四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考试题数学(文)含答案

蓉城名校联盟2018级高三第一次联考

文科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡，上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集为实数集R，集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x2－8x＋15>0}，则A∩(U B)＝

A.[4，5]

B.[0，3]

C.[3，4]

D.(3，4)

2.已知复数z＝

2

1i-，则|z|＝

A.1

B.2

C.3

D.2

3.命题p：“?x∈(0，2

π

)，sinx

A.?x∈(0，2

π

)，sinx≥tanx B.?x∈(0，2

π

)，sinx>tanx

C.?x0∈(0，2

π

)，sinx0≥tanx0 D.?x0?(0，2

π

)，sinx0≥tanx0"

4.由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年x月份(x∈{6，7，8，9，10})的销售量y(单位：万台)的一组相关数据如下表

若变量x，y具有线性相关性，x，y之间的线性回归方程为

y＝－20x＋a，则预计今年11月份的销量为( )万台。

A.580

B.570

C.560

D.550

5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3，a 7是方程x 2－8x －13＝0的两根，则S 9＝ A.80 B.72 C.40 D.36

6.已知tan(a ＋2π

)＝－12，则2sin cos cos sin αααα+-＝

A.－4

B.4

C.5

D.－5

7.已知x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则事件“x 2＋y 2≤1

2”的概率为

A.8π

B.4π

C.1－8π

D.1－4π

8.“m ∈(0，13)”是“函数f(x)＝()3m 1x 4m x 1mx x l -+

-≥??，，是定义在R 上的减函数”的

A.既不充分也不必要条件

B.充分必要条件

C.充分不必要条件

D.必要不充分条件 9.已知lga ＋lgb ＝0且a0的解集为

A.(1，＋∞)

B.(0，1)

C.(12，＋∞)

D.(1

2，1)

10.已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，且|PA

ABC 中，|AC|＝1，|BC|＝2，且满足sin2A ＝sin2B ，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为

A.3

B.323π

C.3

D.8

3π

11.已知函数f(x)＝x ＋cosx ，x ∈R ，设a ＝f(0.3－

1)，b ＝f(2－0.3

)，c ＝f(log 20.2)，则

A.b

B.c

C.b

D.c

12.已知函数f(x)的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x ≤1时，f(x)＝

x

lnx 0x 1e x 0<≤??≤?，，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝m|x|－2与y ＝f(x)的图像恰有两个交

点，则实数m 的取值范围是

A.m ≤0或m ＝e

B.0

C.3

2e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知角α终边上一点P(3，4)，则sin2α＝ 。

14.已知非零向量a与b的夹角为2

3

π

，|b|＝2，若a⊥(a＋b)，则|a|＝。

15.已知数列{a n}对任意m，n∈N*都满足a m＋n＝a m＋a n，且a1＝1，若命题“?n∈N*，λa n≤a n2＋12”为真，则实数λ的最大值为。

16.对于定义在区间D上的函数f(x)，若满足对?x1，x2∈D且x1≠x2时都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))≥0，则称函数f(x)为区间D上的“非减函数”，若f(x)为区间[0，2]上的“非减函数”且f(2)

＝2，f(x)＋f(2－x)＝2，又当x∈[3

2，2]，f(x)≤2(x－1)恒成立，有下列命题

①f(1)＝1 ②f(3

2)＝

3

2

③?x∈[3

2，2]，f(x)≥1 ④

192527

()()()()

14161814

f f f f

+++

＝4

其中正确的所有命题的序号为。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知f(x)

＋sin2x。

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)若b＝4，△ABC的周长为12，且f(B)＝3

2，求△ABC的面积。

18.(12分)

随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批(每批2亿元)消费券。我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为3：2。

(1)求m，n的值；

(2)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关：

(3)若从年龄在[55，65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率。

参考数据：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++，其中n＝a＋b＋c＋d。

19.(12分)

如图(1)，AD是△BCD中BC边上的高线，且AB＝2AD＝2AC＝2，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，如图(2)。

(1)求证：AB⊥CD；

(2)图(2)中，E是BD上一点，连接AE、CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为

1

2时，求

四面体A －CDE 的体积。 20.(12分)

已知椭圆C ：22

221x y a b +=的左、右顶点分别为A 1，A 2，上下顶点分别为B 1，B 2，且|AB|＝

离心率e

＝2。

(1)求椭圆方程；

(2)点P 是圆C 2：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点，射线OP 与椭圆C 1交于点M ，直线A 1M ，A 2M ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求k 1·k 2·k 3的取值范围。 21.(12分)

已知函数f(x)＝x 2＋2alnx ，其中a ∈R 。 (1)当a ＝－1时，求f(x)的单调区间；

(2)若在[1，e]上存在一点x ，使得关于x 的不等式f(x)>x 2＋()2a 1x +＋2x 成立，求实数a 的取

值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中，直线C

的方程为：1212x y ?=-+???

?=+??(t 为参数)。以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0。 (1)求C 2的直角坐标方程；

(2)设C 1，C 2的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。 23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知m>n>0，函数f(x)＝|x ＋

()

1

n m n -|。

(1)若m ＝3，n ＝1，求不等式f(x)>2的解集； (2)求证：f(x)≥4－|x －m 2|。