 C. 绕太阳运动的周期相等

D. 在小行星运动一个周期过程中万有引力做正功 【答案】 AC

【解析】小行星与地球围绕太阳公转，公转轨道与地球相同，根据

GMm r 2

＝ma ，解得a ＝GM

r 2，其中M 为太阳

的质量，公转轨道半径相同，所以绕太阳运动的向心加速度大小相等，故A 正确；根据万有引力定律F =

GMm r 2

，小行星与地球质量不一定相等，所以受到太阳的万有引力大小不一定大小相等，故B 错误；小行星和

地球均绕太阳公转，根据开普勒第三定律有，R 3

T 2＝k ，知绕太阳运动运动的周期相等，故C 正确；小行星运动一个周期过程中，万有引力不做功，故D 错误；故选AC ． 考点：万有引力定律的应用

【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要的理论，并能灵活运用，知道线速度、角速度、周期、加速度与轨道半径的关系。 【结束】

12．（多选）神州十一号已于2016年10月19日凌晨成功与天宫二号成功实施自动交会对接，神州十一号发射过程为变轨发射，示意图如图所示，其中1为近地圆轨道，2为椭圆变轨轨道，3为天宫二号所在轨道，P 为1、2轨道的交点，以下说法正确的是： （ ）

A ．神州十一号在1轨道运行时的动能大于其在3轨道运行时的动能

B ．神州十一号在1轨道运行时的机械能大于其在2轨道运行时的机械能

C ．神州十一号在2轨道运行时的机械能小于其在3轨道运行时的机械能

D ．神州十一号在1轨道运行时经过P 点的动能大于其在2轨道运行时经过P 点的动能 【答案】 AD 【解析】

万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：2

2Mm v G m r r =，解得： GM v r ，卫星的动能：

2221K GMm

E mv r

=

=

，神州十一号在1轨道运行时的轨道半径小于其在3轨道运行时的轨道半径，神州十

一号在1轨道运行时的动能大于其在3轨道运行时的动能，故A 正确；神州十一号由轨道1变轨到轨道2时要加速，加速过程机械能增加，因此神州十一号在1轨道运行时的机械能小于其在2轨道运行时的机械能，故B 错误；神州十一号由轨道2变轨到轨道3时要加速，加速过程机械能增加，因此神州十一号在2轨道运行时的机械能小于其在3轨道运行时的机械能，故C 正确；神州十一号由轨道1变轨到轨道2时要加速，神州十一号在1轨道运行时经过P 点的动能小于其在2轨道运行时经过P 点的动能，故D 错误；故选AC 。

考点：万有引力定律的应用

【名师点睛】本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度和角速度的表达式，再进行讨论．知道知道卫星变轨的原理，卫星通过加速或减速来改变所需向心力实现变轨。 【结束】 二、非选择题

13．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX －3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.

(1)可见星A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示)；

(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式．

【答案】 （1）设 A 、B 的圆轨道半径分别为1r 、2r ，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω。由牛顿运动定律，有

221122A B A B F m r F m r F F ωω===

设 A 、B 之间的距离为r ，又12r r r =+，由上述各式得： 12

12

m m r r m +=

，① 由万有引力定律，有： 12

2A m m F G r =将①代入得： ()31222

121A m m F G m m r =+ 令121'

A m m F G r =比较可得： ()

322

12

'm m m m =

+-②

（2）由牛顿第二定律，有： 2

11211

'm m v G m r r =③

又可见星 A 的轨道半径： 12vT r π

=④ 由②③④式解得： ()

3

322

122m v T

G

m m π=

+⑤ 【结束】

14．西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将“天链一号02星”送入太空.火箭飞行约26分钟后，西安卫星测控中心传来的数据表明，星箭分离，卫星成功进入地球同步转移轨道.“天链一号02星”是我国第二颗地球同步轨道数据中继卫星，又称跟踪和数据中继卫星，由中国航天科技集团公司所属中国空间技术研究院为主研制.中继卫星被誉为“卫星的卫星”，是航天器太空运行的数据“中转站”，用于转发地球站对中低轨道航天器的跟踪测控信号和中继航天器发回地面的信息的地球静止通信卫星.

（1）已知地球半径R ，地球表面的重力加速度g ，地球自转周期T ，万有引力常量为G ，请你求出地球的密度和“天链一号02星”距地面的高度？

（2）某次有一个赤道地面基站发送一个无线电波信号，需要位于赤道地面基站正上方的“天链一号02星”把该信号转发到同轨道的一个航天器，如果航天器与“天链一号02 星” 处于同轨道最远可通信距离的情况下，航天器接收到赤道地面基站的无线电波信号的时间 是多少？已知地球半径为R ，地球同步卫星轨道半径为r ，无线电波的传播速度为光速c. 【答案】 【解析】

（1）地面附近重力等于万有引力：2

GMm

mg R = 密度公式：M V ρ=

体

34

3

V R π=体

得：34g

GR

ρπ=

同步卫星受到的万有引力提供向心力，故：2

2

2()GMm m r r T

π= 卫星的高度：h=r-R

得：22

2

4gR T h R π=

（2）“天链一号02星”与同轨道的航天器的运行轨道都是同步卫星轨道，所以“天链一号02星”与同轨道的航天器绕地球运转的半径为r ，“天链一号02星”与航天器之间的最远时的示意图如图所示．

无线电波从发射到被航天器接收需要分两步．首先赤道地面基站A 发射的信号被中继卫星B 接收，然后中继卫星B 再把信号传递到同轨道的航天器C 。

由几何知识可知：“天链一号02星”与航天器之间的最远距离：2212R r s -=

无线电波信号经过的总路程22

s r R r R =--

s ct =

得：222r R r R

t -+-=【结束】

15．据人民网报道，北京时间2013年12月6日17时53分，嫦娥三号探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道。探测器环月运行轨道可视为圆轨道。已知探测器环月运行时可忽略地球及其他天体的引力，轨道半径为r ，运动周期为T ，引力常量为G 。求： （1）探测器绕月运行的速度的大小； （2）探测器绕月运行的加速度的大小； （3）月球的质量。 【答案】 （1）

（2）

（3）

【解析】

（1）探测器绕月运行为匀速圆周运动，根据圆周运动的线速度定义可知

（2）探测器绕月运行的加速度的大小即圆周运动的向心加速度

（3）设月球质量为M ，嫦娥三号探测器的质量为m ，探测器运行时月球对它的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

可得

【结束】

16．为了让世界更多的了解中国，我国将利用“中星”卫星网络向世界传输视频信号。假设图所示为控制中心大屏幕上出现的“中星”卫星运行轨迹图，它记录了该卫星在地球表面上垂直投影的位置变化。图中表示在一段时间内该卫星绕地球飞行四圈，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①、②、③、④，图中分别标出了各地点的经纬度（如在沿轨迹①通过亦道时的经度为西经135°，绕行一圈后沿轨迹②再次经过赤道时经度为180°……）。

（1）求“中星”卫星的运行周期；

（2）若地球半径为R ，“中星”卫星的运行周期为T,地球表面处的重力加速度为g,求“中星”卫星离地面的高度H 。

【答案】 （1）3小时（2）22

3

2

4gR T H π=【解析】

（1）由图分析知：卫星绕地球转一圈地球自转

故T=3小时（4分）

（2）对卫星2

224Mm G m r r T

π=（3分）

又2

Mm

G

mg R =（3分） 得22

3

2

4gR T r π

=

22

3

2

4gR T H π

=（2分） 【结束】