广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)文科数学试卷及答案

绝密★启用前 试卷类型：

A

深圳市2019年高三年级第二次调研考试

数 学（文科） 2019．4

本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

2．复数2

1i

+的共轭复数是

3．已知双曲线C ：()22210x y a a ?=>的渐近线方程为3

y x =±，则该双曲线的焦距为

（A ）(0,1)

（B ）(0,3)

（C ）(1,2)

（D ）(2,3)

（A ）1i +

（B ）1i ?

（C ） 1i ?+

（D ）1i ??

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．设集合{

}2

20A x x x =?< ，{}

13B x x =<<，则A B =

4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[]25,30三组内的学生中，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为

5．已知角α为第三象限角，若π

tan()34

α+=，则sin α=

6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为

7

．若函数π()sin()6

f x x ω=?(0)ω>图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数)f x (的一个单调递增区间为

（A ）

8π

3

（B ）

10π

3

（C ）

14π

3

（D ）10π

第6题图

第4题图

0.04 0.06 O

5 10 15 20 25 30

0.01

0.02 a

（A 2

（B ）2 （C ）22 （D ）4

（A ）1

（（C （D ）4

（A ）25

（B ）5

（C 5 （D 25

8．函数

2

1

()

lg

x

f x

x

?

=的图象大致为

10．已知正方体

1111

ABCD A B C D

?，P为棱

1

CC上的动点，Q为

棱

1

AA的中点，设直线m为平面BDP与平面11

B D P的交线，

以下关系中正确的是

11．已知1F、2F分别是椭圆C：

22

22

+10

x y

a b

a b

=>>

（）的左、右焦点，点A是1F关于直线bx ay ab

+=的对称点，且

2

⊥

AF x轴，则椭圆C的离心率为

（A）

ππ

,

63

??

???

??

（B）

ππ

,

22

??

???

??

（C）

ππ

,

36

??

???

??

（D）

π2π

,

63

??

??

??

第10题图（A）

1

4

（C）

1

3

（D）

1

2（A）//

m

1

D Q（B）//

m平面11

B D Q

（C）

1

m B Q

⊥（D）m⊥平面

11

ABB A

（A）

31

2

（B）

1

2

（C）

51

2

（D）

3

2（A）（B）（C）（D）

9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？”

贝特朗给出了“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设A为圆O上的一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，求所得弦长大于圆O的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为

1

5

（B）

12．若函数()ln f x x x a x =??在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设函数23, 0,

()(2), 0,x x x f x f x x ?+≥=?+

则(3)f ?＝______________．

14．设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且6c =

，1

cos 4

C =?

，

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足12a =,122n

n n a a +=++()n *∈N ．

（1）判断数列{2}n

n a ?是否为等差数列，并说明理由； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．

（A ）1(0,)2

（B ）1(,e)2

（C ） (0+)∞， （D ）1

(,)2

+∞

第16题图(1)

A'

B

D

C

第16题图(2)

sin 2sin A B =，则b ＝______________．

15．已知等边ABC ?的边长为2，若点D 满足=2AD DC ，则=BD AC ?______________． 16．如图（1），在等腰直角ABC ?中，斜边4AB =， D 为AB 的中点，将△ACD 沿

CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '?．若三棱锥C A BD '?的外接球的半

径为5，则A DB '∠=______________．

A

B

C

D

18．（本小题满分12分）

某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与当月售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：

x 5 6 7 8 9 y

8

6

4.5

3.5

3

（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若

[0.75,1]r ∈，则认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请根据上表数据计算y 与x 之间的相关系数r （精确到0.01），并说

明y 与x 之间的线性相关关系的强弱；

（2）求y 关于x 的线性回归方程；

（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量?当月售价) 附注：

参考数据：16512.85≈，

参考公式：相关系数1

2

2

1

1

()()

()()

n

i

i

i n n

i

i

i i x x y y r x x y y ===??=

??∑∑∑，

线性回归方程y bx a =+，1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==??=

?∑∑，a y bx =?.

19．（本小题满分12分）

在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF ?.

（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行？若存在，求

PG

GC

的值； 若不存在，请说明理由.

