【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题16 数列的概念(学生版+解析版)
专题16 数列的概念
一、单选题
1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列3
53,1,,,442
? 的第6项是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17
D ．20
3．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列1,3,5,,21,
n -，则11是这个数列的（ ）
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{n a }中，若11a =，132n n a a +=+，则3a = A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
5．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是12-
、13、14-、1
5
，则此数列一个通项公式为（ ）
A ．()
11
n
n -+
B ．()
1n
n
-
C ．()
1
11
n n +-+
D ．()
1
1n n
--
6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列{}n a 的通项公式是31
n n
a n =+，那么这个数列是（ ） A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列
7．（2020·湖北省高一期中）在数列{}n a 中，114a =-，1
11(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．
4
5
B ．14
-
C ．5
D ．以上都不对
8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22n n -
B ．212n -
C ．212
n (-)
D ．22
n
9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列
满足
，
，则
的值为（ ）
A ．2
B ．-3
C ．
D ．
10．（2018·民勤县第一中学高二期中（文））下列叙述正确的是（ ） A ．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B ．数列0，1，2，3，…可以表示为{}n C ．数列0，1，0，1，…是常数列 D ．数列{}21n +是递增数列
11．（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）
A ．21n a n =-
B ．(1)(12)n
n a n =-- C ．(1)(21)n
n a n =--
D ．1
(1)(21)n n a n +=--
12．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，第k 项满足
58k a <<，则k =（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
二、填空题
13．（2020·河北省涿鹿中学高一月考）数列
12,23,34,45，5
6
,…的一个通项公式为n a =_______． 14．（2019·贵州省凯里一中高一期末）若数列{}n a 满足12,111,1n n n a n a
-=??
=?->??
，则3a =_____.
15．（2019·浙江省高一期中）在数列1
10,,...,
,...42n n -中，第3项是______；3
7
是它的第______项. 16．（2020·贵港市覃塘高级中学高一月考）已知数列{}n a 中,12a =,11
1
n n a a +=-
+（n *∈N ）,则2020S =___________
三、解答题
17．（2019·全国高一课时练习）已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，且10123411365a a ==，，求1113a a ，. 18．（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列{}n a 满足2(*)n n S n a n N =-∈.
（1）计算1,a 2,a 3,a 4,a 5a ；
（2）并猜想{}n a 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.
19．（2019·全国高一课时练习）在数列{}n a 中，2
293n a n n =-++.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.
20．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；
（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式； （3）实数
1
99
是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 21.（2019·全国高二）已知数列{}n a 的前n 项和2
321n S n n =-+，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．
22．数列{}n a 的通项()()
*10111n
n a n n N ??=+∈ ???
，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若
没有，说明理由.
专题16 数列的概念
一、单选题
1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列3
53,1,,,442
? 的第6项是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】
易得该数列为后项与前项的差都为14
,故前6项是3537
,1,,,,24424.故第6项为2.
故选：B
2.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( )
A ．11
B ．15
C ．17
D ．20
【答案】A 【解析】
当1n =时，111a S ==-，
当2n ≥时，()()2
2
1232131n n n a S S n n n n -??=-=-----??
45n =-，
当1n =时，上式也满足，故45n a n =-. 所以444511a =?-=. 故选：A
3．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列,21,
n -11 ）
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
【答案】B 【解析】
数列,21,n -
通项公式为n a =
=
解得6n =， 故选：B.
4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{n a }中，若11a =，132n n a a +=+，则3a = A ．16 B ．17
C ．18
D ．19
【答案】B 【解析】
因为11a =，132n n a a +=+，所以21325a a =+=，所以323217a a =+=.选B. 5．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是12-
、13、14-、1
5
，则此数列一个通项公式为（ ）
A ．()
11
n
n -+
B ．()
1n
n
-
C ．()
1
11
n n +-+
D ．()
1
1n n
--
【答案】A 【解析】
设所求数列为{}n a ，可得出()1
1
111
a
-=
+，()2
2
121
a
-=
+，()3
3
131
a
-=
+，()4
4
141
a
-=
+，
因此，该数列的一个通项公式为()11
n
n
a n -=
+.
故选：A.
6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列{}n a 的通项公式是31
n n
a n =+，那么这个数列是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列
【答案】A 【解析】
31n n
a n =+，()()()()()()()
131134110343131343134n n
n n n n n n a a n n n n n n +++-++∴-=-==>++++++， 1n n a a +∴>，因此，数列{}n a 是递增数列.
故选：A.
7．（2020·湖北省高一期中）在数列{}n a 中，114a =-，1
11(1)
n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ）
A ．
4
5
B ．14
-
C ．5
D ．以上都不对
【答案】A 【解析】 依题意234112311411
15,1,154
a a a a a a a =-
==-==-=-=，故数列是周期为3的周期数列，故201934
5
a a ==
，故选A. 8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列
中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22
n n -
B ．212n -
C ．212n (-)
D ．22
n
【答案】B 【解析】
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ．
9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列满足，
，则
的值为（ ）
A ．2
B ．-3
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 由题得
，
所以数列的周期为4， 所以.
故选：D
10．（2018·民勤县第一中学高二期中（文））下列叙述正确的是（ ） A ．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B ．数列0，1，2，3，…可以表示为{}n C ．数列0，1，0，1，…是常数列 D ．数列{}21n +是递增数列 【答案】D 【解析】
对于A ，数列1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，故A 错误； 对于B ，数列0，1，2，3，…可以表示为{}1n -，故B 错误； 对于C ，数列0，1，0，1，…是摆动数列，故C 错误； 对于D ，数列{}21n +是递增数列，故D 正确.
