小学奥数韩信点兵典型例题和解题思路
小学奥数韩信点兵典
型例题和解题思路Revised on November 25, 2020
韩信点兵典型例题与解题思路
一、基本原理:
?a÷b...r 表示方式b|(a-r),b|(a+b-r),其中r为余数,减去余数就
可以整除;b-r意味着如果再补这么多数据,就可以整除。如10÷
3=3...1。如余数为1,10-1=9,可以整除;1缺少2,如果补3-1=2,就可以整除,也就是10+2可以整除。
?m|a,n|a,p|a,相当于【m,n,p】|a
(1)A÷3...1;A÷4...1;A÷6...1 【3,4,6】|(A-1)---A-1=12K---A=12K+1
(2)A÷3...2;A÷4...3;A÷6...5;补数相同为1,【3,4,6】|(A+1)---A+1=12K---A=12K-1
二、基本规律
1)减同余
若a÷m...r;a÷n...r;则【m,n】|(a-r)
2)加同补(补数,除数-余数)
若a÷m...r1;a÷n...r2;且m-r1=n-r2则【m,n】|(a+m-r)
3)逐级满足
(1)A÷3 (2)
(2)A÷5 (3)
由(2)得A-3=5K A=5K+3 (3)
将(3)代入(1),的(5K+3)÷3 (2)
3|(5K+3-2)
3|(3K+2K+1)
3|(2K+1) K最小为1
A=5×1+3=8
三、例题
例1、一个大于10的自然数除以4余3,除以6余3,则这个数最小为多少解:A÷4...3 A÷6...3----------[4,6]|(A-3)
A-3 = 12K A=12K+3 K=1,A=15
例2、一百多个苹果,3个3个数多2个,5个5个数剩2个,7个7个数缺5个,则苹果有多少个!
解:A÷3...3 A÷5...2 A÷7...2----------[3,5,7]|(A-2)
A-2= 105K A=105K+2,当K=1,A=107
例3、一个自然数除以6余2,除以8余4,这个数最小为多少解:A÷6...2 A÷8...4------------【6,8】|(A+4)
A+4 =24K A=24K+4
当K=1时,A=24×1-4=20
例4,一个自然数除以7余1,除以9余2,这个自然数最小为多少(1)A÷7 (1)
(2)A÷9 (2)
由(2)得 A=9K+2 (3)
将(3)代入(1),的(9K+2)÷7 (1)
7|(9K+1)
7|(7K+2K+1)
7|(2K+1) K最小为3
A=9K+2=29
例5、有一个自然数,被3除余1,被5除余2,被7除余3 (1)求这个自然数的最小值
(2)用含字母K来表达这个数
解:
A=52+105K