（2）求点A 到平面PEC 的距离．

C

D F

P

20．（本小题满分12分） 设点P 是直线2y =?上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）若点A 的坐标为1(1,)4

，求点P 的横坐标；

（2）当△ABP 的面积为

27

2

时，求AB . 21．（本小题满分12分）

已知函数()e +21x

f x a x =?，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,

sin ,

αα=??

=?x y （α为参数），圆2

C 的方程为2

2

(2)4x y ?+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θ

θ=(0)ρ≥．

（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；

（2）当0π

02

θ<<

时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数1

()||||(1)f x x m x m m

=?++

>．

（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1

()3(1)

f x m m +

≥?．

2019年深圳市高三第二次调研考试

文科数学试题答案及评分参考

第Ⅰ卷

一．选择题

（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D

12.【解法1

】22()12a x a

f x x x

'==

．

注意到函数2y x =()1+∞，

上单调递增，且21x >． 若1

2

a ≤

，则120a ?≥，则()0f x '>，函数()f x 在()1

+∞，上单调递增，故()(1)0f x f >=，不合题意，应舍去． 当1

2

a >1

2

a >()01x ∈+∞，()01x x ∈，()f x ()0,

x x ∈+∞(1)0f =0()0f x <

()2(1)0f a +>，通过研究直线()1+∞，与曲线l n 0x x a x ??=的位置关

系，易知

(1)

t x t =>，所以1

2

a >

. 【解法3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为直线

22l n 0(1)

t t a t t ??=>与

a =在()1

+∞，上有交点，注意到0a ≠和函数(

)ln h x a x =的凹凸性以及(), ()g x h x 均过点()1,1，故可研究()h x 在()1,1处的切线即可．

二．填空题：

13．4 14．1

15．

23 16．2π

3

16【解法1】设A BD '?的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π

(0,)2

θ∈．由正弦定理易得

1

2

a >

时，此时存在()01x ∈+∞，

，使得当()01x x ∈，时，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递增．因为(1)0f =，所以0()0f x <．又因为(

)2(1)0f a +>，故此时()f x 在()1+∞，

上必定存在零点．综上所述，答案为D ． 【解法2】函数()f x 在()1+∞，上存在零点，即方程ln 0x x a x ??=在()1+∞，

上有解， 设(1)t x t =>，则方程可化为2

2ln 0(1)t t a t t ??=>，显然当0a =时，方程在()1+∞，上无解；当0a ≠时，方程可化为

4sin 2sin 2r θθ=

，故1

cos r θ

=

解得1cos =

2θ，所以A DB '∠2π

=2=3

θ． 【解法2】设A BD '?的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π

(0,)2

θ∈，并设A B '中点为

M ，DM b =，A M a '=，则有222()a b r r +?=，由于224a b +=，由此可得2br =，又因为

21=5r +，所以=2r ，而11cos =22b r θ=

=，所以A DB '∠2π=2=3

θ． n n n n n S n n ++???=+=?+??. …………………………12分 【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

18．（本小题满分12分）

某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：

（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足12a =,122n

n n a a +=++()n *∈N ．

（1）判断数列{2}n

n a ?是否为等差数列，并说明理由；

（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ． 【解析】(1) 设2n n n b a =?，则1

112n n n b a +++=?，……………………………2分

则1

111(2

)(2)2n n n n n n n n n b b a a a a ++++?=???=??， ……………………4分

(22)22n

n

n n a a =++??=()n *∈N ， ……………………………5分

所以，数列{2}n

n a ? 是首项为0，公差2d =的等差数列．………………6分 (2)由（1）可知20(1)n

n n a ?=+?2， …………………………………………8分 ∴ 22(1)n

n a n =+?，………………………………………………………………9分

∴[]120(1)2(12)22122

认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；

（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ 解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，

7x =，5y =， ………………………………1分

5

2

1()

10i

i x x =?=∑，5

21

()16.5i i y y =?=∑，……………………………………………2分

5

1

()()12.5i

i

i x x y y =??=?∑

，0.97r ≈

≈? ……………………………3分

因为0.97[0.75,1]r ≈?∈， ………………………4分 说明y 与x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5分

（2）由（1）可知1

2

1

()()

12.5

1.2510

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ∧

==???=

=

=??∑∑ ………………………7分 ∧∧

=???+（元）

或者2= 1.2513.75z y x x x ∧∧

=??+（千元） ………10分

则当 5.5x =时，z ∧

PG

GC

的值； 若不存在，请说明理由.

