初二数学下册知识点总结-超经典!
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初二数学下知识点总结
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫
做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果b
=(k,b是常数,k≠0),那么
kx
y+
y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数b
=
y+
kx
中的b为0时,kx
y=(k为常数,k≠0)这时,y 叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线。
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数b
=的图像是经过点(0,b)的直线;
kx
y+
正比例函数kx
y=的图像是经过原点(0,0)的直线。(如下图)
4. 正比例函数的性质
一般地,正比例函数kx
y=有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x
的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x 的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数b
kx
y+
=有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定
义式kx
y=(k≠0)中的常数k。确定一个一次函数,
需要确定一次函数定义式b
kx
y+
=(k≠0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
k的符号b的
符号
函数图像图像特征
k>0 b>0
y
0 图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<0
y
x
图像经过一、三、四象
限,y随x的增大而增
大。
K<0 b>0
y
x
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
b<0
y
x
图像经过二、三、
四象限,y 随x 的增大
而减小。
注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数
是一次函数的特例。
四边形
1.四边形的内角和与外角和定理:
(1)四边形的内角和等于360°;
(2)四边形的外角和等于360°.
A D 1234
A
B
C
D
2.多边形的内角和与外角和定理: (1)n 边形的内角和等于(n-2)180°; (2)任意多边形的外角和等于360°.
3.平行四边形的性质: 因为ABCD 是平行四边形??????
?
?
?
?.
54321
)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;(
4.平行四边形的判定:
是平行四边形)对角线互相平分()一组对边平行且相等()两组对角分别相等()两组对边分别相等()两组对边分别平行
(ABCD 54321???
?
?
?
?
??
.
5.矩形的性质: 因为ABCD 是矩形???
???.3;2;1
)对角线相等()四个角都是直角(有通性)具有平行四边形的所(
A B
D O C
A
B
D
O
C
A D B
C
A
D
B
C
O
6. 矩形的判定:
??
?
??
+边形)对角线相等的平行四()三个角都是直角(一个直角)平行四边形(321?四边形ABCD 是矩形.
7.菱形的性质: 因为ABCD 是菱形 ?
??
???.321角)对角线垂直且平分对()四个边都相等;
(有通性;)具有平行四边形的所(
8.菱形的判定:
??
?
??
+边形)对角线垂直的平行四()四个边都相等(一组邻边等)平行四边形(321?四边形四边形ABCD 是菱形.
9.正方形的性质: 因为ABCD 是正方形 ?
??
???.321
分对角)对角线相等垂直且平(角都是直角;)四个边都相等,四个(有通性;)具有平行四边形的所(
C
D
A
B
(1)
A B
C
D
O
(2)(3)
C
D
B
A
O
C
D
B
A O A
D
B
C
A
D
B C
O
10.正方形的判定:
??
?
?
?
++++一组邻边等矩形)(一个直角)菱形(一个直角一组邻边等)平行四边形(321?四边形ABCD 是正方形.
(3)∵ABCD 是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD
是正方形
11.等腰梯形的性质: 因为ABCD 是等腰梯形???
???.321)对角线相等(;)同一底上的底角相等(两底平行,两腰相等;
)(
12.等腰梯形的判定:
???
??
+++对角线相等)梯形(底角相等)梯形(两腰相等
)梯形(321?四边形ABCD 是等腰梯形
(3)∵ABCD 是梯形且
AD ∥BC
∵AC=BD
∴ABCD 四边形是
等腰梯形
14.三角形中位线定
E F
D A
B
C
E D
C
B
A
A
B
C
D
O
A B
C
D
O C
D
A
B
理:
三角形的中位
线平行第三边,并且
等于它的一半.
15.梯形中位线定
理:
梯形的中位线
平行于两底,并且等
于两底和的一半.
一基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四
边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中
心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,
三角形中位线,梯形中位线.
二定理:中心对称的有关定理
※1.关于中心对称的两个图形是全等形.
※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
※3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这
一点对称.
三 公式: 1.S 菱形 =21ab=ch.(a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ,h 为c 边上的高)
2.S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边,h 为a 上的高) 3.S 梯形 =21(a+b )h=Lh.(a 、b 为梯形的底,h 为梯形的高,L 为梯形的中位线) 四 常识:
※1.若n 是多边形的边数,则对角线条数公式是:2)3n (n .
2.规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似”. 3.如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4.常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ;仅是中心对称图形的有:平行四边形 …… ;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意:线段有两条对称轴.