故选：D.
11．（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）
A ．21n a n =-
B ．(1)(12)n
n a n =-- C ．(1)(21)n
n a n =--
D ．1
(1)(21)n n a n +=--
【答案】C 【解析】
∵数列{a n }各项值为1-，3，5-，7，9-，
，
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴|a n |＝2n ﹣1
又∵数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）． 故选：C ．
12．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，第k 项满足
58k a <<，则k =（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】C 【解析】
当1n =时，115a S ==-；
当2n ≥时()()2
2116187n S n n n n -=---=-+，
127n n n a S S n -=-=-，1n =也符合.
所以{}n a 的通项公式，为27n a n =-， 所以27k a k =-，
由5278k <-<解得67.5k <<，由于k 为正整数，所以7k =. 故选：C 二、填空题
13．（2020·河北省涿鹿中学高一月考）数列
12,23,34,45，5
6
,…的一个通项公式为n a =_______．
【答案】1
n n + 【解析】 数列
12,23,34,4556
,…， 观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1， 由此得出该数列的一个通项公式为1
n n a n =+． 故答案为：
1
n n +． 14．（2019·贵州省凯里一中高一期末）若数列{}n a 满足12,111,1n n n a n a
-=??
=?->??
，则3a =_____.
【答案】1- 【解析】
12312
111
2,1,112a a a a a ==-
==-=-. 故答案为：1-
15．（2019·浙江省高一期中）在数列1
10,,...,,...42n n -中，第3项是______；3
7
是它的第______项. 【答案】
1
3
7 【解析】
令3n =，则
1311
2233
n n --==?，所以第3项是13；
令
1327
n n -=，解得7n =，所以3
7是它的第7项. 故答案为：1
3
；7.
16．（2020·贵港市覃塘高级中学高一月考）已知数列{}n a 中,12a =,11
1
n n a a +=-
+（n *∈N ）,则2020S =___________
【答案】685
6
【解析】
已知数列{}n a 中,12a =,11
1
n n a a +=-
+（n *∈N ）, 所以21111
1213
a a =-
=-=-++, 3211311213
a a =-
=-=-
+-+ 4311
2
311
2a a =-=-=+-+, 所以数列{}n a 是周期为3的数列,
()20201231673S a a a a =++?+
1326732326856?
?=--?+= ??
?.
故答案为:
685
6
三、解答题
17．（2019·全国高一课时练习）已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，且10123411365a a ==，，求1113a a ，. 【答案】1113683,2731a a == 【解析】
21,2n n n a a a +++∴=当10n =时，1211102a a a =+，即1113652341a =+?，解得11683a =，
当11n =时，1312112a a a =+，即1313652683a =+?，解得132731a = 综上：1113683,2731a a ==
18．（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列{}n a 满足2(*)n n S n a n N =-∈. （1）计算1,a 2,a 3,a 4,a 5a ；
（2）并猜想{}n a 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 【答案】（1）11a =.232
a =
，374a =，415
8a =，53116a =
.
（2）121
,2
n n n a --=*n ∈N ，详见解析
【解析】
（1）当1n ＝时，1112a S a ==-，11a ∴=.
当2n =时，122222a a S a +==?-，23
2a ∴=
， 当3n =时，1233323a a a S a ++==?-，37
4
a ∴=，
当4n =时，12344424a a a a S a +++==?-，4158a ∴=
， 当5n =时，12345525a a a a a a ++++=?-，53116
a ∴=. （2）111121
12a --==，
222132122a --==，
333172142a --==，
4441152182a --==，
55513121162
a --==，
由此猜想121
,2
n n n a --=*n ∈N .
19．（2019·全国高一课时练习）在数列{}n a 中，2
293n a n n =-++.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.
【答案】（1）是，10107a =-；（2）213a = 【解析】
（1）令22
107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，
解得10n =或11
2
n =-
（舍去）.所以10107a =- （2）2
29105293248n a n n n ??=-++=--+ ??
?， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a = 20．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；
（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；
（3）实数1
99
是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）1
21
n a n =-（3）50
【解析】
（1）由已知可得11a =，213
a =
，315a =，417a =，519a =.
（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为
1
21
n a n =
-. （3）令11
9921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项. 21.（2019·全国高二）已知数列{}n a 的前n 项和2
321n S n n =-+，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大． 【答案】(1) 32,1
332,2
n n a n n =?=?-≥? (2) 前16项的和最大
【解析】
（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，
()()()2
2132132111n n n a S S n n n n -??=-=-+----+??
332n =-；
所以：32,1
332,2n n a n n =?=?-≥?
；
（2）因为()
2
2
321321n S n n n n =-+=--+()2
16257n =--+；
所以前16项的和最大．
22．数列{}n a 的通项()()
*10111n
n a n n N ??=+∈ ???
，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.
【答案】最大项为10
91091011
a a ==
【解析】
设n a 是该数列的最大项，则1
1n n n
n a a a a +-≥??
≥? ∴()()()1
1
1010121111101011111n n n n n n n n +-?????+≥+? ? ??????
??????+≥ ? ???????
解得910n ≤≤ ∵*n N ∈， ∴910n n 或==，
∴最大项为10
91091011
a a ==
点睛：求数列最大项或最小项的方法 （1）可以利用不等式组11(2)n n n n a a n a a -+≤?≥?≥?找到数列的最大项；利用不等式11
(2)n n
n n a a n a a -+≥?≥?≤?找到数列的最
小项．
（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．