5 1.25713.75a y b x ∧∧

∴=?=???=（），…………………………………………… 8分 1.2513.75y x ∧

∴=?+……………………………………………………………………9分 （3）由题意可知， 月销售额的预报值21000=125013750z y x x x 取到最大值，

即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12分

【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分12分）

在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥

P AECF ?.

（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求

（2）求点A 到平面PEC 的距离． 解：（1）线段PC 上的点G 满足1

3

PG GC =时，PA 与平面EFG 平行． ………1分 证明如下：

连结EF ，EG ，FG ，AC ，记AC 与EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形ABCD 中，

∵E 、F 分别为边AB 、AD 的中点， ∴

1

3

AO OC =， ……………………2分 故1

3

AO PG OC GC ==， ……………………3分 ∴

PA // OG ． ……………………4分

∵PA EFG ?平面，OG EFG ?平面,

∴ //PA EFG 平面 ． ……………………6分

（2）解法一：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又

PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分

记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =，

设P 到直线AC 的距离为h ，

4232h =?，4

3

h ∴=． ……………………9分

33239

P AEC AEC V S h ??∴=??=????=，

1

42

PCE S PC PE ?=??=，设点A 到平面PCE 的距离为h '，

A

EF PAC

⊥平面E F A E C F ?平面C C

⊥平面平面C C C

平面平面OPC OC

,,PC EF AC EF AC

PC C ⊥⊥=,

∴EF PAC ⊥平面

EF AECF ?平面,

∴ PAC AEC ⊥平面平面 ∵ =PAC

AEC AC 平面平面

∴ △OPC 斜边OC 上的高h 即为三棱锥-P AEC 的高． ……………………10分

111416

24

14

33

A PCE PCE V S h h ??''∴=??=?，

41639h '∴=，解得4

=3

h '． …………………12分 解法二：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，

翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又

PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ， ……………………8分

记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC

为直角三角形，OP =

4PC =

，OC =

易得

P 到直线AC 的距离为4

3， ……………………9分 23

8

342421=??=∴ΔPAC S ，

,,PC EF AC EF AC

PC C ⊥⊥=,

∴ EF PAC ⊥平面，

-1116

=339

P AEC E PAC PAC V V S OE ??∴=??==，

又1

42

PCE S PC PE ?=

??=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 14

33

A PCE PCE V S h h ??∴=??=?，

41639h ∴=，解得4

=3

h 1=??=ΔPOC

S ． ……………………9分 ,,PC EF AC EF AC

PC C ⊥⊥=，

∴EF PAC ⊥平面，

3

4

22231=??=∴E-POC V ，

C

D

F

P

O

． …………………12分 解法三：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，

翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又

PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分

记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，OP =

4PC =，OC =

易得22242

-44416

=3339

E PAC E POC V V ?∴=?=，

又1

42

PCE S PC PE ?=

??=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 14

33

A PCE PCE V S h h ??∴=??=?，

41639h ∴=，解得4

=3

h ． …………………12分 【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．

20．（本小题满分12分）

设点P 是直线2y =?上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.

（1）若点A 的坐标为1

(1,)4

，求点P 的横坐标； （2）当△ABP 的面积为27

2

时，求AB . 【解析】（1）由214y x =

，所以1

2

y x '=， ……………………………………1分 因为1

(1,)4

A ，

由导数的几何意义知，切线PA 的斜率11

1=22

PA k =?，……………………2分 所以切线PA 的方程为11:(1)42?

=?PA l y x ，即11

24

=?y x ，………………………3分 又因为点P 为直线2y =?与直线11

24

=?y x 的公共点， 联立2y =?与1124=

?y x ，可得P 点横坐标为7

2

?．.…………………………4分 （2）法一：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，0(,2)P x ?，

由（1）可知112PA k x =

，即直线PA 的方程为1111

()2?=?y y x x x ， 即111:2PA l y x x y =?，同理可得221

:2

PB l y x x y =?，…………………………5分

因为切线PA ，PB 均过点0(,2)P x ?， 所以0

11022

22

2

2

x x y x x y ??=??????=???， ……………6分

所以1122(,),(,)x y x y 为方程

22x x y ?=?的两组解， 所以直线AB 的方程为022x x y ?=?，即0:22

AB x

l y x =+.…………………7分

联立0222

4x y x x y ?