平行四边形
矩
形
菱形
正方形
※5.梯形中常见的辅助线:
A
B E F
D
E
C A
B D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
中点
中点
E
F
F A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D C
中点
中点
G F
E E
E
E
※
平移与旋转
旋转
1.旋转的定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转。2.旋转的性质:
旋转后得到的图形与原图形之间有:对应点到旋转中心的距离相等,旋转角相等。
中心对称
1.中心对称的定义:
如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么这两个图形叫做中心对称。
2.中心对称图形的定义:
如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合,这个图形叫做中心对称图形。
3.中心对称的性质:
在中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分。
轴对称
1.轴对称的定义:
如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称
图形,这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的性质:
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的“三线合一”。
3.轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段/对应角相等。 图形变换
图形变换的定义:图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。
一元二次方程
1、一元二次方程:
① 概念:只含有一个未知数,且可以化为
2=++c bx ax (a ,b ,c 为常数,且0≠a )的整式方
程叫做一元二次方程。
2=++c bx ax 是一元二次方程的一般形式。其中,
2
ax 、bx
、c 分别叫做一元二次方程的二次项、一次项、
常数项;a 、b 分别叫做一元二次方程的二次项、一次项的系数。
(强调:项和系数要包括前面的符号) 构成一元二次方程的条件:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)二次项系数不能为0;(4)未知数的最高次数为2. ② 注意事项:
(1)二次项系数0≠a 是一般形式的重要组成部分。
(2)二次项、一次项和常数项都是在一般形式下定义的,判断各项系数时,必须先将方程方程化为一般形式。
(3)任何一个一元二次方程均可经过整理(去括号、移项、合并同类项)均可化为一般形式。
2、一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法解一元二次方程: ①如)
0(2
≥=m m x
的方程都可以用开平方的方法求出
它的解,这种解法叫做直接开平方法
②利用直接开平方法所解的一元二次方程的结构特点:经过整理、变形后得到等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负数;
③理解直接开平方法的理论依据是平方根的定义。
⑵用配方解一元二次方程:
①把一个二次三项式组成完全平方式的变形过程,叫做配方,用配方法求一元二次方程的解的方法叫做配方法。
②配方法解一元二次方程是以配方为手段,以直接开平方为基础的一种解一元二次方程的基本方法。
③用配方法解一元二次方程的步骤:
㈠二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;
㈡移项:方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;
㈢配方:方成左右两边同时加上一次项系数一半的平方,使方程左边变成一个完全平方式,右边是一个常数;
㈣求解:如果右边常数是非负数,就用直接开平方法解一元二次方程。 ⑶用公式法解一元二次方程: ①方程
2=++c bx ax )
0(≠a 的求根公式:
)
04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x ,利用求根公式解一元二次
方程的方法叫公式法。
②利用求根公式解一元二次方程的步骤: ㈠把方程整理为一般形式02
=++c bx ax
)
0(≠a ,确定
c
b a ,,的值;
㈡计算ac
b 42
-的值; ㈢当042
≥-ac b
时,把b a ,和ac
b
42
-的值代入求根公式
计算,从而求出方程的解。
③求根公式专指一元二次方程的求根公式,只有确定方程是一元二次方程时,才可以使用 ④公式法是解一元二次方程02
=++c bx ax )
0(≠a 的一
般解法
⑷用因式分解法解一元二次方程
①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解,这种解方程的方法叫因式分解法
②因式分解法的理论依据:两个因式的积等于0,那么这两个因式中至少有一个等于零,即
?=?0B A 0
=A 或0=B 。
③用因式分解法所解的一元二次方程的结构特点:等号一边的代数式可以做因式分解,另一边为0.
④利用因式分解法解一元二次方程的步骤: ㈠将方程的右边化为一;
㈡将方程的左边分解为两个一次因式乘积的形
式;
㈢令两个因式分别为0,得到两个一元一次方程; ㈣分别解两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
3、一元二次方程解法的顺序:
先特殊,后一般,先考虑是否用直接开平方法和因式分解法解,不能用这两种方法时,再用公式法和配方法。当二次项系数为一,一次项系数为偶数时,用配方法方便。 4、根的判别式 把ac
b 42
-叫做一元二次根的判别式,记作△
=ac
b
42
-,02
==++c bx ax
)
0(≠a ,若方程有两个不相等的
实数根?△>0; 有两个相等的实数根△=0 没有实数根△<0
有两个实数根△0≥(此时两根可能等,也可能不等)。
5、一元二次方程的应用
列方程解应用题,应透彻理解题意,寻找等量关系。
列方程时,要注意列出的方程必须满足以下三个条件:
⑴方程左右两边表示同类量;
⑵方程左右两边的同类量的单位一样; ⑶方程两边的数值相等。 ※增长率问题公式
增长后的数=基数(1+增长率)n
(n 指增长的次
数)
降低后的数=基数(1-增长率)n
(n 指降低的次
数)
※长方体、正方体体积公式 高宽长长方体
??=V
3(边长)
正方体=V
※ 根据题的实际意义对方程的根进行取舍。
方差与频数分布
知识框架图 极差 方差 用计算器计算
标准差 比较事物的有关性质
用样本估计方差与
频数分数据
总体的有关特征
频数 频率
频数分布表 频数分布图
数据的波动
一、极差
1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差,叫做这组数据的极差;
2、极差=数据中的最大值—数据中的最小值。 二、方差 1、在一组数据n
x x x
x ,,,,3,
21
K 中,各数据与他们的平
均数x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差,常用2
s 来表示,即:];)()()[(1
222212
x x x x x x n
s
n -++-+-=K
2、方差的三种公式: 基本公式:];)()()[(1
222212
x x x x x x n
s n -++-+-=K
化简公式:])[(122
22212
x n x x x n
s
n -++=K
数据的
新人教版八年级数学知识点总结归纳
2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;(2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角” 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结:在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______. 点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、(等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 五、(等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定: ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
初一初二数学知识点总结
初一数学知识点总结 第一册第一章有理数 1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数。以前学过的0以外的数叫做正数。数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1. 2.1有理数正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项:⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可。⑵同一根数轴,单位长度不能改变。一般地,设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。 1.2.4绝对值一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。比较有理数的大小:⑴正数大于0,0大于负数,正数大于负数。⑵两个负数,绝对值大的反而小。 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法有理数的加法法则:⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加,仍得这个数。两个数相加,交换加数的位置,和不变。加法交换律:a+b =b+a 三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。 a-b=a+(-b) 1.4有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。乘积是1的两个数互为倒数。几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。两个数相乘,交换因数的位置,积相等。 ab=ba 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。(ab)c=a(bc)一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。 a(b+c)=ab+ac 数字与字母相乘的书写规:⑴数字与字母相乘,乘号要省略,或用“” ⑵数字与字母相乘,当系数是1或-1时,1要省略不写。⑶带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。用字母x表示任意一个有理数,2与x的乘积记为2x,3与x的乘积记为3x,则式子2x+3x是2x
初中数学知识点总结
初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作