=+???=?

，可得20280x x x ??=，显然0?＞， 由韦达定理得，120122,8x x x x x +==?， ……………………………………8分

所以AB ==， …………9分

又因为点P 到直线AB

的距离d =

， …………………………10分

所以3

22020111274(8)22222ABP

x S AB d x ??=?=+=+= ?，………11分 解得2

01x =

，所以=AB . ………………………12分

法二：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，由（1）可知直线PA 的方程为2

1124x x y x =?

， 同理，直线PB 的方程为2

2224

x x y x =?

，…………………………………………5分 联立解得1212

(

,)24

x x x x P +，…………………………………………………………6分 又点P 在直线2y =?，所以1224

x x

=?，128x x =?， …………………………7分

设直线AB 的方程为y kx m =+，联立24x y y kx m

?=?=+?，可得2

440x kx m ??=，

由韦达定理得124x x k +=，1248x x m =?=?，

可得2m =，(2,2)P k ?，…………………………………………………………8分

所以||AB == …………………9分 又因为点P 到直线AB

的距离为2d =， ……………………………10分

所以3

22

2127||4(2)22ABP S AB d k ?=?==+=

，…11分 解得21

4

k =

，所以||2ln()x a

>?．

故()f x 在2,ln()a ?

??∞? ???上单调递增，在2ln()a

???+∞ ??

?

，

上单调递减． …………………………4分

综上所述，当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；

当0a <时， ()f x 在2,ln()a ?

??∞? ???上单调递增，在2ln()a

???+∞ ??

?

，

上单调递减． …………………………5分

（2） 证法一：原不等式等价于e 12

e 0x x x a ax a

??

+?≥． ………………6分 令e 12()e x x g x x a ax a =??+?，则2

(1)(e 1)()x x a x g x ax ???'=．…………………7分 当1a ≥时，e 1e 1x x

a x x ??≥??，…………………8分

AB = ………………………12分

【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）

已知函数()e +21x

f x a x =?，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．

【解析】（1）()e 2x

f x a '=+． …………………………1分

① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增；………………………2分 ② 当0a <时，由()0f x '>解得

令()e 1x h x x =??，则当0x >时，()e 10x

h x '=?>，

∴ 当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， ………………………10分 ∴ 当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴ ()(1)0g x g ≥=． ………………………11分

即

e 12

e 0x x e x x

???+≥，…………10分 令

x

a

ax

a

?

?

+

?≥，则

()(e)f x x a x ≥+，

易证当0x >时，()()

2

e e 1x

a x x ?≥?，

∴当()e e x g x x =?时，()e e x g x '=?，当1x <时，()0g x '<， ∴函数1x >在()0g x '>上单调递减，在()(1)0g x g ≥=上单调递增， ∴e e 0x

x ?≥， …………………11分

∴1x =， 即e 1

e 20x x x x

???+≥， 从而，对任意的0x >，当1x ≠时，e e 0x x ?>． …………………………12分

x a ax a

??+?≥，故()(e)f x x a x ≥+． ………………12分 证法二：原不等式等价于()

()2

e e 1x

a x x ?≥?． ………………………6分

令()e e x g x x =?，则()e e x

g x '=?．

当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．

∴()(1)0g x g ≥=，即e e 0x

x ?≥，当且仅当1x =时等号成立．…………………7分 当1x =时，()

()2

e e 1x

a x x ?≥?显然成立；

当0x >且1x ≠时，e e 0x

x ?>．

欲证对任意的1a ≥，(

)

()2e e 1x

a x x ?≥?成立， 只需证()2

e e 1x

x x ?≥?．……9分

思路1： ∵0x >，∴不等式()2

e e 1x

x x ?≥?可化为1

e 20x x

思路2： 令()2

1+e ()e x

x x

x ??=

，则(1)(e 3)

()e x

x x x ???+?'=

．

()0 3e 1x x ?'>??<<，()0 103e x x x ?'<

∴()x ?在(0,3e)?上单调递减，在(3e 1)?，

上单调递增，在(1+)∞，上单调递减． …………………………11分

∵ (0)=(1)1??=，

∴ ()2

1+e ()1e x

x x

20ln 1a ??

<<

???

． 当20ln x a ??<< ???时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ??> ???

时，()0h x '>，()h x 单调

递增．

②—（i ）：若

2

2e 1

a ≤

(1)0h h a ??

<= ???

∴ 当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，

时，()=()0g x h x '>． 与①同，不等式成立． …………………………9分

x ??=

≤，即()2

1e e x x x ?≤?．

从而，对任意的1a ≥，当0x >时，()(+e)f x x a x ≥． …………………………12分 证法三：原不等式等价于2

e 21e 0x a x x a x +???≥．

令()2

()e e 21x

g x a x a x =????，则()()e 2e 2x

g x a x a '=???． ……………6分

令()()e 2e 2x

h x a x a =???，则()e 2x

h x a '=?，其中0x >．

① 当2a ≥时，()0h x '>．()h x 在()0+∞，

上单调递增． 注意到(1)0h =，故当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1

+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．

∴ min ()=(1)0g x g =，即()(e)f x x a x ≥+． …………………………7分 ② 当12a ≤<时，

②—（ii ）：若2

1e 1

a ≤0h a =?， ∵ 2ln

(1)0h h a ??

<= ???

， ∴ 020,ln x a ??

???∈

? ?????

，

使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()=()0g x h x '>；当()01x x ∈，时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，

时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()00,x 上单调递增，在()01x ，

上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ∵ (0)=10g a ?≥，(1)=0g

∴ 此时，()0g x ≥，即()(e)f x x a x ≥+．

综上所述，结论得证． …………………………12分

【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,

sin ,

αα=??

=?x y （α为参数），圆2C 的方程

为2

2

(2)4x y ?+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．

（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；

（2）当0π

02

θ<<

时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．

解：（1）由2cos ,sin αα=??=?x y 消去参数α可得1C 的普通方程为2

214x y +=，……………1分 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得

2

2(cos )(sin )14

ρθρθ+=，

即222244

cos 4sin 13sin ρθθθ

=

=

++， 所以1C 的极坐标方程为224

13sin ρθ

=+； ………………………3分

把cos x ρθ=，sin y ρθ=

代入22(2)4x y ?+=，得4cos ρθ=，

所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ………………………5分

（2）把0θθ=代入2

2

413sin ρθ

=+，得2

20413sin ρθ=+M ， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分 由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=， 即2

020

16

(4cos )13sin θθ=+， ………………………7分

∵ 0π02

θ<<，

∴ 0sin 3

θ=

，0cos θ=，

∴ 3ρ=

M

，0

4cos ρθ==N ， …………………8分 ∴ △2MC N 的面积222???=?MC N C N C M O O S S S

2011||()sin 222ρρθ=

??=?N M OC ．……………………10分 【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极径ρ的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数1

()||||(1)f x x m x m m

=?++

>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；

（2）证明：1

()3(1)

f x m m +

≥?．

解：（1）当2m =时，1

()|2|||2

f x x x =?++

， ………………………1分

①当12x ≤?时，原不等式等价于1(2)()32x x ??+>，解得3

4

x

<<时，原不等式等价于5

32

>，不等式无解， ……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ?

??+> ??

?，解得9

4

x >，………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39

(,)(,)44

?∞?+∞； ………………5分 （2）由题11

()||||||f x x m x m m m

=?++

≥+， ………………………6分 0m >，11

||m m m m

∴+=+， 1()f x m m ∴≥+

， 当且仅当1,x m m ??

∈?????

时等号成立． ………………7分 11111

()(1)1(1)(1)11

f x m m m m m m m m m m ∴+

≥++=+=?++????，

1m >，10m ∴?>，1(1)1131m m ∴?++≥+=?，…………9分 1

()3(1)f x m m ∴+

≥?，当2m =，且1[,2]2

x ∈?时等号成立．……………………10分

【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．